Прямая задача

Задано: 1) геометрические размеры магнитной цепи; 2) характеристика B = f(H) (кривая намагничивания) ферромагнитных материалов, из которых выполнена магнитная цепь; 3) магнитный поток Ф, который надо создать в магнитной цепи. Требуется найти намагничивающую силу обмотки F = IW. Решение задачи рассматривается применительно к магнитопроводу, представленному на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Магнитная цепь1. Магнитная цепь разбивается на ряд участков с одинаковым поперечным сечением S, выполненном из однородного материала.2. Намечается путь прохождения средней магнитной линии (на рис. 4.7 показано пунктиром).

3. Т.к. магнитный поток на всех участках цепи остается постоянным, то магнитная индукция B = Ф / S на каждом из участков и напряженность магнитного поля Н неизменны. Это позволяет сравнительно просто определить значение для контура, образованного средней магнитной линией, а следовательно, найти искомую величину намагничивающей силы, поскольку.

Запишем интеграл в виде суммы интегралов с границами интегрирования, совпадающими с началом и концом каждого участка цепи. Тогда

.где: L₁ и L₂ – длины ферромагнитных участков цепи [м].  – ширина воздушного зазора, [м].4. Значения Н₁ и Н₂ определяют по известным величинам магнитной индукции В с помощью кривых намагничивания, соответствующих ферромагнитных материалов.А для воздушного зазора

А/м.Обратная задача

Задано:

4. Геометрические размеры магнитной цепи;

5. Характеристики ферромагнитных материалов;

6. Намагничивающая сила обмотки F.

Требуется определить магнитный поток Ф.

Непосредственное использование формулы для определния магнитного потока Ф оказывается невозможным, поскольку магнитное сопротивление цепи переменное и само зависит от величины магнитного потока. Такие задачи решаются методом последовательного приближения в следующем порядке. Задаются рядом произвольных значений магнитного потока в цепи и для каждого из этих значений определяют необходимую намагничивающую силу обмотки так, как это делается при решении прямой задачи.По полученным данным строят кривую Ф(F) – вебер-амперную характеристику. Имея эту зависимость, нетрудно для заданного значения намагничивающей силы найти величину магнитного потока.Для оценки необходимого значения Ф можно пренебречь сопротивлением ферромагнитного участка и посчитать поток, который получится под действием намагничивающей силы F при сопротивлении воздушного участка. Это значение Ф заведомо больше расчетного.Остальные значения можно давать меньше.

-2-

Замена сигналов в разностном уравнении (2.1) на Z - изображения этих сигналов

, приводит к алгебраизации разностного уравнения

.Алгебраизация осуществляется применением теорем линейности и запаздывания.

Переход в область Z - изображений позволяет ввести понятие передаточной функции дискретной цепи H(Z), которая определяется как отношение Z - изображения сигнала на выходе цепи к Z - изображению сигнала на входе цепи. Поэтому, учитывая алгебраическую форму разностного уравнения общего вида, можно записать общий вид передаточной функции дискретной цепи

. (2.3) Отсюда, в частности, для нерекурсивной цепи

. (2.4)Если нерекурсивная цепь состоит всего из одного элемента запаздывания, то ,

что находит своё отражение в обозначении элементов памяти на схемах дискретных цепей.

Передаточная функция конкретной цепи формируется по передаточным функциям её элементов согласно общих правил линейных цепей. В частности, для цепи содержащей ОС применяется известная формула

, (2.5)где - передаточная функция цепи

прямого прохождения сигнала - предаточная функция цепи ОС.

Пример. Оперделить передаточную функцию цепи на рис. (2.4,а).

Решение.

, где ,.

Пример. Определить передаточную функцию на рис.(2.4,б).

Решение.

,где - передаточная функция рекурсивной части схемы,

- передаточная функция нерекурсивной части цепи.По известной передаточной функции можно легко определить разностное уравнение цепи.Пример. Составить разностное уравнение цепи на рис.(2.2,в).

Решение.

Здесь .Поэтому. Отсюда.

Следовательно переходя к оригиналам: y(nT)= 0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).

Билет №16

1.Как переходят от изображения к оригиналу. Способы перехода.

2.С какой скоростью распространяется электромагнитная волна в проводящей среде и диэлектрике.

3.Задача-16

-1-

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.Тогда в соответствии с данными табл. 1,что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,где .Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,

(3)

где - к-й корень уравнения.

Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ():

.При .

Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лапиталя, запишем.

Таким образом,

.Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что, окончательно получаем

.

