Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Int / integrals

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

ПРИМЕР 1.2.7. Найти (3x 5)37 dx.

Решение. Поскольку преобразовать подынтегральную функцию в сумму

весьма затруднительно без помощи компьютера, приведем дифференциал к

виду d(3x + 5), после чего интеграл станет табличным (свойство

инвариантности – формула (1)). Для этого переменную х под дифференциалом умножаем и делим на 3, а компенсирующий множитель 1/3 выносим за знак дифференциала и интеграла, затем прибавляем к 3х под знаком дифференциала число 5. Получаем

	37		37		1	1		37
(3x 5)		dx (3x 5)		d 3x			(3x 5)		d (3x 5)
(3x 5)		dx (3x 5)		d 3x			(3x 5)		d (3x 5)
					3	3

1 (3x 5)38			(3x 5)38
		C		C . ■
3	38		114

ПРИМЕР 1.2.8. Найти sin2 x / 2 6 dx .

Решение. Чтобы сделать интеграл табличным, х под дифференциалом делим и умножаем на 2, выносим компенсирующий множитель 2 за знак дифференциала и интеграла, вычитаем под знаком дифференциала из х/2

число 6. В результате получаем:

d (x / 2)

sin2

x / 2 6

sin2 x / 2

d x / 2 6

2ctg

C . ■

sin2

x / 2 6

 Читатели, уже понявшие суть метода подведения под дифференциал,

могут не читать следующий абзац.

Для рассматриваемого метода интегрирования очень важно уметь вносить функцию под знак дифференциала. При этом используется формула

(2). Следует отметить, что функция φ(х), стоящая под знаком дифференциала в

формуле (2) слева, есть первообразная для функции φ'(х), стоящей перед дифференциалом в правой части этой же формулы. Если обозначить

(x) (x) , то формула (2), записанная справа налево, будет выглядеть так:

(x)dx d (x)dx ,

то есть для внесения функции под знак дифференциала достаточно найти какую-нибудь ее первообразную, которую и записать под знаком дифференциала d. Например, cos x dx d cos x dx d (sin x) .

ПРИМЕР 1.2.9. Внести функции под знак дифференциала:

а) xdx;

б) x5dx;

в) (1 + x)10dx;

г)

;

д)

;

е)

;

ж) е хdx;

з) 2 хdx;

и)

;

cos2 x

к)

;

л)

;

м)

;

н)

cos2 (3x 1)

3 x2

x ln x

3 x2

Решение. а) xdx

d (x2 ) ,

проверка

по

формуле

(2):

d (x2 )

2xdx xdx ;

б)

в)

г)

д)

x5dx

d (x6 ) , проверка по формуле (2):

d (x6 )

6x5dx x5dx ;

(x 1)5 dx d (x 1)5 dx d

(x 1)5 d (x 1)

(x 1)6

d (x 1)6 ;

d (ln

)

;

dx		dx		d (1 x)

	d		d		d (ln	1 x	) ;

1 x		1 x		1 x

x1/ 2dx

x1/ 2

е)

1/ 2

ж) exdx d (ex ) ;

з) 2x dx d 2x dx

d (2x ) ;

ln 2

и)

d (tg x) ;

cos2 x

к)

cos

(3x 1)

cos

(3x 1)

2d ( x ) ;

d (3x 1)			1	d (tg(3x 1)) ;

	2
cos		(3x 1)	3

л)

arcsin

;

3 x

( 3)

arctg

arcctg

м)

;

3 x

( 3)

d (ln x)

н)

d (ln

ln x

) . ■

x ln x

ln x

Задачи для самостоятельного решения

№6. Внести функции под знак дифференциала:

100

а) x dx;

(x + 1)

dx;

;

x100

100

(100 x 1)100

б) sin x dx;

cos 3x dx;

sin

3 dx ;

в) е –х dx;

е 3х + 4 dx;

3 dx;

7 хdx;

г)

;

sin 2 x

sin

2 8x

sin 2 (5 2x)

cos (5 – x) dx;

	4x		2x3

	3 dx;	7 5 dx;
7	3 dx;	7 5 dx;

д) exee x dx.

ПРИМЕР 1.2.10. Найти интегралы:

а)

x3dx

;

б)

x3dx

;

в)

x3dx

5x4

3 5x4

3 5x8

Решение. а) Внесем х3 под знак дифференциала

x3dx

d (x4 ) , далее

приведем

выражение

под дифференциалом к

виду

3 – 5 х4. Для этого

домножим и разделим х4 на число –5, компенсирующий множитель –1/5

вынесем за знак интеграла и к выражению –5 х4 прибавим число 3. Тогда получим


x3dx	1			d (x4 )			1	d ( 5x4 )

3 5x4	4		3 5x4			4( 5)			3 5x4
		1			d (3 5x4 )			1		ln	3 5x4	C.
		1			d (3 5x4 )			1
		20			3 5x4				20
		20			3 5x4				20

Аналогично находятся следующие два интеграла:

б)

так как

в)

x3dx

d (x4 )

d ( 5x4 3)

5x4 C ,

3 5x4

t1/ 2dt

t1/ 2

C 2

t C .

