Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Int / integrals

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

ж)		4					arctg					2tg x												x ;																	з)						3				ln						1					4tg					x				;										и)					1	ln	2	cos 2x		;




		3															3							2tg x 1																							4																				3																			4
		3															3																														4																				3																			4
	1							4																															1					1 2 cos2 x sin x cos x
	1							4																															1
к)			x											arctg																											ln																																						.
к)			x											arctg																											ln																																						.
	5				5 11																						11												5
	5				5 11																						11												5

																											x 9						3																																1											6
																																																					6 ln								6
35. а) 2								x 9 3ln																														;									б)																x																		;


																											x 9 3																																															6 x 1
																											x 9 3																																															6 x 1
																																																																					2											1
		2																							1																																																		x 1
		2								x 1 1															1							x 1							x 2																																				x 1
в)						ln																					ln																									2							3 arctg																							;
		3																							3
																																																																												3


				4										5							1 24																			д) 66																		6 arctg 6																			;
г)		x							x					5		ln													x			;																ln x																									ln x
г)		x							x							ln													x			;																ln x																									ln x
												2
												2

	3							66										6 arctg 6																;																																											x2				3
		3 x2																																									ж) ln													x								x2 3
е)															x																		x																																																		;
е)															x																		x																																														x				;
	2																																																																														x
													1																														1						ln x ;																										5 ex
		x2 2																													x2 2
з)																			ln						2																																											и)															;

												2																																	2																											5				5 e2x
												2																																	2																											5				5 e2x

	1																																										x																2 x2																		x2				2x
	1																																										x																2 x2																		x2				2x
к)		x 9 x2 (2x2																						9) 81arcsin																							;			л)																				; м)															.
к)		x 9 x2 (2x2																						9) 81arcsin																							;			л)																				; м)											1				.
	8																																									3																		1 x						2												x			1
																																																												1 x
Глава 2.
1. ln 2.												2. а) 44;													б) 0;							в) 12,5 π.																																3. а) 3/2;																		б) π / 6;								в) 1;
																											1
	4			2					1		; д) 0;																		(16 7																							1							(3 8) .
г)	4			2					1														е)																2) ;							ж)						1																				4.									.			5. 100					2 .
г)																							е)			60													2) ;							ж)																										4.									.			5. 100					2 .
		3						3																		60																										32																								3
																																										1							3
6. а) е – 2; б) π – 2; в) – 1 / е; г)																																				ln											(9 4 3) .
6. а) е – 2; б) π – 2; в) – 1 / е; г)																																				ln											(9 4 3) .
																																											2								2			36
												3										1
8. а) ln 9												3					ln					1				(31 7									13)										б) 1															3							2 ; в) π / 4.
																																									;
																																									;
												13										18
9. а) 0; б) 1; в) 0.

11. 3 < I1								< 5;									2			I2								2		;							I3																		3			.
11. 3 < I1								< 5;									9			I2										;		2					I3															2						.
																	9										7					2													2							2

161

12. I2 больше.

14.4 tg1 1, 22 .

15.а) 1/3; б) 10/3; в) (cos φ)/ 2.

16.а) 2/ ln 2; б) 1/8; в) π / 2; г) расходится; д) расходится; е) расходится.

18.а)Сходится; б) расходится; в) сходится; г) расходится; д) расходится.

19.а) Сходится абсолютно; б) расходится; в) сходится.

20.

а) Расходится; б)

2185

; в)

; г)

2 / 3

;

д) при р ≥ 1 расходится, при

374

р < 1

(ln 2)1 p

;

е) расходится;

ж) 2 + π.

1 p

21.

а) Сходится;

б) сходится;

в) сходится;

г) сходится;

д) сходится;

е) расходится; ж) сходится.

22.

а) расходится; б) расходится;

в) сходится.

e3 4

23.

а) 1 – π / 4; б) 5/4; в)

;

г) 2(e e1) ;

д)

10 2

; е) 9/4;

ж) 7/3.

24.1 < n <2.

25.а) 3π; б) 15π /128; в) 169π.

26.а) 3π /2; б) 1 – π /4; в) 1) π /8 – 1/4, 2) π /8 + 1/4; г) π /8; д) 2 .

			3	1
27. а) VOx = 48π /5,	VOу= 24π /5;	б) VOx			,

			3 4	896
		10

		3
	3	3	4	1		2
V	3		4	1	; в) VOx = 2π, VOу= π (е	2	– 1)/2.