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е., то уравнение (4) сводится к виду

.В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечногозначений оригинала можно использоватьпредельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

-2-

Подводя итоги, следует отметить, что дисперсию электромагнитных волн можно условно разделить на частотную (за счет зависимости ,,от частоты) и пространственную (за счет зависимости этих же параметров от волнового вектора). Как уже говорилось, частотная дисперсия существенна, если частота электромагнитных волн близка к собственным частотам колебаний в среде. Пространственная же дисперсия становится заметной, когда длина волны сравнима с некоторыми характерными размерами.

При использовании диэлектриков в переменных электромагнитных полях необходимо знать собственные частоты колебаний молекул вещества диэлектрика для установления характера зависимости показателя преломления и поглощения (и других параметров) от частоты и во избежание (если это необходимо) резонансного поглощения электромагнитных волн.

Характерной особенностью диэлектриков является необходимость отдельного рассмотрения явления дисперсии для полярных и неполярных молекул, что обусловлено наличием (отсутствием) дипольного момента в отсутствии внешнего электромагнитного поля у полярных (неполярных) диэлектриков.Рассмотрим задачу об отражении и прохождении плоской электромагнитной волны с длиной волны от плоской границы раздела между двумя средами (рис. 3.3) , одно из которых призаполнено диэлектриком без потерь со значением относительной диэлектрической и магнитной проницаемости соответственно равнымии, а другое при- вакуум ().

при отражении электромагнитной волны от границы раздела вакуум/диэлектрик фаза отраженной волны отличается на 180 от фазы падающей волны.

Неверно считать, что носитель электромагнитных волн должен обладать свойствами твердого тела, так как в твердой среде могут распространяться как поперечные, так и продольные волны. Существуют различные среды - в одной среде могут распространяться только продольные волны, в другой продольные и поперечные, в третьей только поперечные. В среде, в которой отсутствует упругость, не могут распространяться волны упругости - продольные волны, так как для распространения продольных волн необходимо, чтобы в среде могли возникать области сжатия и разрежения. Например, чисто для наглядности, представим среду из неупругих шариков, между которыми нет трения и нет свободного пространства (шарики плотно прилегают друг к другу). Такую среду можно назвать "неупругой (несжимаемой) жидкостью", которая из-за отсутствия трения обладает сверхтекучестью. В такой среде не смогут распространяться волны упругости, а движение шаров приведет к замкнутым потокам (токам) смещения среды. Т.е. получается аналогия с электродинамикой полевой среды, где не могут распространяться продольные волны, а токи смещения поля всегда замкнуты. Возмущения (колебания) в такой среде могут распространяться только в виде поперечных волн, представляющих замкнутые токи (текущие потоки) смещения среды. Поперечные электромагнитные волны представляют замкнутые токи смещения поля, которые образуют электрическую и магнитную напряженность. Продольные же волны могут существовать только в замкнутом виде, представляя замкнутые токи смещения. В электродинамике током называется текущий поток, а электрические и магнитные потоки не текут, так как это векторные потоки напряженности поля. Таким образом, в том, что не могут распространяться продольные электромагнитные волны, ничего необычного нет - просто среда не обладает свойством упругости. Любое вещество обладает упругостью за счет электрических сил между атомами, но полевая среда - это невещественная материя и она не состоит из атомов, между которыми действуют электрические (полевые) силы, поэтому она не обладает свойством упругости и в ней не могут распространяться продольные волны. Аналогия с неупругими шариками не совсем точна, так как в полевой среде могут возникать возмущения поля, поляризация вакуума и как это наглядно представить, сегодня не до конца ясно.

Билет №17

1.Элементы дискретных цепей. Как переходят от передаточной функции аналогового четырехполюсника к цифровому.

2.Как выглядят графики переходных процессов при фазных отрицательных корнях, кратных, комплексно-сопряженных корнях.

3.Задача-17

-1-

Замена сигналов в разностном уравнении (2.1) на Z - изображения этих сигналов

, приводит к алгебраизации разностного уравнения

.Алгебраизация осуществляется применением теорем линейности и запаздывания.

Переход в область Z - изображений позволяет ввести понятие передаточной функции дискретной цепи H(Z), которая определяется как отношение Z - изображения сигнала на выходе цепи к Z - изображению сигнала на входе цепи. Поэтому, учитывая алгебраическую форму разностного уравнения общего вида, можно записать общий вид передаточной функции дискретной цепи

. (2.3) Отсюда, в частности, для нерекурсивной цепи. (2.4)

Если нерекурсивная цепь состоит всего из одного элемента запаздывания, то ,что находит своё отражение в обозначении элементов памяти на схемах дискретных цепей.

