примеры решений задач / вариант20

Дано: R1=5 Ом; R2=5 Ом; R3=6 Ом; R4=5 Ом; R5=2 Ом; R6=2 Ом; R7=2 Ом; R8=2 Ом; E2=50 В; E3=40 В; E4=30 В; E5=20 В; E6=10 В; J=4 A; I₁=2 A;

1. Написать по законам Кирхгофа систему уравнений для определения неизвестных токов и ЭДС в ветвях схемы.

Рисуем расчетную схему цепи, на которой показываем выбранные и известные положительные направления всех токов и ЭДС, а также направления обходов контуров.

Пишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов A, C, D:

По второму закону Кирхгофа можно составить независимые контурные уравнения , где -число ветвей цепи, -число узлов. Для рассматриваемой цепи .

Решение системы из шести уравнений с шестью неизвестными достаточно сложно, поэтому для расчета рассматриваемой электрической цепи применяем другие методы.

2. Определить ЭДС в первой ветви и токи во всех ветвях методом контурных токов.

Составляем уравнения по методу контурных токов:

Решаем систему, находим корни:

Определяем токи во всех ветвях цепи:

3. Проверка правильности определения искомых величин.

Так как расчет выполнен по методу контурных токов, первый закон Кирхгофа для всех узлов цепи выполняется автоматически. Чтобы убедиться в том, что токи определены верно, нужно проверить тождественность уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для отдельных контуров цепи.

Для первого контура

Подставив в это уравнение значения сопротивлений, токов и ЭДС, получаем:

Аналогично для второго контура

Для третьего контура

Итак, расчет выполнен верно.

4. Составить баланс мощностей.

Алгебраическая сумма мощностей источников энергии должна быть равна сумме мощностей в сопротивлениях цепи .

Мощность источников напряжения определяется как сумма произведений ЭДС ветвей на протекающие через них токи.

Мощность источника тока определяется как произведение тока источника на разность потенциалов узла , к которому ток подтекает, и узла , из которого ток вытекает.

Суммарная мощность источников энергии

Мощность в сопротивлениях

5. Определить напряжения, измеряемые вольтметрами.

Вольтметр показывает разность потенциалов между точками A и E цепи. По второму закону Кирхгофа

Показания вольтметра :

Вольтметр показывает разность потенциалов между точками B и D цепи.

6. Определение тока во второй ветви по методу эквивалентного генератора.

Решаем систему, находим корни:

Составляем схему для определения входного сопротивления двухполюсника.

Треугольник сопротивлений заменяем эквивалентной трехлучевой звездой :

Определяем входное сопротивление, свертывая схему:

По записанной ранее формуле вычисляем ток во второй ветви:

Получено такое же значение тока , как и при расчетах по методам контурных токов и узловых потенциалов.

7. Определение величины и направления ЭДС, которую нужно дополнительно включить, чтобы ток во второй ветви увеличился в два раза и изменил свое направление.

Тогда должно быть

8. Определение входной проводимости второй ветви.

Входное сопротивление второй ветви

Входная проводимость

9. Определение взаимной проводимости второй и третьей ветвей.

Пусть . Тогда . Этот ток будет распределяться по всем ветвям схемы. Ток, протекающий через сопротивление

Взаимная проводимость второй и третьей ветвей

10. Другой способ определения взаимной проводимости.

Если изменится только ЭДС во второй ветви, то в соответствии с принципом линейности имеем

Вычтем второе уравнение из первого, получим

откуда

11. Определение зависимости тока в третьей ветви от сопротивления второй ветви при неизменных остальных параметрах цепи.

Нормальный режим работы цепи

Режим холостого хода

Составляем систему уравнений для определения коэффициентов и

Таким образом получаем зависимость между токами во второй и в третьей ветви

9