Oy	28			80
	28			80

28.а)

29.а)

30.а)

		3										5
		3		6	ln(		2		3)			5
ln tg			; б)							;	в)	ln tg	.
ln tg			; б)							;	в)	ln tg	.
		8										12
8а; б) 16а; в) 8π.
	e2 / 3 1 ; б)
5					5			3		1
5					5	ln		3	; в)	1	(2 3 3) .

2					12			2		8

162

ТИПОВЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ

ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Предлагаются примерные варианты тестов, контрольных и домашних работ по разделам интегрального исчисления, изложенным в пособии. Все они были любезно предоставлены лекторами потоков разных факультетов. Баллы, которыми оценивается каждая рейтинговая работа, могут быть различными на разных потоках (они определяются лекторами потоков).

Факультет геологии и геофизики нефти и газа

Контрольная работа «Неопределенный интеграл» (15-20 баллов)

Вариант №1

arctg 2x

1 4x2

exdx

ex e2x

3. x ln x dx

sin3 x

cos x

(x 3)dx

2x 3

1 x4

x(x2 2x

Вариант №2

(2x 1) dx 1. x(x2 3x 2)

2. tg2 x dx cos4 x

3x dx

3. x2 x 5

4. arcsin 3x dx

5. 1 1 x

6. arctg x dx

1 x2

Вариант №3
1.	5x dx

	1 x4
	1 x4
2.		exdx
2.	e2x 6ex 13
	e2x 6ex 13
3. ln(x2 2) dx
4.		dx

	sin2 x(1 ctg x)
	sin2 x(1 ctg x)
5.		(2 x)		dx

	(x 4)(x2
	(x 4)(x2		1)

6. 3 cos x 2

163

Контрольная работа или домашнее задание «Определенный интеграл» (5-15 баллов)

Вариант №1

1dx

1.Вычислить интеграл x2 4x 5 .0


2.	Вычислить несобственный интеграл x e2x2 dx .
	0
3.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2			2x,	y x 2 .
4.	Фигура, ограниченная линиями y ln x,	y 1,	y 0,	x 0 ,	вращается

вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.

Вариант №2

5dx

1.Вычислить: .

0(25 x2 )3

2.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:

3(1 sin )		0
3(1 sin )		0	.
	6

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ площади,

ограниченной линиями:	y		1		, y 0,	x	1	,	x 1.
ограниченной линиями:	y		x2		, y 0,	x		,	x 1.
			x2			3
						dx
4. Исследовать на сходимость интеграл:						dx			.

						x2 (x 1)
					1	x2 (x 1)
					1
					Вариант №3
e2
e2	ln x
1. Вычислить интеграл:	ln x			dx .
1. Вычислить интеграл:		x		dx .
e		x
e

x p cos t,

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

y q sin t.

164

3. Кривая задана уравнением y2 4x3 , вычислить длину ее дуги между началом координат и точкой (1; 2).

2		dx
4. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:				.

	x2
0			3x

Факультет разработки нефтяных и газовых месторождений

Контрольная работа «Неопределенный интеграл» (15-20 баллов)

Вариант №1

Вариант №2

x arctg

2 x

ex dx

1 x2

e2x

2. 3 x5 ln x dx

cos2 x

6x 13

x dx

(x 5)

(x 3)

4x 9

4. sin3 2x cos3 2x dx

x dx

x 3 x

5x 1

3 2

4x 7

cos4 x

6. tg

5x dx

3x 5

2 (x2

sin x 3

4 cos2 x 5 sin

2 x

	Вариант№3
1.			x3 x					dx

				4 x4
				4 x4
2.		(x cos 4x)dx
2.					sin2 4x
					sin2 4x
3.		3x2 2x 3							dx
3.			x(x3				27)		dx
			x(x3				27)
4.			cos x dx
4.		2 3cos x
		2 3cos x

5.	(				x 1	1				1		)dx
5.	(											)dx
					x 1 1				x	1 x	2
									x	1 x

6. sin4 3x cos3 3x dx

7. (1 x) dx x2 2x

Тест «Определенный интеграл» (5-10 баллов)
Вариант №1
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y2 x3,	x 0,	x 8.

165

x 17(t sin t),

2. Вычислить длину дуги первой арки циклоиды:

y 17(1 cos t).

3.	Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ полуволны
синусоиды y sin x,		2 x 3 .
			Вариант №2
1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
		y2 2x 1,		x y 1 0.
2.	Вычислить длину дуги части кривой:			y ln(1 x2 ),	0 x 1/ 2 .
3.	Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры,
ограниченной линиями y2 x,			x 4 .

