Задания для самостоятельного решения

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:	Ответы
1.	ед2
2.	21 ед2
3.	ед2
4.	18 ед2
5.	ед2
6.	104 ед2
7.	ед2
8.	ед2
9.	ед2
10.	ед2
11.	ед2
12.	ед2
13.	ед2
14.	4,25 ед2
15.	ед2

4. Вычисление объёмов тел вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси абсцисси прямыми, вычисляется по формуле

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией , отрезком оси ординати прямыми, вычисляется по формуле

.

Пример 4.1.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- ветвь параболы, расположенная выше осиOX, т.к.;

- прямая, параллельная осиOY;

- осьOX.

Рис. 11.

При вращении криволинейной трапеции (рис.11) вокруг оси ох образуется тело вращения.

Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е., тогдаПри этом, т.е.

Тогда (ед³.)

Пример 4.2.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- гипербола, ветви которой расположены вIиIIIкоординатных углах;

- прямая, параллельная осиOX;

- прямая, параллельная осиOX;

- осьOY.

Рис. 12.

При вращении криволинейной трапеции (рис.12) вокруг оси оу образуется тело вращения.

Т.к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси оу, то объём тела вращения вычислим по формуле .

По условию , т.е., тогда.

При этом , т.е..

Тогда

(ед³.)

Пример 4.3.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- парабола с вершиной в точке, симметрична относительно осиOY;

- парабола с вершиной в точке, симметрична относительно осиOX.

- прямая, параллельная осиOX;

- осьOY.

Рис. 13.

При вращении криволинейной трапеции (рис.13) вокруг оси OXобразуется тело вращения.

По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: объёмаV_x1, полученного от вращения вокруг осиOXфигуры, ограниченной линиямии объёмаV_x2, полученного от вращения вокруг осиOXфигуры, ограниченной линиямиТ.о.

Вычислим .

Для V_x1:, при этом. Тогда

(ед³.)

Вычислим .

Для V_x2:,т. еТогда(ед³.)

Т.о. (ед³.)

Задания для самостоятельной работы

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями:	Ответы
1.	9π ед3
2.	18π ед3
3.	ед3
4.	ед3
5.	ед3
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу фигуры, ограниченной линиями:
1.	8π ед3
2.	30π ед3
3.	8π ед3
4.	7,5 ед3
5.	ед3