3. Сложное движение точки

Движение точки называется сложным, если оно изучается по отношению к двум системам координат одновременно, причем одна из них подвижна.

Движение точки по отношению к неподвижным осям, скорость и ускорение в этом движении называются абсолютными. Их обозначают соответственно . Движение точки по отношению к подвижным осям, скорость и ускорение в этом движении называютотносительными и обозначают . Движение подвижных осей по отношению к неподвижным называетсяпереносным. Скорость и ускорение той точки подвижных осей, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка, называются переносными и обозначаются .

При сложном движении точки решают, как правило, следующие задачи:

1. По заданным относительному движению точки и движению подвижных осей определить кинематические характеристики абсолютного ее движения.

2. Заданное абсолютное движение разложить на составляющие движения.

Обозначим радиус-вектор подвижной точки М по отношению к неподвижным осям координат Оx₁y₁z₁ через , радиус-вектор точки начала координат подвижных осей Axyz через и радиус-вектор точки М по отношению к подвижным осям через, то имеем

. (51)

Последний вектор задан в подвижных осях, то есть через свои проекции на подвижные оси с единичными векторами

, (52)

где x, y, z – координаты точки М в подвижных осях

Формула (51) определяет уравнение абсолютного движения точки М в векторной форме (рис. 11).

Рис. 11

Зависимость между абсолютной, относительной и переносными скоростями точки определяется теоремой о сложении скоростей: «абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей»,

. (53)

Зависимость между ускорениями точки в абсолютном, относительном и переносном движениях определяется теоремой о сложении ускорений, иначе называемой теоремой Кориолиса: «абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений»,

. (54)

Относительная скорость и ускорение, как правило, определяются методами кинематики точки, а переносные скорость и ускорение определяются методами кинематики твердого тела.

Кориолисово ускорение определяется по формуле

, (55)

где – вектор угловой скорости подвижных осей (переносного движения),– вектор относительной скорости точки. Кориолисово ускорение по модулю равно

, (56)

то есть удвоенному произведению модулей угловой и относительной скоростей на синус угла между ними.

Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения векторов: вектор направлен перпендикулярно плоскости, построенной на векторахив ту сторону, откуда поворот векторапри совмещении с векторомна кратчайший угол представляется происходящим против хода часовой стрелки (рис. 12).

Наряду с этим, применяют для нахождения направления кориолисова ускорения и правило Н. Е. Жуковского: «Спроецировать вектор на плоскость, перпендикулярную векторуи повернуть эту проекцию на угол 90⁰ в сторону вращения подвижных осей (тела)» (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

При решении задач рекомендуется следующая последовательность действий:

1. разложить движение на составляющие, определив абсолютное, относительное и переносное движения;

2. выбрать две системы координат: абсолютную и подвижную;

3. мысленно остановив переносное движение, определить скорость и ускорение точки в относительном движении;

4. мысленно остановив относительное движение, найти угловую скорость и ускорение переносного движения, а затем скорость и ускорение в переносном движении;

5. по известным угловой скорости переносного движения и относительной скорости найти кориолисово ускорение точки;

6. пользуясь методом проекций, определить проекции абсолютной скорости и абсолютного ускорения на оси координат;

7. по найденным проекциям определить модуль и направление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки.