1) Решение задачи методом непосредственного применения законов Кирхгофа

Изобразим схему в более удобном виде

рисунок 3.2

Для узла «а» составим уравнение по первому закону Кирхгофа

İ₁+İ₂-I₃=0

Z ₁İ₁+Z ₃İ₃=E₁(3.1)

Z ₂İ₂+Z ₃İ₃=E₂

Получили систему уравнений, из второго уравнения найдем ток İ₁:

İ₁== (3,26+j0,86)-(0,35+j0,05) İ₃А (3.2)

Из третьего уравнения найдем ток İ₂:

İ₂== (2,37+j0,27)-(0,48+j0,14) İ₃А (3.3)

Подставим полученные выражения токов İ₁ и İ₂ в первое уравнение системы (3.1) и найдем значение тока İ₃

İ₃=(3,26+j0,86)-(0,35+J0,05) İ₃+(2,37+j0,27)-(0,48+j0,14) İ₃(3.4)

5,63+j0,59=1,83I₃ +j0,19I₃

5,63+j0,59=I₃(1,83+j0,19)

I₃=

Теперь найдем значение токов İ₁ и İ₂

İ₁=(3,26+j0,86)-(0,35+J0,05)(3,07+j0,003)=2,19+j0,71 A (3.5)

İ₂=(2,37+j0,27)-(0,48+j0,14)(3,07+j0,003)=0,9-j0,7 A (3.6)

Зная значения токов, найдем искомые напряжения:

Ū₁=Z₁·İ₁=(10-j10)(2,19+j0,71)=29-j14,8B(3.7)

Ū₂=Z₂·İ₂=(6-j8) (0,9-j0,7)=-0,2-j11,4B(3.8)

Ū₃=Z₃·İ₃=(4-j3) (3,07+j0,003)=12,28-j9,19 B (3.9)

Показания амперметра:

А=İ₃==3,06 А (3.10)

2) Решение задачи методом наложения

На рисунке 3.3 изображена электрическая схема представляющая собой совокупность схем замещения.

	Оставим один источник ЭДС Е1и изобразим схему замещения на рисунке 3.4, обозначив напряжения и токи элементов схемы двумя индексами: первый – ток и напряжение в исходной схеме замещения; второй – номер источника в рассматриваемой частной схеме.

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Расчет схем производится методом структурных преобразований, заменим две параллельные ветви – одной эквивалентной ветвью образованной новым элементом Z₂₃рисунок 3.5. Найдем полное комплексное сопротивление новообразованной ветви.

Рисунок 3.5

=2,48-J2,26 Ом (3.11)

В соответствии со вторым законом Кирхгофа найдем ток I₁₁

A(3.12)

Зная ток I₁₁, найдем напряжениеŪ_аб1:

Ū_аб1=Ū₂₃İ₁₁= Z₂₃İ₁₁=(2,48-j2,26)·(2,64+j0,67)=8,06-j4,3B(3.13)

Теперь необходимо найти токи I₂₁и I₃₁

A(3.14

A(3.15)

Заменим источник и изобразим частную схему замещения с ЭДС Е2 рисунок 3.6

Рисунок 3.6

На схеме замещения заменим две параллельные ветви одной эквивалентной ветвью образованной новым элементом Z₁₃рисунок 3.7

Рисунок 3.7

Полное комплексное сопротивление этой ветви равно:

(3.16)

В соответствии со вторым законом Кирхгофа найдем ток I₂₂:

(3.17)

Найдем напряжение Ū_аб2по известному I₂₂и Z₁₃:

Ū_аб2=Ū₁₃= Z₁₃İ₂₂=(2,87-j2,32)(1,72-j0,31)=4,21-j4,88 (3.18)

Теперь найдем токи I₁₂и I₃₂:

(3.19)

(3.20)

Просуммировав значения частных токов в комплексной форме с учетом их направлений, рисунок 3.2 получим значения искомых токов во всех ветвях рассматриваемой цепи.

(3.21)

(3.22)

(3.23)

Сравнивая данные значения токов со значениями, полученными при решении задачи методом непосредственного применения законов Кирхгофа, видим, что с учетом погрешности данные значения совпадают. Задача решена правильно.

Выражение баланса мощности в электрической цепи находится как равенство сумм комплексных мощностей всех источников суммарной комплексной мощности всех приемников.

Σ_KЕ_KI_K=Σ_nU_nI_n (3.24)

Где I_K и I_K– сопряженные комплексные токи K - го источника иn - го приемника. Сопряженный комплексный ток для источника Е₁равен току:

I₁=I₁= 2,19 + J0,71 (3.25)

Сопряженный комплексный ток для источника Е₂равен току:

I₂=I₂= 0,9 – J0,7 (3.26)

Подставим найденные параметры в выражение (3,24) и определим суммарную мощность источников и суммарную мощность приемников:

Σ_KЕ_KI_K= Е₁I₁+ Е₂I₂=(41,28-j24)(2,19+j0,71)+(12-j20,64)(0,9-j0,7)=

=(107,44-j23,25)+(-3,64-j26,97)=103,79-j50,22

Σ_nЕ_nI_n=U₁I₁+U₂I₂+U₃I₃=(29-j14,8)(2,19+j0,71)+(-0,2-j11,4)(0,9-j0,7)+ +(12,28+j9,19)·(3,07+j0,003)=(74,01-j11,82)+(-8,16-j10,12)+(37,72-j28,1)= =103,55-j50,11

Векторная диаграмма токов и напряжений

Рисунок 3.8