Домашнее задание (5 баллов)

1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
	y ctg x,		x / 6,			x / 3,		y 0.
2.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 4cos 4 .
3.	Найти длину дуги линии		x t s i n t ,				y	1 c ots между точками её
пересечения с осью абсцисс.
4.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры,
ограниченной петлёй x 1 t2 ,				y 2(t t3 ).
5.	Вычислить или исследовать на сходимость интегралы:
		dx				0	x dx
	a)				; б)				.


	2	x ln3 x				1 x2 3x		2

166

Тест «Несобственный интеграл» (5-10 баллов)

Исследовать интегралы на сходимость:

Вариант №1 Вариант №2

1 e							dx
1 e		x 1					dx
1.				dx			1.
1.		x		dx			1.	x5
0		x					1	x5
			dx						2x dx
2.			dx				2.		2x dx
2.	x4 sin2 x						2.		x3 5
1	x4 sin2 x						0		x3 5
1							0
1 ln(1					)		0
1 ln(1				x	)		0				dx
3.						dx	3.
		sin x
										1 x3
0							1			1 x3

Факультет проектирования, сооружения и эксплуатации систем

трубопроводного транспорта

Контрольная работа «Неопределенный интеграл» (10-20 баллов)

Вариант №1

1. esin x cos x dx

2. x dx

x2 x 1 3. x ln x dx

4. 3x 1 dx

5. cos2 x 2

6. (x 1)2 (x 2)

Вариант №2


1.		1 ln x				dx

					x
2.				dx


			x		2 x

3.	(2x 1) e x dx
4.	sin4 x dx
5.				dx
			x	4 1

6. 2 sin x 3 cos x 1

167

Контрольная работа «Определенный интеграл» (10-15 баллов)

Вариант №1

e 1 ln x

1.Вычислить: dx .

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой: 2cos .

3.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ площади,

ограниченной линиями: y x2 1,

x 0,

x 1.

Вариант №2

1x3

1.Вычислить: 0 x 2 dx .


2.	Вычислить несобственные интегралы: а) x e2x dx ; б)		ln x dx .
		0	0
3.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
	x2 y2 16,	x2 12( y 1) .

Факультет инженерной механики

Тест «Простейшие приемы интегрирования» (5-10 баллов)

1. (1 x2 )arctg3x

sin 3x dx 2. 5 4 cos2 3x

3. ln(3x) dx x

4. x 4 dx

(x 2)

5. 2x2 4x 6 dx

6. dx

2x2 4x 6

168

Контрольная работа «Неопределенный интеграл» (15-20 баллов)

Вариант №1

1. cos2 x dx sin6 x

x 2

2. (x 2)(x2 4x 8) dx 3. arcsin x dx

4. 4x3 2x

5.	e3x
		dx


2	e3x

6. sin2 x 3sin x cos x 1

Вариант №2

tg x

4 ctg x

x5 x4

x3 4x

3. ln(x

1 x2 ) dx

(4 3x) dx

5x2 6x 18

5. ctg

6.e2x 4 dx

Самостоятельная работа «Определенный интеграл» (15-20 баллов)

1.	Найти среднее значение функции y		sin 2x			на отрезке [0; / 2] .


		1	cos2 2x
					x dx
2.	Вычислить несобственный	интеграл			x dx		или доказать его

					x4 16
					x4 16
				6
расходимость.
3.	Найти площадь, ограниченную линиями, уравнения которых:
	y sin x,	y cos x,	x 0,		x / 4 .

4.Найти площадь, ограниченную линией 3(1 cos ) .

5.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры,

ограниченной линией y sin2 x на отрезке от x 0 до x .

169

Факультет химической технологии и экологии

Тест «Простейшие приемы интегрирования» (5-10 баллов)

1.x 5 x2 dx

2.x dxln x

3.		dx


	x 1	4 ln2 x
	x 1	4 ln2 x

4.x 3 dx

5.x2 x 1 dx

Контрольная работа «Неопределенный интеграл» (15-20 баллов)

Вариант №1

Вариант №2

ctg 2x

arccos x

1 x2

2. x ln x dx

(x 1)(x2

x2 6x

x dx

4. sin

3 x 1

x dx

sin2 3x

x 3 x

tg x

Домашняя работа «Определенный интеграл» (10-15 баллов)

Вариант №1

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: xy 12, x y 8 . 2. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Int

#
21.03.20163.97 Mб75integrals.pdf
#
21.03.2016835.07 Кб282Определенный интеграл.doc
#
21.03.2016270.09 Кб62Таблица интегралов.docx