Лекции Просолупов

эквивалентности совпадает с одним из указанных. Таким образом, отношение сравнимости по модулю порождает различных классов эквивалентности:

[0], [1], ..., [ − 1].

Утверждение 12.5 . Пусть — отношение эквивалентности на множестве . Тогда 1) для любого верно, что [ ]; 2) для любых , , если , то [ ] = [ ] (класс эквивалентности порождается любым своим элементом).

Доказательство. Доказательство пункта 1) следует из рефлексивности отношения

.

Докажем 2). Пусть [ ]. По определению класса эквивалентности . Тогда из и в силу транзитивности отношения следует и [ ]. Следовательно, [ ] [ ].

В силу симметричности отношения верно и . Значит, рассуждая аналогично[ ] [ ]. Таким образом, получим [ ] [ ], что и требовалось

доказать.

Определение 12.6 . Разбиением множества называется совокупность его

попарно непересекающихся непустых подмножеств таких, что каждый элемент принадлежит одному из этих подмножеств:

= 1 2 ... .

Утверждение 12.7 . Всякое разбиение множества определяет на

отношение эквивалентности : тогда и только тогда, когда и принадлежат одному подмножеству разбиения.

Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевидны. Покажем транзитивность. Пусть и . Тогда , 1 и , 2, где 1 и 2 — подмножества разбиения . Поскольку 1 и 2, а подмножества разбиения не могут пересекаться, то 1 = 2. Таким образом, , 1 и .

Утверждение 12.8 . Всякое отношение эквивалентности определяет разбиение множества на классы эквивалентности по этому отношению.

Доказательство. Покажем, что набор классов эквивалентности по отношениюобразуют разбиение . Из утверждения 12.5 следует, что каждый элемент

множества принадлежит некоторому классу эквивалентности. Следовательно, объединение классов эквивалентности равно . В то же время, из того же

21

утверждения следует, что любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, если имеют хоть один общий элемент: [ ], [ ] ,

[ ] = [ ].

Совокупность классов эквивалентности элементов множества по отношению эквивалентности называется фактор-множеством множества по отношению и обозначается /

22

Лекция 3. Отношения порядка

§13. Отношение порядка

Определение 13.1 . Бинарное отношение на множестве называется

отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Множество, на котором введено отношение порядка, называют упорядоченным.

Пример 13.2 . Множество всех пар ( , ) людей, для которых старше , является отношением порядка.

Определение 13.3 . Отношение порядка называется отношением нестрогого

(частичного) порядка на множестве X, если оно рефлексивно.

Отношение порядка называется отношением строгого порядка на множестве X, если оно иррефлексивно.

Определение 13.4 . Отношение порядка на множестве называется отношением линейного порядка, если любые , , ̸= , сравнимы в смысле отношения (либо , либо обязательно выполняется).

Пример 13.5 . 1) Отношение родитель-ребенок (рисунок 3-a)) не является отношением порядка. Очевидно, что у такого отношения отсутствует транзитивность: дед не является родителем своего внука.

С другой стороны, отношение предок-потомок является отношением порядка. На рисунке 3-b) представлено то же фамильное дерево, что и на рисунке 3-a), но с указанием всех связей от дедов к внукам.

Отношение предок-потомок является отношением строгого порядка и не является линейным порядком.

2) > = {( , ) | , R, > } — является отношением строгого линейного порядка.

3) ≥ = {( , ) | , R, ≥ } — является отношением нестрогого линейного порядка.

4) Отношение , состоящее из всех таких пар подмножеств ( , ) заданного

универсального множества , что является подмножеством множества ,

называют отношением включения. Отношение включения является отношением нестрогого порядка и не является отношением линейного порядка.

Определение 13.6 . Пусть на множестве введено отношение порядка. Пусть элемент таков, что не существует такого , ̸= , что . Тогданазывают минимальным элементом.

Определение 13.7 . Пусть на множестве введено отношение порядка. Пусть элемент таков, что для любых , ̸= , выполняется . Тогда называют наименьшим элементом.

23

Рисунок 3: Генеалогическое древо

Замечание 13.8 . Может существовать несколько минимальных элементов и только один наименьший.

Аналогично определениям 13.6 и 13.7 можно определить максимальный и наибольший элементы.

Лемма 13.9 . Если на конечном непустом множестве задан линейный порядок, то существует наименьший элемент, и он единственен.

