Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Int / integrals

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

№2. Пользуясь таблицей	производных и определением первообразной,
подобрать какую-нибудь первообразную для функции f (x):
а) f (x) 5x ;	1
	б) f (x)			.
		2
			1 x2

Таблица неопределенных интегралов

xndx

xn1

n 1.

n 1

C .

a x

a xdx

(a 0,

a 1) , в частности,

ln a

4.exdx ex C .

5.sin x dx cos x C .

6.cos x dx sin x C .

ctg x C .

sin2 x

tg x C .

cos2 x

C .

sin x

10.

C .

cos x

11.

arctg

arcctg

(a 0) .

x2 a2

12.

x a

(a 0) .

x2 a2

x a

13.

arcsin

C arccos

(a 0) .

a2 x2

14.

x2 a2

(a 0) .

x2 a2

arcsin

C, (a 0) .

15.

a2 x2

16.

x2 a2

C .

Замечание. Интегралы №9 и №15 будут выведены ниже.

Инвариантность формы записи интеграла

Форма записи любого из приведенных в таблице интегралов не меняется при замене х на любую дифференцируемую функцию от х, т.е. если

f (x) dx F (x) C , то

f (u(x)) du(x) F(u(x)) C ,

(1)

где и(х) – дифференцируемая функция.

d (cos x)

Например, зная,

что

C , имеем

cos x

C .

cos x

exdx ex C ,

Аналогично,

используя

получим,

что

e7 xd (7 x) e7 x C ;

или

из cos x dx sin x C

получим,

что

cos(5x x) d (5x x) sin(5x x) C .

Задачи для самостоятельного решения

№3. Используя инвариантность формы интеграла, найти следующие интегралы:

					б) 5tgx d (tg x) ;	в) cos(6 x) d (6 x) ;
а)	x 2 d		x 2 ;

г) ex2 3d (x2 3) ;			д)
ж)	d (2 3x)	;	з)
	(2 3x)100

к) 7arcsin x d arcsin x .

d (ctgx)		;	е)


3 ctg2 x
3 ctg2 x
d (x2 )	;		и)
	;		и)
x4 3

d (sin x) ; sin2 (sin x)

d (5x ) ; 3 25x

1.2.Основные методы интегрирования

I. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование осуществляется с помощью таблицы неопределенных интегралов и свойств неопределенного интеграла после преобразований подынтегрального выражения, если они требуются. Разберем этот метод на примерах.

ПРИМЕР 1.2.1. Найти

а) I (4x34		x 33			б)* I x		x		dx .
	2		x	)dx;

Решение. а) Используя свойства 3 и 4 неопределенных интегралов

(Раздел 1.1), получим I 4 x34dx 2 xdx 3 3 xdx. Применим к каждому

слагаемому формулу 1 из таблицы интегралов (Раздел 1.1):

													1			1
	x34 1					x1 1
	x34 1					x1 1							x3
I 4		C 2							C		2	3					C
I 4		C 2							C			3					C
	34 1		1			1 1							1			3
	34 1					1 1							1		1
														3	1
												4
			4	x35			2	x2		9		4	C,

												x 3
												x 3
			35		2					4

где введено обозначение С = С1 + С2 + С3 .

Замечание 1. В дальнейшем будем сразу	суммировать			все
произвольные постоянные и записывать общую константу С.
б) Очевидно, результат интегрирования зависит от знака х, поэтому
подынтегральную функцию можно переписать в виде:	x	x	x2 sgn x ,	где

1	при x 0,
	при x 0, Поскольку
функция знака х («сигнум») определяется как sgn x 0
	при x 0.
1

sgn х по сути является константой, ее можно вынести за знак интеграла. Таким образом, получаем:

I x2 sgn x dx sgn x x3 C . ■

ПРИМЕР 1.2.2. Найти I (sin x 1) dx .

Решение. Разбивая данный интеграл на сумму двух интегралов и

применяя к первому из них формулу 5 таблицы интегралов, а ко второму – свойство 2 (Раздел 1.1), получим: I sin x dx dx cos x x C . ■

ПРИМЕР 1.2.3. Найти I

( p const) .

dx,

4 x2

Решение. Выносим константу р за знак интеграла и применяем формулу

11 таблицы интегралов: I p

arctg

C . ■

Внекоторых случаях подынтегральное выражение может быть приведено

ктабличному виду с помощью ряда алгебраических преобразований, формул тригонометрии и т.п. Проиллюстрируем некоторые из этих приемов на примерах.

