примеры решений задач / variant_77

Задания

1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.

2. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

4. Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.

5. Составить баланс мощностей в исходной схеме, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

6. Определить ток в заданной по условию схеме, используя теорему об активном двухполюснике и эквивалентном генераторе.

7. Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включая обе э.д.с.

R₁=18Ом;

R₂=40Ом;

R₃=32Ом;

R₄=80Ом;

R₅=60Ом;

R₆=44Ом;

E₂=60В;

E₃=28В;

Линейные цепи постоянного тока.

1.Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.

Направим произвольно токи в ветвях схемы. В схеме четыре узла значит по первому закону Кирхгофа составим три уравнения. Составим уравнения узлов а,b,с.

Для узла а -I₃+I₅-I₆=0

Для узла b -I₁-I₂+I₆=0

Для узла c I₁+I₃-I₄=0

По второму закону Кирхгофа составим 3 уравнения. Так как общее число уравнений 6, то число неизвестных тоже 6. Примем направление обхода контуров против часовой стрелки.

Для контура I; -R₂I₂-R₅I₅- R₆I₆ =E₂

Для контура II; R₃I₃+R₄I₄+R₅I₅=E₃

Для контура III; -R₁I₁+R₂I₂-R₄I₄=-E₂

2. Определить токи во всех ветвях методом контурных токов.

Выберем направления обхода контуров против часовой стрелки.

Найдем сопротивления контуров

R₁₁=R₂+R₅+R₆=40+60+44=144Ом

R₂₂=R₃+R₄+R₅=32+80+60=172Ом

R₃₃=R₁+R₂+R₄=18+40+80=138Ом

Смежные сопротивления:

R₁₂=R₂₁=-R₅=-60Ом

R₁₃=R₃₁=-R₂=-40Ом

R₂₃=R₃₂=-R₄=-80Ом

E₁₁=E₂=60В E₂₂=E₃=28В E₃₃=-E₂=-60В

Записываем систему уравнений.

R₁₁I₁₁+R₁₂I₂₂+R₁₃I₃₃=E₁₁

R₂₁I₁₁+R₂₂I₂₂+R₂₃I₃₃=E₂₂

R₃₁I₁₁+R₃₂I₂₂+R₃₃I₃₃=E₃₃

144I₁₁-60I₂₂-40I₃₃=60

-60I₁₁+172I₂₂-80I₃₃=28

-40I₁₁-80I₂₂+138I₃₃=-60

Составляем определитель:

144 -60 -40

= -60 172 -80 =1340000

-40 -80  138

60 -60 -40

1= 28 172 -80 =660800

-60 -80  138

144 60 -40

2= -60 28 -80 =365200

-40 -28  138

144 -60 60

3= -60 172 28 =-179500

-40 -80  -60

I₁₁=1/= 0,493A; I₁=- I₃₃= 0,134A; I₄=I₂₂-I₃₃= 0,406A

I₂₂=2/= 0,272A; I₂=I₃₃-I₁₁= -0,627A; I₅=I₂₂-I₁₁= -0,221A

I₃₃=3/= -0,134A; I₃=I₂₂= 0,272 A; I₆=-I₁₁= -0,493A

Знаки « - » перед значениями токов указывают, что токи направлены в противоположную сторону от выбранных нами направлений.

3. Определить ток в схеме методом узловых потенциалов.

Заземлим точку c, приняв её потенциал равным 0.

Запишем общую систему уравнений.

φ₁₁G₁₁+φ₂₂G₁₂+φ₃₃G₁₃=I₁₁

φ₁₁G₂₁+φ₂₂G₂₂+φ₃₃G₃₂=I₂₂

φ₁₁G₃₁+φ₂₂G₃₂+φ₃₃G₃₁=I₃₃

Узловые проводимости:

G₁₁=1/R₃+1/R₅+1/R₆

G₂₂=1/R₂+1/R₄+1/R₅

G₃₃=1/R₁+1/R₂+1/R₆

Смежные проводимости:

G₁₂=G₂₁=-1/R₅

G₁₃=G₃₁=-1/R₆

G₂₃=G₃₂=-1/R₂

Узловые токи:

I₁₁=-E₃/R₃; I₂₂=-E₂/R₂; I₃₃=E₂/R₂

Подсчитываем проводимости и токи, и подставляя их в общую систему уравнений решаем её. Находим узловые потенциалы.

