Int / integrals

x 2

x 1

x dx

dx

I 1

dx dx

2

2

2

2

2

x

1

(x

1)

2

x

1

x

1

x dx

dx

x

1

d (x2 1)

2arctg x

(x2 1)2

(x2 1)2

2

(x2 1)

1

d (x2

1)

I1

x

1

ln(x2

1) 2arctg x

1

1

I1.

(x2 1)2

2

2

2 x2 1

Где обозначили I1

dx

. Этот интеграл требует отдельного подхода:

(x2 1)2

I1

dx

1 x2

x2

dx

(x2 1)2

(x2 1)2

1 x

2

x

2

dx

xdx

dx

x

.

2

2

2

2

2

2

2

1)

(x

1)

x

1

(x

1)

(x

u = x, тогда du = dx, dv

xdx

и v

1

d (x2 1)

1 1

.

(x2 1)2

2

(x2

1)2

2

x2 1

Имеем:

1

x

1

dx

x

I1

arctg x

arctg x

2 x2

1

2

x2 1

2(x2 1)

1

arctg x C

1

arctg x

x

C .

2

1

2

2(x2

1)

1

I x

1

ln( x2 1) 2arctg x

1 1

1

arctg x

x

C

2 x2 1

2

2

2(x2 1)

здесь С1

x

1

ln(x2 1)

3

arctg x

x 1

C .■

2(x2

включено в С

2

2

1)

а)

x3 5

;

(x2

x)(x2

2x 10)

б)

1

(указание: при разложении на

(x3 3x2 )(x3

6x2 9x)(x3

27)

множители записать одинаковые множители в виде степени);

в)

x5 x 20

.

(x4

16)(x4 5x2 4)(x4 4x2 4)(x 2)3

а)

(x 2)dx

;

б)

xdx

;

в)

x

dx ;

(x 1)(x 2)(x 3)

(x 2)2

(x 1)

x3

1

г)

dx

;

д)

(x2

2)

2

dx;

е)

dx

;

(x2

(x3

x2 (x2

4)2

x)(x 1)

x)x

ж)

x5

x 1

dx ;

з)

sin x cos x dx

(указание:

x4 1

(sin 2 x sin x

1)(sin x

2)

внести cos x под знак дифференциала и ввести новую переменную);

и)

(x2 3)x

dx (указание: внести х под знак дифференциала и

(x4

1)(2x2

3)

ввести новую переменную);

к)

dx

;

л)

2 ln 2 x 1

dx.

2 x

x

x

x(ln 2 x

3

ctg

1)(1 ln x)

sin

ctg

2

2

2

1. Интегралы вида

sin ax cos bx dx ,

cos ax cos bx dx ,

sin ax sin bx dx .

sin cos

1

(sin( ) sin( )) ,

(8)

2

cos cos

1

(cos( ) cos( )) ,

(9)

2

sin sin

1

(cos( ) cos( )) .

(10)

2

1

x

x

x

x

I

sin

sin

dx

2

3

2

3

2

1

5x

1

x

1

6

5x

5x

sin

dx

sin

dx

sin

d

2

6

2

6

2

5

6

6

1

x

x

3

5x

x

6 sin

d

cos

3cos

C .■

2

6

6

5

6

6

I

1

cos(x 3x) cos(x 3x) cos 6x dx

2

1

cos( 2x) cos 6xdx

1

cos 4x cos 6x dx ;

2

cos 2x

2

в каждом из интегралов используем формулу (9) и получим:

I

1

(cos( 4x) cos8x) dx

1

(cos( 2x) cos10x) dx

4

4

cos 4x

cos 2x

1

sin 4x

1

sin 8x

1

sin 2x

1

sin 10x C . ■

16

32

8

40

ПРИМЕР 1.2.38. Найти I sin 2x cos2 (2x / 3) dx .