Доказательство. Для нахождения наименьшего элемента выберем произвольный элемент из и будем сравнивать его поочередно с остальными элементами из .

В силу линейности порядка, любой элемент из сравним с . Если найдется какойнибудь элемент , для которого , то по свойству транзитивности окажется, что предшествует всем уже просмотренным нами ранее элементам множества(то есть является для всех просмотренных наименьшим). Продолжим перебор элементов, сравнивая теперь оставшиеся элементы из с элементом , пока не найдем такой , что . И т.д. Будем повторять процесс, пока не переберем все элементы из . Элемент, выбранный для сравнения с остальными на тот момент и будет наименьшим элементом множества .

Единственность следует из определения наименьшего элемента и антисимметричности отношения порядка. Действительно, если бы существовало два наименьших элемента и ( ̸= ), то по определению наименьшего элемента

и . Из этого по свойству антисимметричности отношения порядка следовало бы = .

Теорема 13.10 . Пусть на конечном непустом множестве задан линейный

24

порядок. Тогда на можно выбрать такую нумерацию элементов 1, 2, ..., ( = { 1, 2, ..., }), что соотношение ( и ̸= ) будет выполняться в том и только в том случае, когда < .

Доказательство. Согласно лемме 13.9, для множества существует наименьший элемент, то есть такой 1 , что 1 для любых . Удалим элемент 1 из множества .

Множество { 1} также удовлетворяет условиям леммы 13.9 и, значит, в нем тоже существует наименьший элемент — 2.

Мы можем повторять этот процесс до тех пор, пока в множестве не закончатся

элементы. По способу выбора элементов очевидно, что 1, 2, ..., и есть искомая нумерация.

делится на .

Эти два упорядоченных множества схематично изображены на рисунке 4. Точки соответствуют элементам множеств 2 (на рисунке a)) и (на рисунке

b)). Линия снизу вверх соответствует непосредственному отношению между двумя элементами. Остальные линии не отображены, чтобы не загромождать

изображение. Например, линия между ? и {2, 3} на рисунке a) не нарисована, но

отношение между этими элементами предполагается в силу транзитивности. Из рисунка хорошо видно, что эти два упорядоченных множества изоморфны.

Теорема 13.13 . Всякое нестрого упорядоченное множество изоморфно

некоторой системе подмножеств множества , нестрого упорядоченной отношением включения.

Доказательство. Пусть — отношение нестрогого порядка на множестве . Для каждого элемента рассмотрим множество = { | }. Ясно, что для любого . Покажем, что система подмножеств { |}, упорядоченная отношением включения, есть искомая система подмножеств.

Рассмотрим отображение

: → { | }

25

Рисунок 4: Изоморфные нестрого упорядоченные множества

такое, что ( ) = . Если = , то, поскольку , то и, следовательно,. Аналогично, . Таким образом, в силу антисимметричности отношения ,

= . Значит, отображение инъективно. С другой стороны, у любого множества

есть прообраз . Значит, сюръективно. Следовательно, — биекция.

Пусть . Тогда из в силу транзитивности отношения следует , а значит . Пусть . Тогда, поскольку , то и, следовательно,. Таким образом, биекция сохраняет отношение нестрогого порядка.

§14. Лексикографический порядок

Заслуживающим отдельного упоминания является лексикографический порядок. Лексикографический порядок - это порядок, в котором выстроены слова, например, в орфографических и русско-английских словарях.

Лексикографический порядок может быть введен на множестве слов (упорядоченных последовательностей элементов) над любым множеством, на котором уже введен строгий линейный порядок.

Пусть на множестве введен строгий линейный порядок . Введем отношение

на множестве * = {( 1, 2, ..., ) | N, } всех слов над множеством

. Пусть ̃ = ( 1, ..., ) *, ̃ = ( 1, ..., ) *, ̃ ̸= ̃ и ≤ .

Будем говорить, что ̃ ̃ , если 1) существует такой индекс , 1 ≤ ≤ , что

= , = 1, − 1 и , или 2) < и = , = 1, . В противном случае

̃ ̃ .

Замечание 14.1 . На множестве слов одинаковой длины определение

26

лексикографического порядка упростилось бы и приняло бы вид:

Заметим, что здесь мы привели только перестановки — последовательности из различных символов. Если мы захотим выписать все слова в данном алфавите, их окажется гораздо больше.