0,071φ₁₁-0,017φ₂₂-0,023φ₃₃=-0,857

-0,017φ₁₁+0,054φ₂₂-0,025φ₃₃=-1,5

-0,023φ₁₁-0,025φ₂₂+0,103φ₃₃=1,5

0,071 -0,017 -0,023

 = -0,017 0,054 -0,025 = 0,0002726

-0,023 -0,025 0,103

-0.857 -0,017 -0,023

1= -1,5 0,054 -0,025 = -0,00522

1,5 -0,025 0,103

0,071 -0,857 -0,023

2 = -0,017 -1,5 -0,025 = -0,00892

-0,023 1,5 0,103

0,071 -0,017 -0,857

3 = -0,017 0,054 -1,5 = 0,0006399

-0,023 -0,025 1,5

Получили значения потенциалов

φ₁₁= -19,144 В φ₂₂= -32,718 В φ₃₃= 2,347 В

Токи в ветвях схемы вычисляем по закону Ома. Причем не будем менять направления на противоположные для наглядности, что получили те же токи.

Т.к. не меняли направления токов то они как и во 2-ом пункте получились отрицательные.

4.Свести результаты расчета токов в таблицу и определить относительную и абсолютную погрешности.

Метод контурных токов	Метод узловых потенциалов	ε,%	∆I,А
I1=0,134А	I1= 0,13А	0,03	0,004
I2= -0,627А	I2= -0,623А	0,006	-0,004
I3= 0,272А	I3= 0,227А	0,018	-0,005
I4= 0,406А	I4= 0,409А	0,007	-0,003
I5= -0,221А	I5= -0,226А	0,023	0,005
I6= -0,493А	I6= -0,488А	0,01	-0,005

ε иI рассчитаны по формулам:

ε=|(I_К-I_φ)/I_К|*100%,где I_К-ток по МКТ.

I_φ-ток по МУП.

I=I_К-I_φ.

5.Составить баланс мощностей в исходной схеме, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

Уравнение баланса: I²_кR_к=E_КI_К.

Как видим баланс мощностей сходится.

6. Определить ток I₁ в заданной по условию схеме, используя теорему об активном двухполюснике и эквивалентном генераторе.

Для нахождения тока I₁,преобразуем исходную схему, используя теорему об активном двухполюснике. И рассчитаем I₁ по формуле:

I₁=ε_экв / R_вх+R₁

Для нахождения ε_экв исключим из исходной схемы ветвь содержащую ток I₁.Произвольно направим токи в полученной схеме.

Потенциал узла c примем равным нулю.

Для нахождения токов в преобразованной схеме воспользуемся методом двух узлов.

Полученные значения токов подставим в выражения для потенциалов. И получим ε_экв:

ε_экв =

Найдем R_вх для чего исключим из схемы все источники ЭДС и найдем сопротивление схемы относительно зажимов (bc ).

Для нахождения входного сопротивления преобразуем треугольник R₄,R₅,R₆ в звезду R₄₅,R₅₃,R₃₄.

Теперь мы можем найти I₁.

7.Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура включающего обе ЭДС.

Выберем направление обхода контура fabkdcf. При этом не будем менять направления токов. А значения токов возьмем из второго задания с теми же знаками. Заземлим узел f.

φ_f = 0В

Рассчитаем потенциалы остальных точек контура.

φ_a = φ_f + R₃I₃= 8,7В

φ_b = φ_a –I₆R₆ = 30,4В

φ_k = φ_b – R₂I₂ = 55,5В

φ_d = φ_k - Е₂ = -4,5В

φ_c = φ_d + R₄I₄ =28В

φ_f = φ_k – E₃ = 0В

По полученным данным строим потенциальную диаграмму: