Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Int / integrals

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

5	dx	3	dx	5	dx
получается						0 , что противоречит расходимости
	x 3		x 3		x 3
1		1		3

рассматриваемого интеграла. Если даже взять интервал интегрирования, не симметричный относительно точки разрыва функции но содержащий ее, то две части фигуры будут иметь площади отличающиеся друг от друга на конечную величину. Сумма интегралов, хоть и не будет равняться нулю, все равно останется конечной.

Объяснение выявленного противоречия может быть найдено в определении несобственного интеграла. Проведем исследование сходимости

интеграла I

по определению (формула (5) параграфа 2.3).

x c

lim

lim ln

x c

0 c x c

lim

x c

lim ln

a c

lim ln b c ln ln a c ln b c ;

впоследнем выражении содержится неопределенность вида ∞ – ∞. Для того чтобы ее раскрыть, нужны сведения о том, как именно стремятся к нулю ε и η.

А их в определении несобственного интеграла не заложено. Подчеркивается лишь то, что они ведут себя независимо друг от друга. Именно поэтому получается, что интеграл I расходится при р = 1.

Аналогичная неопределенность имеется и при р > 1:

(x c) p dx

I lim

lim

0 c

(x c) p1

lim

p 1

151

lim

p 1

0 (x c) p1

( )

(b c)

p 1 (a c)

Т.к.

ε → +0 и η → +0, то при нечетном р > 1 показатели степени р – 1 > 0 и

четные, следовательно,

; имеем неопределенность

( ) p 1

p 1

вида

∞ – ∞. Заметим,

что

при

четном

р > 1

( ) p 1

p 1

неопределенности нет; интеграл равен бесконечности, что, кстати, не противоречит бесконечности площади фигуры под графиком функции,

состоящей в данном случае из двух бесконечно протяженных кусков.

Главное значение несобственного интеграла

Неопределенности, о которых шла речь, раскрываются, только при наличии информации о взаимном поведении ε и η. Эта информация содержится в понятии главного значения несобственного интеграла. Оно обозначается символом v.p. (valeur principale –главное значение).

Определение. Если функция	f (x) такова,		что при любом ε > 0
c		b
существуют собственные интегралы	f (x)dx и		f (x)dx (a < c < b), то под
a		c

главным значением в смысле Коши (v. p.) понимается число

b	f (x) dx		c		f (x) dx	b
v.p.	f (x) dx	lim			f (x) dx		f (x) dx .
	0					c
a	0			a		c
Аналогично
				A
v.p.	f (x) dx	lim			f (x) dx .
		A		A
				A

152

	b
Заметим, что для интегралов f (x)dx и	f (x)dx от непрерывной
a

функции f (x), понятие главного значения не вводится.

ПРИМЕР 2.5.4. Найти

а) v.p.

;

б) v.p.

;

в)

v.p.

г) v.p. sin x dx .

1 x 3

x2 1

1 x3

Решение. а) По определению главного значения несобственного

интеграла

lim ln

x 3

v.p.

lim

x 3

lim

ln 2 ln 2 ln

lim

ln 0 ,

здесь было использовано логарифмическое тождество loga x loga y loga xy .

Отметим, что полученный результат не противоречит ни геометрическому смыслу исследованного интеграла, ни его расходимости по определению. Сходимость несобственного интеграла по определению и в смысле главного значения – разные понятия.

б) Подынтегральная функция имеет точки неограниченного изменения:

х = 1 и х = –1; первая из них принадлежит интервалу интегрирования. Поэтому данный интеграл относится к смешанному типу, и его следует разбить на два

для дальнейшего исследования:

, где

k –

x2 1

произвольное число, большее 1 + ε. Для второго из интегралов-слагаемых понятия главного значения не существует; его вычисляем просто по определению.

Имеем

153

		dx										1						dx						k							dx																				b					dx
v.p.		dx								lim								dx													dx													lim												dx
v.p.		2								lim								2												2														lim											2
0 x		2	1						0								x	2	1				1 x							2			1										b k x												2		1
0 x			1						0				0				x		1				1 x										1										b k x														1
								1			x 1					1					1					x 1											k																1							x 1			b
								1			x 1					1					1					x 1											k																1							x 1			b
		lim								ln													ln																								lim									ln