1/ 2

x3dx

d (x4 )

приводим интеграл к виду

5x8

2 a2

3 5x8


					d (						x4 )											x4
1					d (			5			x4 )				1	1		ln		5		x4	3	C
		(			x4 )2 (											2					x4
																	3
4 5			5									3)2			4 5		3		5				3
									x4

	1			ln		5							3	C . ■
										x4

8	15						5						3

ПРИМЕР 1.2.11. Найти интегралы:

б)

sin 2x dx

sin(x / 2) dx

; г)

а) sin x cos xdx;

; в)

5 cos 2x

3 5cos

(x / 2)

sin x

Решение. а) Внося sin x под знак дифференциала sin x dx d (cos x) ,

получим:

d (cos x)

cos(1/ 2)1 x

cos3/ 2

sin x

cos x dx

cos x

x C .

(1/ 2) 1

б) В данном интеграле

sin 2x dx d sin 2x dx

d sin 2x d (2x)

d (cos 2x) ,

и тогда

sin 2x dx

d (cos 2x)

d (5cos 2x 3)

3 5cos 2x

2 5

3 5cos 2x

101 ln 3 5cos 2x C .

в) Таким же образом

cos(x / 2)

sin(x / 2) dx

3 5cos2 (x / 2)

C .

5 cos

г) Как и было обещано, выводим табличный интеграл 9.

sin x dx

d (cos x)

sin x

sin2 x

1 cos2 x

cos2 x 1

cos x 1

C .

cos x 1

Предлагаем формулу 10 из таблицы интегралов вывести самостоятельно,

. ■

учитывая, что cos x sin x

ПРИМЕР 1.2.12. Найти интегралы:

e2xdx

e xdx

а)

;

б)

;

в) e 3 e2e 3 dx.

cos2 e x

3 3e2x 1

Решение. Во всех трех интегралах внесем экспоненту под знак

дифференциала.

d (e

)

а)

3e2x 1 3 d 3e2x 1

2 3

1 3e2x 1 2 / 3

интеграл вида tndt

3 3e2x 1

C .

2 / 3

e xdx

d (e x )

б)

tg e x C .

cos2 e x

в)

ex / 3 e2ex / 3 dx 3 e2ex / 3 d (ex / 3 )

e2ex / 3 d (2ex / 3 )

2ex / 3

C . ■

интеграл вида e dt

ПРИМЕР 1.2.13. Найти интегралы:

3 ln 3x

а)

;

б)

;

в)

dx .

x ln x

x)(ln 2 (x 1) 2)

Решение. а)

d (ln x)

ln x

C .

x ln x

ln x

б)

d (ln(x 1))

интеграл вида

(ln2 (x 1) 2)

2 a2

(x 1)(ln2 (x 1) 2)

ln( x 1)

C .

ln( x 1)

3 ln 3x

13 3 ln 3x d (ln 3x)

в)

3dx

d (ln 3x), поэтому

3 ln 3x 1/13 d ( ln 3x 3)

3 ln 3x 14 /13

C .■

ПРИМЕР 1.2.14. Найти интегралы:
а)	(2 arccosx	4)10	dx;	б)	x2 earctgx	dx.

	1 x2				1 x2

Решение. а)

(2 arccos x

4)10

dx (2 arccos x 4)10 d (arccos x)

1 x2

(2 arccos x 4)10 d (2 arccos x 4)

(2 arccos x 4)11

C .

б)

earctgx

x2 1 1

1 x2

earctg x d (arctg x)

x2 1

1 x2

earctgx d (arctg x) x arctg x earctg x C . ■

ПРИМЕР 1.2.15. Найти интегралы:

а) I 204 tg3x 4dx ;

cos2 3x

Решение. а) Разобьем интеграл почленно числитель на знаменатель:

б)

dx .

x 1

sin

3ctg

на сумму двух

интегралов,

разделив

I		204 tg3x					dx					4dx				1		204 tg3x d (tg3x)																			4			dx
I		cos2 3x					dx											204 tg3x d (tg3x)																					cos2 3x
		cos2 3x									cos2 3x				3																			3					cos2 3x
			1		204tg3x d (4 tg3x)														4			dx										1						204tg3x				4	tg3x C .
			3		204tg3x d (4 tg3x)													3			cos2 3x										3ln 20							204tg3x				3	tg3x C .
			3															3			cos2 3x										3ln 20											3
																													x 1
																								d	ctg
																								d	ctg
б)								1									dx 3															3
б)	sin			2 x 1				3ctg		2 x 1				8			dx 3						3ctg			2 x 1							8