ПРИМЕР 1.2.4. Найти интегралы (m, n, p, q – константы):

m nx x2ex

3 2

а)

б)

dx;

54 x

2x4

1 x2

в)

2 x2

3 3 x2 3

dx ;

г)

dx;

д)

dx;

2x2 1

a x4 9

q 1

sin

е)* p cos

dx ;

ж)*

sin

x cos

Решение. а) Разделим

почленно каждое слагаемое

числителя на х2,

после чего разобьем данный интеграл на сумму трех интегралов, вынесем константы за знаки интегралов и применим табличные формулы:

m nx x2ex

m x2dx n

exdx m

n ln

ex C

n ln

ex C.

б) Вынесем

константу

1/5

за знак интеграла, возведем числитель в

квадрат, разделим почленно на 4 x , а далее разобьем на алгебраическую сумму трех интегралов:

3 2			2
		x
		x		dx		1				9 12 x 4x									dx

54						5							4
54	x					5							4		x
																						x			1					1						1
																									1					1						1
			9		dx			12					xdx				4	xdx			9										12		x
			9		dx			12					xdx				4	xdx			9				4 dx						12				2	4 dx
																									4 dx										2	4 dx
			5		4 x		5					4 x					5	4 x		5										5
							4				1		1				9	x	( 1/ 4)1						12			x	(1/ 4)1
											1		4 dx						( 1/ 4)1										(1/ 4)1
									x
									x																			(1/ 4) 1
							5										5 ( 1/ 4) 1 5											(1/ 4) 1
																x(3 / 4)1											3			5						7
														4						C				12								48	x				16	x		C.
														4										12		x 4						48		4			16		4
																(3 / 4) 1										x 4								4					4
													5			(3 / 4) 1							5							25						35

в) Преобразуем

выражение

знаменателе

подынтегральной

дроби:

x4 9 x2

x2 3 , тогда

2 x2

3 3 x2 3

x4 9

2 x

3 x

x2 3

г) Вынесем из знаменателя число 2 за знак интеграла, затем в числителе

вычтем и прибавим число 1/2, после чего разобьем дробь на сумму двух дробей. Имеем:

						2				1			1										2		1			1
x2			1		x														1		x
x2			1		x					2			2						1		x				2			2
	dx									2			2	dx											2			2					dx
2x2 1	dx		2								1			dx					2						1							1	dx
			2				x2				1								2		x2				1		x2					1
							x2														x2						x2
											2														2			2
	1	dx		1							dx					1		x				1				dx
		dx							x2 1/ 2									x						x2 1/							2
	2			4												2				4
	2			4												2				4									2

				x				1					1				ln				x 1/				2	C				x					2	ln	2	x 1	C.
																	ln									C										ln			C.
				2		4						2 1/			2						x 1/				2			2						8			2x 1

д) Подынтегральное выражение представляет собой неправильную

рациональную дробь. (Напоминание: рациональная дробь называется

правильной, если степень многочлена числителя	2x4 x2 1			x2 3
правильной, если степень многочлена числителя

меньше степени многочлена знаменателя).
	2x4 6x2		2x2 7
	2x4 6x2		2x2 7
Выделим целую часть этой дроби, разделив углом		7x2 1
		7x2 1
числитель на знаменатель. Важно: числитель и		7x2 21
числитель на знаменатель. Важно: числитель и		7x2 21

знаменатель должны быть записаны по убывающим	20
	20
степеням х.
Тогда интеграл примет вид:

2x4

1 x2

dx 2x2 7

2 x

dx 7 dx 20

x2 (

3)2

2 3

е) Применяя

тригонометрические

формулы

cos

2 x

1 cos x

sin

1 cos x

, получим:

ж)

то

q 1

1 cos x

q 1

p cos

sin

cos x)

q 1

cos xdx

p 1

cos x dx

q 1

p 1

sin x

q 1

x1/ 2

p 1

2(q

sin x

x C.

