экзамен / 11

Преобразование Фурье обладает следующими недостатками:

1. Оно допустимо только для абсолютно-интегрируемых функций

. Для этого S(t) должно экспоненциально спадать к бесконечности.

2. Обратное преобразование Фурье трудно интегрируемо в частотной области.

     Анализ прохождения сигналов через линейные цепи значительно облегчается при использовании преобразования Лапласа, в котором обратное преобразование осуществляется методом контурного интегрирования на плоскости комплексной переменной , где  - некоторое действительное положительное число, выбираемое так, чтобы функция  была абсолютно интегрируема, т. е.

.

Сравним с преобразованием Фурье:

     Как видно, формально переход от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа осуществляется заменой , при этом рассматривают только положительные значения времени t. За счет множителя под интегралом в выражении для S(P) преобразование Лапласа возможно и для неинтегрируемых функций s(t). Обратное преобразование Лапласа легко осуществляется с помощью вычетов:

.

     Если функция имеет в точке  полюс кратности m, то

.

     В частности, если  и имеет полюс первого порядка

m = 1, то .

     Свойства преобразования Лапласа аналогичны свойствам преобразования Фурье.

В частности, если , то ;

при ,

при      .

     Таким образом, при дифференцировании функций и нулевых начальных условий образ умножается на Р, при интегрировании – делится на Р.