Передаточная функция конкретной цепи формируется по передаточным функциям её элементов согласно общих правил линейных цепей. В частности, для цепи содержащей ОС применяется известная формула

, (2.5)где - передаточная функция цепи

прямого прохождения сигнала, - предаточная функция цепи ОС.

Пример. Оперделить передаточную функцию цепи на рис. (2.4,а).

Решение.

, где ,.

Пример. Определить передаточную функцию на рис.(2.4,б).

Решение.

,где - передаточная функция рекурсивной части схемы,

- передаточная функция нерекурсивной части цепи.По известной передаточной функции можно легко определить разностное уравнение цепи.Пример. Составить разностное уравнение цепи на рис.(2.2,в).

Решение.

Здесь .Поэтому. Отсюда.Следовательно переходя к оригиналам: y(nT)= 0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).

Билет №18

1.Понятие о переходных процессах в нелинейных цепях. Метод условной линеаризации.

2.Законы коммутации. Начальные докоммутационные и послекоммутационные условия.

3.Задача-18

-1-

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

Переходные процессы возникают при любых изменениях режима электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (короткое замыкание, обрыв провода и т.д.). Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего до коммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму.Переходные процессы обычно быстро протекающие: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда и миллиардные доли секунды. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее изучение переходных процессов весьма важно, так как позволяет установить, как деформируется по форме и амплитуде сигнал, выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также определять продолжительность переходного процесса. С другой стороны, работа многих электротехнических устройств, особенно устройств промышленной электроники, основана на переходных процессах. Например, в электрических нагревательных печах качество выпускаемого материала зависит от характера протекания переходного процесса. Чрезмерно быстрое нагревание может стать причиной брака, а чрезмерно медленное отрицательно оказывается на качестве материала и приводит к снижению производительности.Любое возмущение эквивалентируется в расчетных моделях идеализированным элементом – коммутатором, который может замыкать или размыкать контакты 1 и 2 (рис. В результате коммутации образуется новая цепь, которую по истечении некоторого Следует отметить, что возмущение действует так же не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени (рис. 4.1) t = t2 – t1. Как правило, этот промежуток t значительно меньше рассматриваемого времени переходного процесса (t < tпп), поэтому принято считать, что t = 0, и моменты t1 и t2 сливаются в момент возмущения t0.Значение исследуемой функции (тока или напряжения) f(t) не всегда одинаково в начале и в конце интервала возмущения. При устремлении этого интервала к 0, функция f(t) может изменяться скачкообразно. Таким образом, её значение до и после (или как принято определять в математике – слева и справа), момента возмущения t0 могут не совпадать. Это влечёт за собой необходимость различать моменты 0+ и 0–. Как было сказано выше, к накопителям энергии относят индуктивности катушек и ёмкости конденсаторов. Из условия корректности электрических цепей, которые не могут содержать источники, обладающие бесконечной мощностью, следуют правила сохранения, называемые также законами коммутации, исключающие возможность скачкообразного изменения напряжения на ёмкости и тока в индуктивности в момент возмущения:

(4.1)

Начальные значения величин, сохраняющиеся неизменными в момент времени t = 0, называются независимыми начальными условиями. Таковыми являются токи индуктивностей и напряжения на ёмкостях, подчиняющиеся правилам коммутации. Токи и напряжения сопротивлений, токи ёмкостей и напряжения на индуктивностях в момент коммутации могут изменяться скачком. Их величины после коммутации (t = 0+) называют зависимыми начальными значениями. Последние не определяются непосредственно правилами сохранения, но всегда могут быть выражены через независимые начальные значения с помощью уравнений Кирхгофа, записанных для мгновенных значений токов и напряжений, действующих в послекоммутационной цепи для момента t = 0+.

-2-

Законы коммутации

Название закона	Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)	Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)	Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и, что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации –          в     ветви   с    катушкой    индуктивности   ток  в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации  –          напряжение          на         конденсаторе        в         момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Билет №19

1.Рассчитать цепь при параллельном соединении нелинейных элементов.

2.Прямое и обратное преобразование Лапласа.

3.Задача-19

-1-

Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координатстроится результирующая зависимость. Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью. Из точки пересечения перпендикуляра с кривойопускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостейопределяются токив ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б, соответствующие цепи на рис. 4,а.

-2-

Основные сведения прямом и обратном преобразовании Лапласа.