								2			x	1									2					x 1																											2							x 1
	0							2			x	1				0					2					x 1										1									b								2							x 1			k
																0																				1																											k
											1																							k 1
											1																							k 1
								lim				ln									ln1 ln																						ln
								lim				ln				2					ln1 ln													k 1									ln					2
							0				2					2																		k 1														2
																							0
																							0
											1	lim						ln			b 1							1			ln							k 1									1			lim							ln			2
											1										b 1							1										k 1									1													2

																					b 1																	k 1																						2
											2 b										b 1					2												k 1									2 0													2
																	1		lim				ln				b 1													1	ln1							1		ln1 0 0 0 .
																	1										b 1													1								1

																											b 1
																	2 b										b 1												2								2
																																																																	dx
Заметим, что				отсутствие													обычной												сходимости																						интеграла														dx

																																																																x2 1
																																																																x2 1
																																																															0
устанавливается с помощью признака сравнения,																																												т.к.										1					O				1		при

																																																			x2 1
																																																			x2 1											x 1
х → 1.
в) По определению главного значения несобственного интеграла
			2		dx													dx				2 dx																									1												1			2
			2		dx													dx				2 dx																									1												1			2
v.p.									lim																										lim
v.p.									lim																										lim
							3			0									3						3							0																	2												2
			1 x										1 x									x																								2x						1						2x
			1 x										1 x									x																								2x						1						2x
																					1								1							1								1							3
												lim																																										.
												lim												2																					2									.
											0								2( )					2					2							8						2			2						8
											0								2( )										2							8						2									8
г) По определению главного значения несобственного интеграла
																				A
v.p.						sin x dx									lim							sin x dx
												A								A
																				A
												lim (cos A cos( A))																																			lim						0 0.
												A																																	A
Обратите внимание:														обычной										сходимости																						у			этого											несобственного

интеграла нет, и даже сама подынтегральная функция не имеет предела при

х → +∞. ■

154

ПРИМЕР 2.5.5. Найти v.p. 1 x2 2x .

Решение. Обычная сходимость этого интеграла уже исследовалась в примере 2.3.16в) и было установлено, что он расходится.

Подынтегральная функция не ограничена в окрестностях двух точек:

х = 0 и х = 2, поэтому разбиваем интеграл на три части и по определению главного значения несобственного интеграла получаем:

v.p.

1 x2 2x

1 x2

x2 2x

lim

1 x2

x2 2x

2 x2

	b	dx	lim	1		x 2

lim					ln
		x2 2x		2		x
b	3		0

lim		1		x 2	2
			ln

		2		x
1	0
	0

						lim								1	ln					x 2					3							lim							1	ln				x 2						b


														2							x																		2						x
							0							2							x					2				b									2						x					3
																										2																								3
lim	1	ln		2					1			ln 3							lim				1			ln							lim										1		ln		2
	1								1														1																				1
																											2
0	2								2							0 2											2									0 2
	1			1							1										lim							1					b 2									1				1
	1	ln		1	lim						1	ln																1	ln				b 2									1		ln		1
		ln			lim							ln																	ln															ln
	2		3		0				2					2								b						2						b								2				3
					1	ln 3 lim											1					2					lim									1		ln			2								1		ln1
					1												1			ln		2														1					2								1
																				ln		2																			2
					2							0 2										2						0 2													2							2
								1		ln			1			1		ln1						1		ln1				1	ln				1		.
										ln								ln1								ln1					ln						.
					2				3							2						2						2						3

В качестве точек разбиения интервала интегрирования были выбраны х = 1 и

х = 3, но они могут быть любыми из интервалов (0 + ε; 2 – μ), (2 + μ; +∞). ■

155

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

Глава 1.

Для краткости произвольная постоянная С везде опущена.

Например, а)

7 ;

б)

arcsin x

а)

x 2

;

б)

5tgx

;

в) sin(6 x) ;

г) ex2 3 ;

д) arcsin

ctg

;

е) ctg(sin x) ;

ln 5

(2 3x)99

7 7 arcsin8 x

arctg

ж)

; з)

;

и)

;

к)

2 3

cos x

x 2 6x 2

9 ln

x ;

а)

;

б)

в)

;

ln 3

ctg x x ;

ж) x cos x ;

г)

4arctg x ;

д)

е) 4tg x 4 ln

x ;

tg x ; к) 2(ex

) .

з) 4

; и)

ln 3

9x9

5.а) 3(x 2)3 7

6.а) d (x101) ;

101

				4								10				5
		3(x 2)
				3		1	tg5 x			3					3

					; б)						tg	3 x				tg3 x .

