Связь положений предмета и изображения

Пусть луч исходит из точки с координатами , то есть луч стартует из плоскости, перпендикулярной оси 0z и проходящей через начало координат. Направление распространения луча задано ортом .

Рассматриваем лишь центрированные оптические системы, поэтому у сферических поверхностей центры кривизны находятся на оптической оси.

Расстояние от начала координат до первой поверхности равно , т.е. сфера с кривизной пересекает ось 0z в точке с координатой . Расстояние от вершины второй поверхности линзы до изображения обозначим.

Первая поверхность является границей раздела сред с показателями преломления 1 (слева) и (справа), а вторая - (слева) и 1 (справа).

Из выражения, приведённого в предыдущей лекции, получаем координаты первой сферической поверхности:

.

Можно использовать параметрическое описание траектории луча с параметром t, являющимся геометрическим расстоянием вдоль луча, отсчитываемым от точки {x0,0} до его текущего положения:

Координаты точки пересечения луча с первой сферой и величина параметра находятся в результате решения этих трёх уравнений.

Вместо нахождения точного решения этой системы уравнений на этот раз ограничимся параксиальным приближением. В этом случае малыми величинами являются компоненты ортов луча и нормалей к поверхностям вдоль оси 0x а их компоненты вдоль 0z, как было показано выше, равны единице.

Такое требование, как мы видели, приводит к столь малой величине удаления луча от оси, что малыми являются величины и. В параксиальном приближении, когда отбрасываются квадратичные и более высокие степени малых величин, координаты сферической поверхности запишутся следующим образом:

Итак, нахождение -координаты точки пересечения луча с линзой чрезвычайно упрощается:.

Наконец, будем считать, что линза столь тонка, что пересечение лучом первой и второй поверхностей линзы происходит при одном и том же значении координат .

В результате расчетов (см. Worksheet 3) приходим к выводу, что все лучи, вышедшие из точки, по прохождении линзы, находящейся на расстоянии, собираются в одной точке, отстоящей от линзы на расстоянии, в том случае, если имеем такую их связь с фокусным расстоянием линзы:

Результирующее поперечное увеличение даётся выражением:

Задача для самостоятельной работы:

Получить формулу Ньютона:

Решение:

Лекция 4 Построение хода лучей в геометрической оптике

При построении хода произвольного луча (зелёный) можно воспользоваться вспомогательными лучами, ход которых известен. Первый вспомогательный луч (красный), параллельный данному (зелёному) лучу, проходит через центр линзы и не изменяет своего направления. Второй вспомогательный луч (синий), параллельный данному лучу, проходит через передний фокус, и после линзы распространяется параллельно оси системы. Поскольку произвольный луч и вспомогательные лучи параллельны в пространстве предметов, они пересекается задней фокальной плоскости (красная точка).

Построение хода произвольного луча через отрицательную линзу

Первый вспомогательный луч (красный), параллельный данному (зелёному) лучу, проходит через центр линзы и не изменяет своего направления. Продолжение второго вспомогательного луча (синего), параллельного данному (зелёному) лучу, в пространстве предметов (справа от линзы) проходит через передний фокус, а сам вспомогательный луч распространяется параллельно оси системы.

Поскольку произвольный луч и вспомогательные лучи параллельны в пространстве изображений (слева от линзы), они пересекается задней фокальной плоскости (красная точка).