1. Прямое преобразование Лапласа:

Пусть функция ,, где- абсцисса сходимости. Указанный сигналпреобразуем по Лапласу следующем образом: (1), где- изображение, а- оригинал.. Выражение (1) – сходящийся интеграл, а функция- непрерывна и дифференцируема при условии, что. Из этого следует, что особые точки- корни знаменателя данной функции при которых. Эти точки располагаются в левой полуплоскости относительно границы.

Обратным преобразованием Лапласа называется интегральный ряд (2). Для нахождения оригинала используем не интеграл (2), а теорему о разложении, согласно которой, где- полиномы,. Полиномможно представить в виде произведения с учетом корней:. Таким образом

Билет №21

1.Как рассчитать цепь при последовательном соединении нелинейных элементов.

2.Характерестическое уравнение схемы. Пример составления.

3.Задача-21

-1-

а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координатстроится результирующая зависимость. Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью. Из точки пересечения перпендикуляра с кривойопускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостейопределяются напряженияна отдельных резистивных элементах.

Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а.

Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношенияточка а (см. рис. 3) пересечения кривыхиопределяет режим работы цепи. Криваястроится путем вычитания абсцисс ВАХиз ЭДС Е для различных значений тока.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.

-2-

Для анализа переходного процесса предварительно следует привести схему к минимальному числу накопителей энергии, исключив параллельные и последовательные соединения однотипных реактивных элементов (индуктивностей или емкостей). Система интегродифференциальных уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа или методом контурных токов, может быть сведена путем подстановки к одному дифференциальному уравнению, которое используется для составления характеристического уравнения.Порядок дифференциального, следовательно, и характеристического уравнения зависит от числа реактивных элементов приведенной схемы. Главная трудность в решения задачи классическим методом для уравнений высоких порядков состоит в отыскании корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования. Поэтому для решения уравнений порядка выше второго применяют другие методы, в частности операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа и исключающий трудоемкую процедуру отыскания постоянных интегрирования.Для практических целей при анализе переходных процессов в любой схеме классическим методом может быть рекомендован следующий алгоритм.

1. Рассчитать принужденный (установившийся) режим при t→∞. Определить принужденные токи и напряжения.

2. Рассчитать режим до коммутации. Определить токи в ветвях с индуктивностью и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин в момент коммутации является независимыми начальными условиями.

3. Составить дифференциальные уравнения для свободного процесса (Е = 0) в схеме после коммутации по законам Кирхгофа или по методу контурных токов. Алгебраизировать данные уравнения, получить характеристическое уравнение и найти его корни. Существуют приемы, упрощающие операцию отыскания корней характеристического уравнения, например, приравнивание нулю входного операторного сопротивления цепи, которое получается путем замены в выражении комплексного сопротивления цепи множителя "jω" на оператор "р".

4. Записать общие выражения для искомых напряжений и токов в соответствии с видом корней характеристического уравнения.

5. Переписать величины, полученные в п. 4, и производные от них при t = 0.

6. Определить необходимые зависимые начальные условия, используя независимые начальные условия.

7. Подставив начальные условия в уравнения п. 5, найти постоянные интегрирования.

8. Записать законы изменения искомых токов и напряжений.

Билет №22

1.Как рассчитать цепь при смешанном соединении нелинейных элементов.

2.Расчет переходных процессов в нелинейных цепях методом кусочно-линейной аппроксимации.

З.Задача-22

-1-

в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности:Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б).2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.

-2-

В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией  с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти к другому сочетанию.

 

Участок аппроксимирующей кривой	Схема замещения	Параметры элементов	Граничные условия
0 - 1 1 - 2 2 - 5 3 - 0 2 - 5

Билет №24

1.Вывести формулу интеграла Дюамеля.

2.Как рассчитать цепь при параллельном соединение нелинейных элементах.

3.Задача-24

-1-

-2-

Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координатстроится результирующая зависимость. Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью. Из точки пересечения перпендикуляра с кривойопускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостейопределяются токив ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б, соответствующие цепи на рис. 4,а.

Билет №25

1.Привести пример расчета несинусоидальных цепей.

2.Анализ уравнений Максвелла для диэлектриков.

3.Задача-25

-1-

Если в линейной электрической цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС и токов, то расчет такой цепи ведется в три этапа.

1. Разложение ЭДС и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие, т.е. в ряд Фурье.

2. Применение принципа наложения, согласно которому мгновенное значение тока любой ветви (напряжения на любом участке) равно сумме мгновенных значений токов (напряжений) отдельных гармоник, и расчет токов и напряжений в цепи для каждой гармоники в отдельности.

