Лекции Просолупов

Определение 26.4 . Пусть 1, 2 . Произведением перестановок 2 и 1 называют композицию этих функций: 2 1( ) = 2( 1( )), = 1, .

Докажем, что произведение перестановок есть перестановка. Очевидно, что 21 : {1, ..., } → {1, ..., }. Покажем инъективность. Пусть , {1, ..., } и ̸= . Поскольку 1 инъективна, 1( ) ̸= 1( ), а поскольку инъективна 2, 2( 1( )) ̸=2( 1( )). Следовательно,

2 1( ) = 2( 1( )) ̸= 2( 1( )) = 2 1( ).

То есть, 2 1 — инъективна, а, значит, является перестановкой.

§27. Группа перестановок

Определение 27.1 . Группой называется непустое множество с определенной на нем бинарной операцией , которая не выводит из множества и

удовлетворяет трем аксиомам:

1 ассоциативность: для любых , , верно, что

( ) = ( );

2 наличие нейтрального элемента: существует такой элемент , что для любого справедливо

= = ;

3 наличие обратного элемента: для любого элемента найдется такой элемент −1 , что

−1 = −1 = .

Произведение перестановок ассоциативно:

(( 3 2) 1)( ) = ( 3 2)( 1( )) = 3( 2( 1( ))) = = 3(( 2 1)( )) = ( 3 ( 2 1))( )

Для любой перестановки , как для любой биективной функции, существует обратная функция −1: −1 = −1 = . Для любых {1, ..., } ( ) =

−1( ) = . Функция −1, обратная для биективной функции , также будет биективной функцией: −1 : {1, ..., } → {1, ..., }. То есть, −1 .

Замечание 27.2 . Заметим, что обратная перестановка −1 для данной перестановки единственна. Действительно, если бы существовала еще одна такая перестановка ′, что ′ = , то

′ = ′ = −1 ′ = −1 = −1;

51

если перестановка ′′ такова, что ′′ = , то

−1 = −1 = ′′ −1 = ′′ = ′′.

Таким образом, мы доказали, что множество перестановок с операцией произведения перестановок образуют группу. Эту группу называют группой перестановок или симметрической группой.

Замечание 27.3 . Произведение перестановок в общем случае не коммутативно.

Пример 27.4 . Пусть

52

Лекция 7. Циклы перестановки, тип перестановки

§28. Циклы перестановки

Будем обозначать

− = −1 −1 · · · −1 .

Определение 28.1 . Циклом длины называется такая перестановка , которая тождественна на всём множестве {1, 2, ..., }, кроме подмножества { 1, ..., }.

Кроме того, ( ) = 1 и ( ) = +1, = 1, − 1. Цикл обычно обозначается

( 1, 2, ..., ) = ( 1, ( 1), ..., −1( 1)).

−1( ). Последнее равенство противоречит выбору как степени наименьшего из повторяющихся элементов последовательности, поскольку элемент −1 тоже должен

повториться. Противоречие доказывает утверждение.

Покажем, что — отношение эквивалентности.

53

1) Рефлексивность. Для любого {1, ..., } = 0( ) .

2)Симметричность. Для любых , {1, ..., }, для которых , существует

Z: = ( ). Следовательно, = − ( ) и .

3)Транзитивность. Пусть , , {1, 2, ..., }, и . Тогда существуют1, 2 Z: = 1 ( ), = 2 ( ). Следовательно,

= 2 ( 1 ( )) = 1+ 2 ( ).

То есть .

Пусть {1, 2, ..., } = 1 2 ... — разбиение {1, 2, ..., } на классы эквивалентности относительно . называются орбитами перестановки.

Утверждение 28.5 . Пусть , 1 2 ... — разбиение множества {1, 2, ..., } на классы эквивалентности, порожденное отношением , и ,

= 1, . Тогда

1)для любого {1, 2, ..., } существует N:

= { , ( ), ..., −1( )}.

2) перестановка представима в виде произведения циклов:

= ( 1, ( 1), ..., 1−1( 1)) ( 2, ( 2), ..., 2−1( 2))

· · · ( , ( ), ..., −1( )).

Следовательно,

= ( ) = ( · ( )).

Если > 0, то

Пусть теперь < 0. Тогда, используя равенство (*), получим

· ( ) = − − · · · − ( ) =

−

= − − · · · − ( · · · ( )) = ,

− −

54

Таким образом, = ( ), где {0, 1, ..., − 1}, что противоречит выбору .

( 1 2 · · · · · · −1 )( ) =

=( 1 2 · · · · · · −1)( ( )) =

=( 1 2 · · · · · · −1)( ) = · · · =

=( 1 2 · · · )( ) = ( 1 2 · · · −1)( ( )) =

=( 1 2 · · · −1)( ( )) = · · · = 1( ( )) = ( ).

Это верно для любого {1, 2, ..., }. Таким образом,

= ( 1 2 · · · ),

что и требовалось доказать.

Сопоставим каждой орбите перестановку :

Будем называть циклы , = 1, , циклами перестановки .

Замечание 28.6 . Из утверждения 28.5 следует, что перестановку можно представить в виде произведения всех ее циклов:

= 1 2 · · · .

Поскольку орбиты не пересекаются, перестановки в этой композиции можно располагать в любом порядке:

= 1 2 · · · ,

где 1 2... — произвольная перестановка из .

55

Пример 28.7 . Пусть = 7 и

Найдем орбиты .

56

и в каждую вершину входит тоже ровно одна дуга. Таким образом, все множество дуг графа разбивается на непересекающиеся контуры: ((1, 4), (4, 1)),

((2, 2)), ((3, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 3)). Каждому такому контуру соответствует цикл перестановки .

Определение 28.9 . N — степень перестановки , если — наименьшее из таких натуральных чисел, что = .