Отметим также, что существует еще так называемый антилексикографический порядок. Он не является обратным лексикографическому порядку бинарным отношением. Список всех перестановок чисел в антилексикографическом порядке

может быть получен следующим образом: сначала нужно выстроить все такие перестановки в лексикографическом порядке, а затем развернуть список в обратном порядке и развернуть каждое слово, описывающее перестановку. Такой порядок может быть полезен, например, для словаря окончаний.

Используя те же обозначения и договоренности, что и при введении лексикографического порядка, антилексикографический порядок можно определить следующим образом:

Будем говорить, что ̃ ̃ , если 1) существует такой индекс , 1 ≤ ≤ , что

− +1 = − +1, = 1, − 1 и − +1 − +1, или 2) < и − +1 = − +1, = 1, . В

противном случае ̃ ̃ .

Замечание 14.3 . На множестве слов одинаковой длины определение приняло бы следующий вид:

Пример 14.4 . Приведем все возможные перестановки чисел {1, 2, 3, 4}, выстроенные в антилексикографическом порядке:

Лексикографический и антилексикографический порядки являются отношениями строгого линейного порядка.

27

Лекция 4. Размещения и сочетания, бином Ньютона, формула обращения

элементов.

Выборка называется упорядоченной, если порядок элементов в ней задан. Иначе выборка называется неупорядоченной.

Также различают выборки с повторениями и без повторений в зависимости от того, допускается или не допускается повторное вхождение в выборку одних и тех же элементов.

Пример 15.1 . Пусть = {1, 2, 3}. Тогда (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),

(3, 1), (3, 2), (3, 3) — все возможные упорядоченные выборки объема два из трех элементов.

Определение 15.2 . Размещением из элементов по называется упорядоченная выборка без повторений объема из -элементного множества.

Поскольку элементы нашего множества пронумерованы некоторым образом, не умаляя общности, можно называть размещением из элементов по упорядоченный набор из различных чисел, принадлежащих множеству {1, ..., }.

Обозначим количество различных размещений из по .

Пример 15.3 . 1) Пусть на экзамене у преподавателя различных билетов и

сдавать пришло студентов. Тогда существует ровно способов выдать всем

студентам по одному билету для подготовки.

2) Пусть = {1, 2, 3}. Тогда (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) — все возможные размещения из трех элементов по два.

Утверждение 15.4 . Пусть , N и 1 ≤ ≤ . Тогда

Доказательство. Действительно, существует различных способов выбрать первый элемент набора из элементов множества {1, ..., }. Аналогично, существует− 1 способ выбора второго элемента и так далее.

Определение 15.5 . Сочетанием из элементов по называется неупорядоченная выборка без повторений объема из -элементного множества.

28

возможности собрать команду.

2) Пусть = {1, 2, 3}. Тогда {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} — все возможные cочетания из трех элементов по два.

Определение 15.7 . Множество всех подмножеств множества мощности

( )

{1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5} }

Нетрудно видеть, что если мощность множества равна , то

различных размещений из по с различным порядком следования элементов.

Очевидным следствием из формулы (2) является равенство

Интуитивно эту формулу можно было бы обосновать следующим рассуждением. Выбирая элементов из , мы тем самым выбираем − элементов из , которые не

попадают в нашу выборку. Проще говоря, мы разбиваем наше множество мощностина два подмножества мощностей и − соответственно.

Также можно непосредственно подстановкой формулы (2) убедиться в правильности равенства

29

Действительно,

Интуитивно формулу (4) можно описать как разбиение множества из элементов на три подмножества мощностей , − , − соответственно. Левая часть равенства описывает выбор сначала элементов из , а затем элементов из выбранных . Получим все варианты разбиения исходного множества на три

подмножества указанных мощностей.

Правая часть равенства соответствует выбору сначала элементов из , а затем− элементов из оставшихся − . Получим те же варианты подмножеств.

§16. Треугольник Паскаля

Утверждение 16.1 . Пусть , N и 2 ≤ ≤ . Тогда

Это равенство довольно легко доказать, явно подставив выражение согласно формуле (2), но приведем другое доказательство этого факта.

Доказательство. Пусть множество имеет вид: = { 1, 2, ..., }. Определим множества и следующим образом:

Положим следующие естественные начальные условия для числа сочетаний из

рекуррентным соотношением (5), можно построить следующую таблицу, которую называют треугольником Паскаля:

30