			2			5				5					5
			2			5				5					5
	1							1						100		99		d (100x 1)99
			d (x 1)101;						d (x99 ) ;
																d (x100 ) ;			;
																d (x100 ) ;			;
101								99					99				9900

б) – d (cos x);

d (sin 3x) ; 2d (cos(

3)) ;

– d (sin (5 – x));

3 d (7

2x3

d (e3x4 )

d (7x )

–х

)

в) – d (е

);

; 3d (e

3 ) ;

;

d (7 5 ) ;

ln 7

4 ln 7

2 ln 7

156

г) d (ctg x) ;	3		8x		1		2x)) ;	д) d (ee	x
		d ctg		;		d (ctg (5			) .

	8		3		2

	(3 2x5 )20						(3x4 1)2 / 3									2
													3x2 4									x 3x2 4		.
7. а)					; б)					; в)								ln			3
		200							8									ln

														3
														1			cos			5x
8. а)		1	ln	1 3sin x		;	б)	8	1 3cos		x	;	в)		arcsin								.
		1						8			x


		3						3		4				5					3
		3						3		4				5					3

																														3								1								x2
			1			e3x3							; б)										1											; в) e																			3									1				.
9. а)			1																				1					2				x									x												3									1
9. а)																												2				x									x												3
	9																			3ln 2																								2							2		3			x	2						x
																																																			2					x
10.	а)												1					;			б)				1		ln							2 ln 2x 5									; в)							x10									ln2 x						;		г) ln					ln ln(x 3)			.
													1												1																									x10									ln2 x

								14 ln14 x																	2																								10											2
								14 ln14 x																	2																								10											2
					1																														11										2															3

11.	а)							ln				3 2ctgx											;		б)												ctg2x											(1 3ctg2x)2 .

				2
																																	2											9
																																	2											9

									5 x
				2																			2																													4		tg							3x			.
12.	а)																; б)						2	cos(2 3 x 1) ;																								в)				4									3x
12.	а)									ln 5							; б)							cos(2 3 x 1) ;																								в)
										ln 5													3																												3									2
13.	а) sin (arctgx) ;																					б)									1			tg(3arcctgx) ;															в) 2arcsinx																		1	arcsin3 x .
13.	а) sin (arctgx) ;																					б)												tg(3arcctgx) ;															в) 2arcsinx																			arcsin3 x .
																														3																																					3
																																							ex																	4														x

					1																									1														3
14.	а)				1			ln			3ex					1			;				б)							1						ln								3			;		в)									sin 2 3e												4	.


				3																					2								3						ex					3											3
				3																					2								3						ex					3											3
							3x						2					4


15.	а)			e 2											x								;		б)						3 x[(x x2 ) ln1 3 (1 2x) ln2 3 2 ln3 3] .


													3					9
16.	а)			4x sin										x		16 cos										x			;					б)				1		( 27 25x 25x2 ) cos 5x 5(1 2x)sin 5x ;
16.	а)			4x sin												16 cos													;					б)						( 27 25x 25x2 ) cos 5x 5(1 2x)sin 5x ;
													4												4								125
в)	1	(cos 2x 2x sin 2x 2x2 ) .
в)	8	(cos 2x 2x sin 2x 2x2 ) .
	8
					1																																																																1
					1										2	1) arcsin x x																							1 x			2							б) x arccos 2x																				1		1 4x		2
17.	а)							(2x																																				;																														;
17.	а)							(2x																																				;																														;
					4																																																																2
	1			(x2 9) arctg																		x
в)																								3x .
в)																								3x .
	2																					3

157

18.

а)

(2 ln x 1) ;

б)

x(ln2 x 2ln x 2) ;

x).

в) 2 x lg(x 1)

x arctg

(

x) ;

г)

ln 1

ln(1

ln10

sin ln x cos ln x ; б)

19.

а)

e3x

9 cos

sin

20.

1 x

x ln x

21.	а)					2				arctg									10x 1										;			б)							2					arctg							10ex 1													.