1/ 2

Так как

sin2 x cos2 x

sin2 x

cos2 x

sin2 x

cos2 x

sin2 x

cos2 x

sin2 x cos2 x

sin2 x

cos2 x

sin2 x

sin

x cos

cos

sin

tg x ctg x C . ■

sin2 x

cos2 x

Задачи для самостоятельного решения

№4. Используя методы, аналогичные изложенным выше, найти следующие

интегралы:

а) (ax3

5x4

sin x)dx ;

б)

(3x

1)3

dx ;

в)

x3 9x2 x33x

dx;

г)

x3 x 4

dx;

д) ctg2 x dx ;

е)

(2 cos x)2

dx ;

cos2 x

x2 1

cos

dx ;

ж) sin

dx;

з)

и)

;

1 cos 2x

2x ex

к)

dx .

II. Интегрирование с помощью замены переменной (метод подстановки)

Этот метод состоит в том, что переменную интегрирования заменяют на

некоторую непрерывно дифференцируемую функцию х = φ(t); тогда: dx = d φ(t) = φ'(t) dt; f (x)dx f ( (t)) (t)dt .

Иногда целесообразно использовать подстановку в виде t = g (x), где g′(x)

– непрерывная функция; тогда f (g(x))g (x)dx f (t)dt , т.е. формулу замены переменной можно применять и справа налево.

После интегрирования надо вернуться к старой переменной с помощью обратной замены.

ПРИМЕР 1.2.5. Найти I x2 2x dx .

1 x

			1 x t2 ,	x 1 t2 ,
Решение. Сделаем замену 1 x t , тогда

dx 2t dt и

(1 t2 )2 2(1 t2 )

( 2t) dt 2 (1 t2 )2

2(1 t2 ) dt

2 (1 t

)dt 2 t

2 1 x

(1 x)

2 (1 x)5

2 1 x

C . ■

ПРИМЕР 1.2.6. Найти I

4 x2

Решение. Заметим, что если сделать замену x = 2 sin t,

;

тогда

4 x2

4 4sin2 t 2 1 sin2 t 2

cos2 t

cos t

2cos t . Модуль

был снят со знаком плюс, т.к. в выбранном интервале t arcsin

cos t ≥ 0.

2 cos t dt

Далее находим dx = 2 cos t dt и I

ctg t

C .

4sin2 t 2 cos t

sin2 t

Делая обратную подстановку, получим

ctg t C

1 cos arcsin(x / 2)

ctg arcsin

4 sin arcsin( x / 2)

1 sin2 arcsin(x / 2)

4 x2

C .■

x / 2

Задачи для самостоятельного решения

№5. Вычислить интегралы:

а) x 3x 2 dx ;

б) tg2 x 3tg x 2 dx . cos2 x

III. Интегрирование путем подведения функции под знак дифференциала

Этот прием интегрирования очень удобен. Суть его та же, что и в методе замены переменной (п. II), но ввиду чрезвычайной важности умения подводить различные функции под знак дифференциала при интегрировании многих классов функций этот прием выделен нами в отдельный пункт.

Базируется он на свойстве инвариантности формы записи интеграла и является одним из наиболее распространенных приемов; позволяет во многих случаях легко привести интеграл к табличному виду.

Идея приема состоит в том, что некоторым преобразованиям подвергается дифференциал. Напомним формулу для вычисления дифференциала функции φ(x):

dφ(x) = φ'(x) dx.

(2)

Если в подынтегральном выражении имеется множитель, являющийся производной какой-либо функции (или ее частью с точностью до коэффициентов, на которые можно домножить и разделить все выражение), то умноженный на dx, он представляет собой дифференциал этой функции.

Функцию записывают после знака дифференциала d, т.е. формулу (2)

применяют справа налево, и говорят, что функция внесена (или подведена) под знак дифференциала. Шутка: предлог «под» не означает, что функцию опускают ниже знака дифференциала.

Отметим, что

d(x + а) = dx, d(a x) = a dx,

где а – любая константа; т.е. прибавление или вычитание константы под знаком дифференциала не меняет дифференциала, так как дифференциал константы равен нулю, постоянный множитель можно как вносить под знак дифференциала, так и выносить за его знак.

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Int

#
21.03.20163.97 Mб76integrals.pdf
#
21.03.2016835.07 Кб283Определенный интеграл.doc
#
21.03.2016270.09 Кб63Таблица интегралов.docx