Утверждение 28.10 . Пусть , = 1 2 · · · — разложение

на непересекающиеся циклы; — длина цикла . Степень перестановки определяется как наименьшее общее кратное длин ее циклов:

Степень = НОК( 1, 2, ..., ).

Доказательство. Пусть число N таково, что = . Тогда 1 2 · · · = .

Поскольку все перестановки воздействуют на разные элементы {1, 2, ..., }, то= , = 1, . Следовательно, является общим кратным для 1, 2, ..., .

Сдругой стороны, пусть = НОК( 1, 2, ..., ). Тогда = · = , = 1, , и

= 1 2 · · · = .

Пример 28.11 . Степень перестановки из примера 28.7 равна 6.

§29. Тип перестановки

Определение 29.1 . Пусть = ( ) — число циклов длины перестановки .

Тогда ( 1, 2, ..., ) — тип перестановки . Обозначим

( 1, 2, ..., ) = { | , ( 1, 2, ..., ) — тип }.

Замечание 29.2 . ( ) = 1( ) + · · · + ( ) — число циклов перестановки и

57

По утверждению 23.5, множество {1, ..., } можно разбить среди которых ровно подмножеств имеют мощность ,

способами. Чтобы получить перестановку из любого неупорядоченного разбиения, нужно расставить элементы каждого подмножества в определенном порядке, чтобы определить циклы.

Сколько циклов можно получить из одного подмножества мощности ? Элементы

множества можно расставить в различном порядке ! способами. Это число надо разделить на количество вариантов выбора начальный точки цикла — . Таким образом, из данного подмножества можно составить !

различных циклов. Домножим число неупорядоченных разбиений на число вариантов создания циклов

из подмножеств. Получим:

что и требовалось доказать.

Замечание 29.5 . Утверждение 29.4 может быть доказано и напрямую, если посчитать, сколькими способами можно получить перестановку типа ( 1, 2, ..., ) из перестановок в ,

где ( ) — -тый цикл нашей перестановки длины . Как мы замечали раньше, поскольку циклы перестановки воздействуют на разные элементы, перестановки в этом произведении можно расставлять в произвольном порядке. Сколькими способами мы можем переставить циклы таким образом, чтобы сначала в записи шли все циклы длины 1, затем все циклы длины 2 и т.д.? Очевидно, 1! · 2! · ... · ! способами.

Теперь посчитаем, сколькими способами можно переставить элементы в скобках, обозначающих циклы. Если ( ) в нашей записи обозначает цикл ( 1 , ..., ), то ясно, что первый

элемент в последовательности можно выбрать способами и, значит, у нас есть способов

расставить числа 1 , ..., в скобках, чтобы запись означала один и тот же цикл. Таким образом, для всех циклов перестановки у нас есть 1 1 ·2 2 ·...· способов переставить элементы

в циклах, чтобы запись означала все ту же исходную перестановку .

образы для разных перестановок типа ( 1, 2, ..., ) не пересекаются (отображение инъективно) и каждая перестановка из входит в образ одной из перестановок типа ( 1, 2, ..., ) (отображение сюръективно).

Значит мы построили взаимно-однозначное соответствие между множеством перестановок типа ( 1, 2, ..., ) и разбиением множества перестановок на группы

58

где 24 — число перестановок, из которых можно получить одну и ту же перестановку типа

(0, 2, 1, 0, 0, 0, 0).

Рассмотрим, например, перестановку (1, 2)(3, 4)(5, 6, 7). Из каких перестановок она может быть получена добавлением скобок? Перечислим такие перестановки:

1)(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), 13) (3, 4, 1, 2, 5, 6, 7),

2)(2, 1, 3, 4, 5, 6, 7), 14) (3, 4, 2, 1, 5, 6, 7),

3)(1, 2, 4, 3, 5, 6, 7), 15) (4, 3, 1, 2, 5, 6, 7),

4)(2, 1, 4, 3, 5, 6, 7), 16) (4, 3, 2, 1, 5, 6, 7),

5)(1, 2, 3, 4, 6, 7, 5), 17) (3, 4, 1, 2, 6, 7, 5),

6)(2, 1, 3, 4, 6, 7, 5), 18) (3, 4, 2, 1, 6, 7, 5),

7)(1, 2, 4, 3, 6, 7, 5), 19) (4, 3, 1, 2, 6, 7, 5),

8)(2, 1, 4, 3, 6, 7, 5), 20) (4, 3, 2, 1, 6, 7, 5),

9)(1, 2, 3, 4, 7, 5, 6), 21) (3, 4, 1, 2, 7, 5, 6),

10)(2, 1, 3, 4, 7, 5, 6), 22) (3, 4, 2, 1, 7, 5, 6),

11)(1, 2, 4, 3, 7, 5, 6), 23) (4, 3, 1, 2, 7, 5, 6),

12)(2, 1, 4, 3, 7, 5, 6), 24) (4, 3, 2, 1, 7, 5, 6).

59

Лекция 8. Принцип включения-исключения, задача о беспорядках

§30. Принцип включения-исключения

Пусть — заданное множество и — множество свойств (множество, элементы которого будут называться свойствами). Каждый элемент из может обладать некоторыми свойствами из . Другими словами, задана функция, сопоставляющая каждому элементу из некоторое подмножество множества :

: → 2 .

Будем говорить, что элемент обладает свойствами ( ). Пусть . Обозначим

=( ) — число элементов из множества , которые обладают всеми свойствами

Далее нам бы хотелось найти обратное соотношение. То есть способ находить значение функции =, зная значения функции ≥.

Утверждение 30.1 . Пусть : 2 → R — произвольная функция, сопоставляющая каждому подмножеству конечного множества некоторое вещественное число. Пусть — такая функция из 2 в R, что

60