Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Переходные процессы при заряде и разряде конденсатора

Методические указания к выполнению лабораторной работы

по курсу «Теоретические основы электротехники»

для студентов специальностей 210100,100400

дневной и очно-заочной форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники, технологии и управления

Балаково 2006

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ПРИ ЗАРЯДЕ И РАЗРЯДЕ КОНДЕНСАТОРА

Ц е л ь р а б о т ы: исследование с помощью осциллографа апериодического заряда , апериодического, предельно-апериодического и колебательного разрядов конденсатора и сравнение осциллограмм с теоретическими графиками.

Основные понятия

1. Заряд конденсатора осуществляется через резистор с u ur uc b r c сопротивлениемRпутем подключения разряженного конденсатораС к источнику

Рис. 1 Рис. 2

Постоянного напряжения u(рис.1).

Целью расчета является получение зависимости напряжения на конденсаторе U_c от времени, которая изображена на рис.2. Для этого решается дифференциальное уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы, изображенной на рис. 1.

. (1)

Дифференциальное уравнение (1) описывает изменение напряжения Uc во времени. Решение для Uc(t) ищется в виде двух составляющих: принуждённой U_{C ПР} и свободной U_{C СВ} (t).

Uc(t)= U_{C ПР} + U_{C СВ} (t). (2)

Принуждённая составляющая U_{C ПР} – напряжение на конденсаторе, устанавливающееся после окончания переходного процесса под действием принуждающей ЭДС (напряжения). Очевидно, что после окончания заряда конденсатора напряжение на конденсаторе будет равно напряжению источника

U_{C ПР} = U. (3)

Свободная составляющая U_{C СВ} (t) находится из решения однородного дифференциального уравнения, получаемого из (1) при :

(4)

Решение этого уравнения

. (5)

Показатель степени является корнем характеристического уравнения:

, (6) где– постоянная времени цепи, состоящей из последовательно включённыхи.

Значение определяется из (5) при :

А = U_{C СВ} (0). (7)

Свободная составляющая U_{C СВ} (0) определяется с использованием второго закона коммутации, учитывая, что в момент коммутации при конденсатор разряжен:

U_{C СВ} (0) = U_C (0+) - U_{C ПР} = U_C (0 -) - U_{C ПР} = 0 - U_{C ПР} = -U. (8)

С учетом (5), (7) и (8) свободное напряжение на емкости

. (9)

Напряжение на ёмкости возрастает по экспоненциальной зависимости (рис. 2):

Uc(t) = U_{C ПР} + U_{C СВ} (t) = U . (10)

Если известна экспериментальная зависимость Uc(t), то постоянную времени  = RC можно определить из графика. Для этого проводится линия u1 = 0.637*U параллельно оси абсцисс до пересечения с Uc(t). Отрезок по временной оси от начала координат до точки пересечения с графиком Uc(t) определяет постоянную времени . Если требуется определить напряжение на конденсаторе в заданный момент времени, например при t=0.01c, то в формулу (10) подставляют заданное время.

Uк = Uc(0.01) = U . (11)

В лабораторной работе конечная точка напряжения заряда конденсатора является начальной точкой разряда.

2. Разряд конденсатора , предварительно заряженного до напряженияUк, осуществляется на иL (рис.3).

Дифференциальное уравнение, описывающее изменение напряжения во времени в цепи с,,имеет вид:

. (12)

Принужденные значения напряжения на конденсаторе U_{C ПР} и тока i_ПР через индуктивность равны нулю, так как в цепи отсутствует источник (принуждающая сила).

U_{C ПР} = 0, i_ПР=0. (13)

B R L C

U_R U_L U_C

Рис. 3

В связи с отсутствием принуждающих сил, свободная составляющая является решением уравнения (12).

Характеристическое уравнение для цепи разряда имеет вид:

LCP²+RCP+1=0. (14)

Характер разряда будет зависеть от корней характеристического уравнения:

. (15)

Возможны три случая:

а) – действительные, отрицательные, разные корни, получающиеся при условии >(дискриминант положительный); это случай апериодического разряда.

Решение уравнения (12) имеет вид:

. (16)

Задаваясь значениями времени t, строят экспоненту

, (17)

затем

. (18)

График зависимости Uc(t)представляет собой алгебраическую сумму экспонент с различными постоянными времени (рис. 4):

Uc(t) = U₁(t) + U₂(t). (19)

Рис. 4

б) = -- действительные, отрицательные, равные корни, получаются при условии( дискриминант равен нулю). Это случай предельного апериодического разряда. Решение для этого случая имеет вид:

(20)

Задаваясь значениями времени t через равные промежутки, строят график зависимости Uc(t), изображенный на рис. 5 .

Рис.5

в) P_1,2=-j– комплексные корни, которые получаются при условии R; соответствующее этим корням решение (5) можно записать в виде

(21)

где (22)

Разряд имеет колебательный затухающий характер. Частота колебаний ₀, период Т₀ определяется параметрами цепи разряда ,,.

Построение графика осуществляется в следующей последовательности:

-строится синусоида

, (23)

сдвинутая относительно начала координат влево на угол  = arctg и имеющая период T₀ = .

- строятся две экспоненты f2(t) и f3(t)

, (24)

ограничивающие амплитуду синусоиды сверху и снизу. Уменьшая амплитуды синусоиды до значений экспонент, оставляя нули синусоиды без изменения, получают точки, через которые проводят график U_C(t), изображенный на рис. 6.

Рис.6