Формула тонкой линзы

Воспользуемся приведёнными выражениями параксиального приближения для получения формулы тонкой линзы. Пусть первая (передняя) сферическая поверхность имеет кривизну и радиус кривизны. Вторая (задняя) сферическая поверхность имеет кривизнуи радиус кривизны. Выражение для нормалик поверхности в точке падения луча в параксиальном приближении принимает вид

Как мы выяснили ранее, орт касательной выражается через компоненты орта нормали следующим образом:

При расчетах будем пользоваться записью закона Снелла в форме

Сначала, используя закон Снелла, находим компоненту преломлённого луча после прохождения первой поверхности:

Затем, ту же процедуру осуществляем, чтобы вычислить результат прохождения луча через вторую поверхность. Для величины MathCADдаёт следующее значение:

Полученное выражение позволяет получить формулу тонкой линзы. Нам следует направить на линзу совокупность лучей параллельных оптической оси и вычислить то расстояние от линзы, на котором они пересекаются с осью. Это расстояние и определяется, как фокусное расстояние линзы . Величинаявляется значением синуса угла наклона (углом наклона) пучка по отношению к оптической оси по прохождении линзы. Поэтому, при положительном значенииточка пересечения будет перед линзой, тогда как при отрицательном значенииточка пересечения будет после линзы. Становится понятно, что в соответствии с правилом знаков следует при нахождении места пересечения любым лучом оптической оси воспользоваться выражением

.

Итак, пусть слева на линзу падает луч, идущий параллельно оптической оси на малом расстоянии от неё. Полагаеми находим для этого луча компоненту орта. Предыдущая формула даётвыражение, не зависящее от величины , то есть справедливое для любого исходного параксиального луча, распространяющегося параллельно оптической оси, что и является свойством фокуса. В результате (см. Worksheet 2) приходим к известному выражению для фокуса тонкой линзы:

Возникает естественный вопрос: существует ли такая же точка, где собираются все исходно параллельные лучи, которые распространяются под некоторым углом  к оптической оси? Найдём координаты этой точки. Поскольку

,

то после подстановки величин получаем выражение для наклона луча, прошедшего тонкую линзу, в зависимости от координаты :

.

Отметим, что для луча, проходящего через центр линзы наклон луча не изменился. Для собирающей линзынаклон лучей свозрастает, а для лучей с- уменьшается. На расстоянииот линзы расстояние луча до оптической оси

.

Очевидно, все лучи соберутся в одну точку там, где у всех лучей будет одна и та же координата , не зависящая от. Это произойдёт на расстоянии от линзы, при этом расстояние от оптической оси до точки фокусировки равно . Плоскость, проходящая через фокус линзы перпендикулярно оптической оси, называется фокальной плоскостью.

Поскольку, то место фокусировки удалено от оси на расстояние.

Cводка формул, описывающих прохождение луча через сферическую поверхность раздела двух сред.

Плоскость падения – плоскость . Пусть нормаль к поверхности в точке падения луча задаётся ортом, направления распространения падающего и преломлённого лучей задаётся ортамии. Вычислим выражение для орта преломлённого луча, если задан орт падающего на поверхность лучаи известен орт нормали к поверхности раздела сред в точке падения, воспользовавшись законом Снелла. Компоненты орта нормали находим из выражений: . Посколькуи являются ортами, то достаточно найти лишь их поперечные компоненты. Заметим, что продольные компоненты этих ортов – величины положительные. Итак, достаточно решить уравнение относительно величины.