3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

тогда согласно принципу наложения источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными кратными частотами

Если заданы токи несинусоидальных источников, то подход к решению задачи остается таким же. Источники несинусоидального тока можно представить в виде параллельного соединения нескольких источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидального тока

Таким образом, алгоритм расчета цепи с несинусоидальными периодическими воздействиями следующий:

1. Разложение ЭДС и/или задающего тока источника в тригонометрический ряд Фурье.

2. Расчет токов и напряжений для каждой гармоники.Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС E0, e1, e2, соответственно равны I0, i1, i2, то полный ток

Билет №26

1.Как проводится обратное z-преобразование.

2.Как рассчитываются действующие значения токов и напряжений в несинусоидальных цепях. Пример расчета.

3.Задача-26

-1-

Важно уметь пеpейти не только от последовательности к ее z-пpеобpазованию, но и обpатно от z-пpеобpазования к последователь-ности. Обpатное z-пpеобpазование можно найти несколькими способами:

1. Пpямым вычислением контуpного интегpала с использованием теоpемы о вычетах.

Контуpом интегpиpования, напpимеp, может быть окpужность pадиуса C1>R1, где R - pадиус сходимости z - пpеобpазования.

Контуpный интегpал может быть вычислен непосpедственно чеpез вычеты:

2. Разложением X(z) на пpостые дpоби. Z-пpеобpазование записывают в виде дpоби и пpедставляют суммой

С учетом того, что каждое слагаемое суммы имеет обpатное z-пpебpазование вида α_i(pⁱ)ⁿ получим

-2-

Максимальное значение несинусоидальной периодической функции – наибольшее по модулю значение функции за период.

Среднее по модулю значение определяется по формуле:

При несинусоидальных периодических воздействиях, как и при синусоидальных, обычно под значением ЭДС, тока или напряжения понимают действующее значение.Действующее значение несинусоидальной функции – среднеквадратическое за период от мгновенного значения этой функции. Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального напряжения, т.е.действующее значение периодического несинусоидального напряжения равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех гармонических составляющих. Так же определяется действующее значение периодического несинусоидального ток.

Билет №27

1.Расчет переходных процессов в нелинейных цепях методами линейной и кусочно-линейной аппроксимации.

2.Уравнеия Максвелла в дифференциальной форме.

3.Задача-27

-1-

В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией  с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.

Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти к другому сочетанию.

 

Участок аппроксимирующей кривой	Схема замещения	Параметры элементов	Граничные условия
0 - 1 1 - 2 2 - 5 3 - 0 2 - 5

-2-

Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым. Первое М. у. имеет вид:

, (1, a)то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь j_n — проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S, — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, ас = 3×10¹⁰ см/сек — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме. Второе М. у. является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

, (1, б)то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь B_n — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилудля направления индукционного тока. Третье М. у. выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю. Четвёртое М. у. (обычно называемое Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов —Кулона закона: то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью). Используя известные из векторного анализа теоремы Стокса и Гаусса (см. Приложение 2), можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Билет №28

1.В чем суть метода аналитической аппроксимации при расчете нелинейных цепей (переходных процессов).

2.Перечислить 30 величин и их размерности, используемых в электротехнике.

3.Задача-28

-1-

В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией  с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти к другому сочетанию.

 

Участок аппроксимирующей кривой	Схема замещения	Параметры элементов	Граничные условия
0 - 1 1 - 2 2 - 5 3 - 0 2 - 5

-2-

Билет №29

1.Автоколебания. Анализ схем на устойчивость.

2.Прямая задача расчета магнитных цепей.

3.Задача-29

-1-

Автоколебаниями называются незатухающие колебания в нелинейной диссипативной системе без воздействия внешний периодических сил, поддерживаемые за счет постоянного источника энергии.

Состоит диссипативного колебательного контура потери энергии в котором компенсируются источником постоянного напряжения. Поступление энергии зависит от амплитуды колебаний в контуре и регулируется нелинейным устройством благодаря цепи обратной связи.Если потери энергии за период малы, а энергия , периодически поступающая небольшими порциями, компенсирует потери и восстанавливает энергетический баланс то автоколебания имеют форму, близкую к синусоидальной .Если же энергия в колебательной системе почни полностью расходуется за период колебаний, а её компенсация происходит большими порциями , однократно в течение каждого периода колебаний то форма колебаний существенно отличается от синусоидальной.

Уравнение Ван-дер-Поля:

-2-