3) Решение задачи методом эквивалентного генератора

Преобразуем электрическую схему на рисунке 3.10 в вид более удобный для решения задачи методом эквивалентного источника и мысленно разделим схему на две части – выделенная ветвь и эквивалентный источник.

рисунок 3.10

а) Определим напряжение холостого хода Uхх на выводах эквивалентного источника. Для этого воспользуемся схемой замещения той части исходной схемы замещения, которая соответствует эквивалентному источнику. Расчет схемы (рисунок 3.11) производим методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

	Составим уравнения применив первый закон Кирхгофа для одного из узлов «а» и второй закон по отношению к таким двум независимым контурам, каждый из которых включал бы в себя выводы эквивалентного источника Uхх

рисунок 3.11

I₂-I₃ = 0

U₃-U_xx = 0 (3.27)

U₂+U_xx = E₂

I₂-I₃ = 0

I₃Z₃-U_xx = 0(3.28)

I₂Z₂+U_xx=E₂

Из двух последних уравнений найдем токи I₂иI₃:

(3.29)

(3.30)

Подставляя значения токов в первое уравнение найдем Uxx:

(3.31)

б) Рассчитаем эквивалентный источник в режиме короткого замыкания. Для этого схему замещения рисунок 3.11 представим в виде схемы выводы, в которой эквивалентного источника соединены между собой.

Рисунок 3.12

Из схемы изображенной на рисунке 3.12 найдем ток Iк:

(3.32)

в) по значениям Еэи и току Iк короткого замыкания, определим внутреннее сопротивление эквивалентного источника.

(3.33)

г) представим электрическую цепь в виде простейшей схемы (одного контура) – рисунок 3.13 используя второй закон Кирхгофа, найдем ток I₁:

I₁ Z_эи+I₁ Z₁ =-E_эи +E₁

(3.34)

Рисунок 3.13

Как видно рассчитанные значения тока I₁с учетом погрешностей округления совпадают со значениемI₁(3.5)

4 Трехфазные цепи в установившемся режиме

Задача 4

К трехфазному симметричному источнику присоединены два приемника один из которых соединен звездой, другой - треугольником. Определите токи, обозначенные на схеме (рисунок 4.1), и мощности приемников, Постройте векторные диаграммы токов и фазных напряжений. Исходные данные для решения задачи указаны в таблице 4.1.

Рисунок 4.1

Таблица 4.1

UA	UAB	Za	Zв	Zc	Zaв	Zвс	Zcа
220e-jπ/3		4-j3	3-j4	6+j6	4-j3	3-j4	6+j6

Решение задачи.

Задачу будем решать в следующем порядке: сначала определим токи, и мощности приемника, элементы которого соединены звездой и затем, определим токи и мощности приемника элементы которого соединены треугольником.

Решение задачи определения токов и мощности приемника, соединенного «звезда-звезда с нейтральным проводом»

Изобразим электрическую цепь, схема соединения которой «звезда-звезда с нейтральным проводом» рисунок 4.2

Рисунок 4.2

Для определения токов составим уравнения по законам Кирхгофа, одно уравнение по первому закону относительно узла n, и три уравнения относительно контуров, показанных пунктиром:

I_a1+I_B1+I_c1-I_N=0

-U_A+I_a1Z_a=0 (4.1)

-U_B+I_B1Z_B=0

-U_C+I_C1Z_C=0

Определим начальные фазные напряжения. Принимаем по условию симметричности:

U_A=U_Ф=220e^-j60=110-j190,5 B (4.2)

U_B=220e^-j180=-220 B (4.3)

U_C=220e^j60=110+j190,5 B (4.4)

Теперь найдем искомые токи, используя для этого системы уравнения (4.1). Предварительно переведём комплексные сопротивления из алгебраической формы в показательную:

Z_a=4-j3=5e^-j37 (4.5)

Z_B=3-j4=5e^-j53 (4.6)

Z_c=6+j6=8,48e^j45 (4.7)

Найдем токи İа, İв, İс, İ_N:

А (4.8)

А (4.9)

А (4.10)

I_N = I_a1+I_B1+I_c1 = (40,5-j17,2)+(-26,5-j35)+(25,04+j6,7)=39,04-j45,5 А (4.11)

Построение векторной диаграммы (рисунок 4.3) начинаем с изображения осей комплексной плоскости и нанесения шкалы значений величин тока и напряжения, после чего в соответствующем масштабе изображаем векторы тока и напряжения.

Рисунок 4.3

Анализ диаграммы позволяет установить, что фаза C в этой цепи имеет индуктивную реакцию (ток отстает по фазе относительно соответствующего фазного напряжения), фазы А и В, напротив, имеют ток, опережающий фазное напряжение, это означает, что она имеет емкостную реакцию. Ток в нейтральном проводе, как это следует из построения, показанного пунктиром красного цвета, в этой цепи не равен нулю.

Значения полной комплексной мощности определяется произведением комплексного напряжения на сопряжённый комплексный ток этого элемента:

S=U*I

Sa=U_a*I_a1=(110-j190,5)(40,5-j17,2)=1178,4-j9607,25 (4.12)

Sb=U_B*I_B1=-220(-26,5-j35)=5830+j7700 (4.13)

Sc=U_c*I_c1=(110+j190,5)(25,04+j6,7)=1478,05+j5507,12 (4.14)

Решение задачи определения токов и мощности приемника, соединенного «треугольником».

Рисунок 4.4

Электрическая схема изображенная на рисунке 4.4 имеет три узла (а, в, c) и три независимых контура на схеме обозначенные пунктирной линией. Составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа, для узлов (а, в, c) и три уравнения применяя второй закон Кирхгофа для независимых контуров:

(4.15)

Из условий задачи ψ_а=-π/3=-60⁰, а из формул (4.3) и (4.4) имеем:

ψ_в=-π=-180⁰

ψ_с=π/3=60⁰

Найдём:

ψ_ав= ψ_а +π/6==-π/3+π/6=-π/6=-30⁰

ψ_вc= ψ_аb -2π/3==-π/6-2π/3=-5π/6=-150⁰

ψ_ca= ψ_аb+2π/3==-π/6+2π/3=π/2=90⁰

По условию симметричности определим начальные фазы напряжений U_АВ; U_ВС; U_СА:

U_AВ= 220e ^-j30 =190,5-j110 B (4.16)

U_BС=220e^-j150=-190,5-j110 B (4.17)

U_CА=220e^j90=j220 B (4.18)

Значения фазных напряжений токов найдены, найдем линейные токи из трех последних уравнений системы 4.15.

А (4.19)

А (4.20)

А (4.21)

Из первых трех уравнений системы (4.15) найдем линейные токи I_А2; I_В2; I_С2

А, (4.22)

А (4.23)

А (4.24)

Для построения векторной диаграммы задаемся масштабом напряжения и тока, после чего результаты расчета представляем в векторной форме. Векторная диаграмма приведена на рисунке 4.5

Рисунок 4.5

Значения полной комплексной мощности S элемента определяется как произведение комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток этого элемента:

S_ab=U_abI_ab=(190,5-j110)(43,68+j5,26)=8899,64-j3802,77 (4.25)

S_bc=U_bcI_bc=(-190,5-j110)(-5,26-j43,68)=-3802,77+j8899,64 (4.26)

S_ca=U_caI_ca=j220(18,33+j18,33)=-4032,6+j4032,6 (4.27)