Решение. Сначала применим формулу

cos2

1 cos 2

, затем

2

I sin 2x

1 cos(4x / 3)

dx

1

sin 2x dx

1

sin 2x cos(4x / 3) dx ;

2

2

2

I

1

cos 2x

1

(sin 2x 4x / 3 sin 2x 4x / 3 )dx

4

4

sin(10x / 3)

sin(2x / 3)

1

cos 2x

3

cos

10x

3

cos

2x

C . ■

4

40

3

8

3

тождества: cos2k x (cos2 x)k (1 sin2 x)k .

Вводя новую переменную

t = sin x, получаем интегралы от степенных функций.

2.2. Если среди показателей п, т нет нечетного, то следует понизить

степень, используя формулы cos2 x

1 cos 2x

, sin 2 x

1 cos 2x

, и тогда

2

2

Поэтому

sin(x / 3)

вносим

под

знак

дифференциала:

sin(x / 3) dx 3 d cos(x / 3) ,

а оставшуюся

функцию

sin4 (x / 3) выражаем

через ту, которая получилась под дифференциалом, т.е. через cos(x / 3) :

4 x

2

x 2

2

x 2

sin

sin

1 cos

.

3

3

3

4

x

x

10

x

2

x

2

10 x

x

I sin

sin

cos

dx

3 1 cos

cos

d cos

3

3

3

3

3

3

t cos

x

3 (1 t2 )2 t10dt 3 (1 2t2 t4 )t10dt

3

11

13

15

3 (t10 2t12

t14 ) dt 3

t

2

t

t

C ;

11

13

15

возвращаемся к исходной переменной t cos(x / 3) и получаем:

I

3

11 x

6

13 x

1

15

x

C . ■

cos

cos

cos

11

3

13

3

5

3

Решение. Имеем п = 4,

т = 2,

т.е.

нет нечетной степени (случай 2.2).

cos4 2x

(cos2 2x)2

1 cos 4x

2

1 cos 4x

Понижаем степень:

, sin 2 2x

,

2

2

следовательно,

1 cos 4x

1 cos 4x 2

1

cos 4x)2 dx

I

dx

(1 cos 4x)(1

2

2

8

I

1

1 cos8x

dx

1

sin 2

4x d sin 4x

8

2

32

1

x

1

sin 8x

1

sin 3 4x C . ■

16

128

96

ПРИМЕР 1.2.41. Найти I

sin2

cos2

dx .

x

x

x

1

dx

2d

1)

функцию

внесем под знак дифференциала

x ,

x

x

1

2

1

sin2

x cos2

sin2

2)

представим

x

2sin x cos

x

2

x .

2

4

Тогда интеграл примет стандартный вид: I

2

sin 2 2

d

x

x .

4

1

1 cos 4

x

1

1

I

d

x

d

x

cos 4 x d

x

2

2

4

4

1

1

x

sin 4

x C . ■

4

16

3. Интегралы вида

dx

,

где

п,

т – целые

sinm x cosn x

положительные числа.

Здесь также возможны два варианта.

3.1. Показатели п,

т одинаковой четности. В этом случае сначала

вносят функцию

1

(или

1

) под

знак

дифференциала:

sin2 x

cos2 x

dx

d (ctg x) (или

dx

d (tg x) ).

После

чего

оставшуюся часть

sin2 x

cos2 x

1

1 ctg2 x ,

1

1 tg2 x ,

tg x ·ctg x = 1.

sin 2 x

cos2 x

3.2. Показатели

п, т

разной

четности.

В

этом

случае

можно

использовать соотношение

1 (sin 2 x cos2 x)k ,

подбирая нужный показатель k.

ПРИМЕР 1.2.42. Найти I

dx

.

sin4

(x / 2) cos4 (x / 2)

Решение. Здесь

п = 4,

т = 4, оба

показателя

четные

(случай 3.1).

dx

x

1

1 tg

2

x

Используя соотношения:

2d tg

,

и

cos2

cos2 (x / 2)

2

(x / 2)

2

2

(t2 1)3

dt 2

t6 3t4 3t2 1

dt 2 (t2 3 3t2 t4 )dt

t4

t4

t

3

3

1

2

3t

C ;

3