					3						3																			3
														x 1																						x 1


									d ctg																							ctg									8 / 3


					1									3							1					3								3
			3																									ln														C . ■
			3			3			2		x 1		(							2				2			8									x 1						C . ■
						3		ctg	2		x 1				8 / 3)					2				2			8					ctg				x 1					8 / 3
								ctg			3				8 / 3)																	ctg			3						8 / 3
											3																								3

ПРИМЕР 1.2.16. Найти интегралы:

а)	x arcctg(x / 2)	dx ;	б)	2x2		3 arctg4 x	dx.
а)		dx ;	б)				dx.
	4 x2				1	x2

Решение. а) Представим интеграл в виде суммы двух интегралов, в

каждом из них используем метод подведения функции под знак

дифференциала.

x arcctg(x / 2)

x dx

arcctg(x / 2) dx

x dx

d (x2 ),

4 x2

d (arcctg(x / 2))

d (x2

4 x2

arcctg

ln(x

arcctg

C .

б)

2x2

3 arctg4 x

dx 2

3 arctg4 x

x2 1 1

1 x2

3 arctg4 x d (arctgx) 2 dx 2

arctg 4 / 3x d (arctgx)

1 x2

2x 2arctg x 73 arctg 7 / 3x C .

Обратите внимание на часто используемые приемы: почленное деление числителя на знаменатель, а также прибавление и вычитание одного и того же выражения. ■

ПРИМЕР 1.2.17. Найти интегралы:

1 x 2

sin(1/ x)

а)

dx ;

б) cos

;

в) e x

x 2

2)2

Решение. а) Учитывая, что

, получим

sin(1/ x)

dx sin

cos

C .

б) cos

x 2

		dx	dx		1
5				d		(см. пример a)
			(x 2)2
	(x 2)2			x 2

1		4			4		1
	cos		5 d			5
	cos		5 d			5
4	x 2			x 2			4

1 x2

в) e x2

d x3dx d

		4	5	C .
sin
sin
	x 2
1
1



x2

1		1	1		1		1		1	1
		2							2
	e x		d			1		e x		C . ■
2							2
				x2

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы в задачах №7-14:

№7. а) x4 (3 2x5 )19 dx ;

б)

x3dx

;

3x4 1

№8. а)

cos x dx

;

б)

sin(x / 4) dx

;

1 3sin x

1 3cos(x / 4)

№9. а) x2e3x3 dx;

б)

23 / x

;

№10. а)

;

б)

;

x ln15 x

x(2 ln 2x 5)

г)

(x 3) ln( x 3) ln ln( x 3)

в)

в)	3x 2	dx .

	3x2 4
	3x2 4
в)	sin 5x dx		.


	3 cos2	5x
	3 cos2	5x

e1/ x x3 3x 1dx . x2

x10 ln x dx ; x

№11. а)

;

б)

11 2

1 3 ctg2x

dx .

sin 2 x(3 2ctgx)

sin 2 2x

№12. а)

dx;

б)

sin(2 3

x 1)

;

в)

x 1

cos2 (

3x / 2)

cos(arctgx)

2 arcsin

2 x

№13. а)

dx;

б)

1 x2 cos2 (3arcctgx)

;

в)

dx .

1 x2

№14. а)

e xdx

;

б)

e xdx

;

в) ex / 4 cos 2 3ex / 4 dx .

3e 2x 1

3ex 1

IV. Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям:
udv uv vdu,	(3)

где u и v – непрерывно дифференцируемые функции от х.

Чаще всего она используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение степенной функции (или многочлена) и одной из следующих функций: показательной, логарифмической, тригонометрической или обратной тригонометрической.

Приведем ряд примеров.

ПРИМЕР 1.2.18. Найти x sin(x / 3) dx .
Решение. Пусть и=х, тогда dv sin(x / 3)dx . Из этих	двух равенств
находим элементы правой части формулы (3): дифференциал
находим элементы правой части формулы (3): дифференциал	du x dx dx;
v sin(x / 3)dx 3 sin(x / 3)d (x / 3) 3cos(x / 3). Применяя	формулу (3),

получим:

x sin(x / 3)dx x 3cos(x / 3) ( 3) cos(x / 3) dx

u	dv	u	v	v	du

3x cos(x / 3) 3 cos(x / 3)dx 3x cos(x / 3)

3 3 cos(x / 3)d(x / 3) 3x cos(x / 3) 9sin(x / 3) C . ■

Другая форма применения формулы (3) состоит в том, что исходный интеграл сначала представляют в виде udv . Для этого в подынтегральном выражении перед дифференциалом оставляют только функцию, принятую за и,

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Int

#
21.03.20163.97 Mб73integrals.pdf
#
21.03.2016835.07 Кб273Определенный интеграл.doc
#
21.03.2016270.09 Кб60Таблица интегралов.docx