разное к тоэ / Rgr1 / 23

Вариант 23

R1	R2	R3	R4	R5	R6	E1		E2	E3	Ik1		Ik2	Ik3
Ом							В				А
16	20	12	30	42	52	50		-	34	0		-	0,5

Схема №1

c

R₅

R₄

J_k1

b E₁

I_k3 R₃ d d

m R₁

n I₁

R₆ R₂

E₃

a

Изменим схему 1, заменяя в ней источники тока на ЭДС, учтя что E₃^/=J_k3*R₃, Е^\₁=J_к1*R₁= 0, т.е. J_k1=0 ;

Схема №2.

I₃ c

I₅

E^\₃

R₅ R₄

I I₄

3

R₁ 1 E₁

R₃ III b d

I₁

2 II

R₂

E₃

R₆ I₂

I₆

a

Произведем анализ схемы 2.

Число узлов n=4; Число ветвей m=6.

1. Непосредственное применение законов Кирхгофа.

Расставим произвольно направления токов в ветвях. Составим по I закону Кирхгофа (n-1)=3 уравнение.

Для узла c: I₃ + I₅ - I₄= 0; Для узла b: I₁-I₅+I₆=0; Для узла d: -I₁-I₂+I₄=0.

Составим по 2 закону Кирхгофа (m-m_j)-(n-1)=6-3=3 уравнения для схемы 2. Для этого произвольно выберем направление обхода в каждом контуре.

1 контур: I₁R₁+I₅R₅+I₄R₄=E₁ ;

2 контур: -I₁R₁+I₂R₂+I₆R₆=-E₁;

3 контур: I₃R₃-I₅R₅-I₆R₆=E₃+E^\₃;

Получим систему уравнений c шестью неизвестными:

I₁R₁+I₅R₅+I₄R₄=Е₁;

-I₁R₁+I₂R₂+I₆R₆=-E₁;

I₃R₃-I₅R₅-I₆R₆=E₃+ Е^\₃; (1)

I₃+I₅-I₄=0;

I₁-I₅+I₆=0;

-I₁-I₂+I₄=0.

II. Метод контурных токов (МКТ)

I₁=I₁₁-I₂₂;

I₂=I₂₂;

I₃=I₃₃; (2)

I₄=I₁₁ ;

I₅=I₁₁ – I₃₃ ;

I₆=I₂₂-I₃₃;

Решаем систему относительно контурных токов

I₁₁(R₁+ R₄+ R₅)-I₂₂R₁-I₃₃R₅=E₁;

-I₁₁R₁ +I₂₂(R₁+ R₂+ R₆)-I₃₃R₆=-E₁;

-I₁₁R₅ –I₂₂ R₆ + I₃₃(R₃+ R₅+R₆)=E₃ + Е^\₃.

Подставляя в получившуюся систему все численные значения известных величин, решаем её методом Крамера-Копелли

- матрица неизвестных токов; - матрица ЭДС.

-матрица коэффициентов при неизвестных;

Найдём определитель матрицы R, ∆ :

найдём определитель матрицы ∆₁ :

найдём определитель матрицы ∆₂ :

найдём определитель матрицы ∆₃ :

Тогда искомые контурные токи запишутся в матричной форме

Подставляя полученные значения контурных токов в систему (2) получим значение токов действующих в цепи

(4)

Матрица (4) и есть ответ задачи.

III. Метод узловых потенциалов (МУП).

Заземлим один узел d. Тогда φ_d=0. Найдем потенциалы оставшихся узлов а,b,c. Запишем токи, действующие в ветвях по закону Ома для активного участка цепи.

(5)

Получим систему из трёх уравнений

` φ_ф(g₂ +g₃ +g₆)- g₆φ_и- g₃φ_с=-g₃ (E₃+E^\₃);

-φ_фg₆ + φ_и (g₁ +g₅ +g₆)- g₅φ_с=E₁g₁ ; (6)

-φ_ф g₃- φ_иg₅+ φ_с (g₃ +g₄ +g₅) = g₃ (E₃+E^\₃).

Решим полученную систему (6) относительно потенциалов в узлах используя метод Крамера-Коппели.

- столбцевая матрица потенциалов узлов; матрица проводимости ветвей; -матрица известных членов правой части.

Высчитаем определитель матрицы проводимости g, ∆ :

найдём определитель матрицы ∆₁ :

найдём определитель матрицы ∆₂ :

найдём определитель матрицы ∆₃ :

Отсюда получаем потенциалы узлов записанных в матричной форме

Подставляя в уравнения (5) соответствующие потенциалы узлов, получаем токи действующие в ветвях

Получим столбцевую матрицу ответов

4. Результаты расчётов

Сравнительная таблица №1.

Метод	Действительные токи в ветвях
	I1	I2	I3	I4	I5	I6
МКТ	0,885	0,078	0,797	0,963	0,166	-0,719
МУП	0,88	-0,0765	0,792	0,965	0,166	-0,72
Разница, ∆	0,005	0,0015	0,005	0,002	0	0.001

5. Баланс мощностей исходной схемы

E₃I₃+ J_k3R₃I₃ + E₁I₁= I₁²R₁+ I₂²R₂+ I₃²R₃+ I₄²R₄+ I₅²R₅+ I₆²R₆ .

34*0,792+0,5*12*0,792+50*0,88=0,88²*16+0,0765²*20+0,792²*12+0,965²*30+0,166²*42+0.72²*52

75,68=76

6. Расчёт тока методом эквивалентного генератора

Для расчёта тока I₁ методом эквивалентного генератора необходимо теоретически найти два параметра: U_xx-напряжение холостого хода и r_вн- внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

Разомкнём узлы b и d

Схема №3.

I_c

c

E^\₃ R₅ R₄

I_b Контур № 4

U_xx E₁

R₃ II

I

I_a

E₃ R₂

R₆

a

В полученной схеме произвольно выберем направление токов в трёх ветвях и двух контурах. Выразим через контурные действующие токи. По второму закону Кирхгофа составим систему уравнений.

I_a=I₁₁;

I_c=I₂₂; (7)

I_b=I₁₁ – I₂₂ .

По второму закону Кирхгофа составим систему уравнений.

I₁₁(R₂+R₄+ R₅ +R₆)-I₂₂ (R₅+ R₆) =0;

-I₁₁ (R₅+ R₆ )+I₂₂(R₃+ R₅+ R₆)=E₃+J_k3R₃.

Решим систему методом матриц.

R₂+R₄+R₅ + R₆ -(R₅+ R₆) 0 0

R=

E=

=

-(R₅+ R₆) (R₃+ R₅+ R₆) , E₃+J_k3R₃ 40

Найдём определитель матрицы ∆_R :

Найдём определитель матрицы ∆₁ :

Найдём определитель матрицы ∆₂ :

Получим столбцевую матрицу контурных токов: Отсюда вычислим действующие токи в ветвях из системы (7)

I_a=0.585 A;

I_c=0.896A;

I_b=-0.311 A.

Составим уравнение по 2 закону Кирхгофа для контура 3, включающего себя напряжение холостого хода: U_xx+I_bR₅ +I_aR₄=Е₁, отсюда получим U_xx=Е ₁ –I _bR ₅- I_aR₄ =50+0.311*42-0.585*30=45.512 B. А это первый параметр эквивалентного генератора.

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора преобразуем схему №2, при этом заворачиваются источники ЭДС.

R₆ R₅ R₅

R₃ R₆

c a

R₄

R₄ c R₃

R₂

Рис. 1 Рис. 2 R₂ a

R₅ R₆

R₃₄

R₂₄ R₂₃

Рис. 3

Приведя схему (рис. 1) к схеме (рис. 2) и сделав переход от треугольника к звезде, получим схему (рис. 3).

Найдём сопротивления "звезды".

^{Ом; Ом;}

_Ом. Тогда внутреннее, а значит и входное сопротивление эквивалентного генератора (ЭГ) будет

;

Отсюда получаем искомый ток I₁:

7. Потенциальная диаграмма для контура №1 (схема №2)

пользуясь Значениями действующих токов в ветвях и формулой закона Ома для цепей содержащих ЭДС, найдём потенциалы точек (a,1, 2, b, d ). Заземлим узел a. Тогда

` φ₁ = φ_d +Е ₁ = Е ₁ = 50 B

` φ_b = φ₁-I ₁ R ₁ =50-0.88*16=35.92 В

` φ_a = φ_b+I ₆ R ₆ =35,92-0,719*52=-1,468 B

` φ₂= φ_a+E₃=-1,468+34=32,532 B

` φ₃= φ₂-I₃R₃=32,532-0,797*12=22,968 B

` φ_с= φ₃+E^\₃ =22,968+6=28,968 B

` φ_d= φ_с-I ₄ R ₄=28,968-0,963*30=0,078=0 B

8. Сигнальный граф

Обозначим точки a,b,c через 1,2,3. Заземлим узел 4 и определим потенциал узла 2. Составим систему уравнений для расчета потенциалов узлов.

g₁(g₂ +g₃ +g₆)- g₆φ₂- g₃φ₃= – g₃ (E₃+J_k3R₃);

g₂ (g₁ +g₅ +g₆)- g₆φ₁ – g₅φ₃₌ g₁ E₁; (6)