						79																79																	79																79
						79																79																	79																79
22.	а)			1			ln							x				;			б)				1					ln					cos 2x 7														.
				1										x											1										cos 2x 7

					7					x 7																14												cos 2x

						1												1									x2							1								1											2													1				1		1	.
23.	а)					1		ln					x					1																1			x					1		; б)									2			ln							x			1			x	1	x	1
																																																								ln							x						x		x
						3												6															3									3											3													6				3		3
						3												6															3									3											3													6				3		3
				x							1
																																			2				3											2															4
24.	а)																	3x2 4x																	2				3			ln			x					2									x2						4	x		;


						2					3																								9															3															3
				e		x						1																															3															1

																			e2x e x 1																														e x											e2x e x 1
б)																																													ln																										.
б)																																													ln																										.
						2				4																																8													2
																																																	1

					7												x			5												3							arctg							4x								;
25.	а)				7		ln		x2								x															3														4x
				4
																		2
																		2							2								79															79
	1														tg x						5												7								arctg						4tg					x 1							.
б)	1		ln			tg2 x									tg x																		7														4tg					x 1

	4														2														2						79
	4														2														2						79																79

26.	а)						x2 4x 8 2 ln																								x 2														x2				4x 8											;
																						3														1
																							ln					ex
б)		e2x ex 8																																						e2x									ex 8												.
б)		e2x ex 8																																						e2x									ex 8												.
																						2													2
																x		2
						3 x												2						x2 6x 9 ln																					x 3												x2					6x
27.	а)																																																																		;


															3

158

7 2x

arcsin(1 2x1) .

б)

2x 4x

16 ln 2

ln 2

28. а)

Cx D

;

x2 2x

x x 1

б)

Hx I

;

x 3

3)2

(x 3)2

x2 3x

в)

2)2

(x 2)2

(x 2)3

(x 2)4

x 1 x

x 2

Kx L

Mx N

Px R

(x 2)5

(x2 2)2

x2 4

x2 2

29. а)

x 1

4 ln

x 2

x 3

;

б) ln

x 1

x 2

2 /(x 2) ;

x 1

1/(x 1) ;

в)

arctg

;

г) ln

д)

9arctg x ;

е)

arctg

;

32(x2

16x

ж)

x 1

x2 1

arctg x ;

sin x 2

2sin

sin2 x sin x 1

з)

arctg

;

ctg

2 x

и)

arctg x

;

к)

;

ctg

л)

ln x 1

2(ln x 1)

30. а)

cos 2x

cos 4x ;

б)

sin

x ;

в)

sin

159

31. а)					1	sin5 x											1		sin7 x ;																					б)					1				cos12 3x													1			cos14 3x						1		cos16 3x ;
31. а)					5	sin5 x										7			sin7 x ;																					б)					36				cos12 3x												21				cos14 3x						48		cos16 3x ;
					5											7																													36																21										48
в)	3		x				3			sin				4x						3			sin				8x			;			г) 4sin							x		8		sin				3 x						4			sin			5			x		;

	8						8								3					64								3												4		3						4						5								4
	8						8								3					64								3												4		3						4						5								4
	1																																									1												1																1	cos4 (7 x) ;
д)						12x 2sin 2x 4sin 4x sin 6x																																						sin 8x												sin10x										;			е)
д)	210					12x 2sin 2x 4sin 4x sin 6x																																						sin 8x												sin10x										;			е)
	210																																									2												5																4
	x					1		sin(4x 10) ;																										1						101 1																			arcsin x									1
ж)																																з)						cos								;									и)															sin(6 arcsin x) ;
ж)	2					8																										з)		101				cos					x			;									и)							2						12		sin(6 arcsin x) ;
	2					8																												101									x																			2						12
к)	ln x								1			sin(2 ln x) .
к)								4				sin(2 ln x) .
		2						4
32. а)						2	tg 7x										1			tg		3			7x				1			ctg 7x ;									б)				ctg					3 x					3ctg								x		;

						7											21												7																							3										3
						7											21												7																							3										3
	1				tg4 5x 6tg2 5x 12 ln																																2ctg2 5x ;																														x	1
в)																																	tg 5x																								г) ln							tg								;


	20											cos				x										cos						x	1																																	2			cos x
	20																																																																	2			cos x


				2																	3			ln
д)				2												2					3										2					.
д)						x																										x				.
	cos					x						sin			2		x			2						cos						x	1
	cos					2						sin				2										cos					2		1
						2										2															2
33. а)						5	tg				2 2x							5		ln					cos			2x				;				б)		x a ctg									x				a		ctg					3	x		;
						5					2 2x							5										2x																			x				a							3	x
						4							5						2									5																			a				3								a
						4							5						2									5																			a				3								a
в)			ctg6 x										ctg4 x										ctg2 x						ln						sin x				.
			ctg6 x										ctg4 x										ctg2 x

						6									4										2
						6									4										2

				1
34. а)				1		arctg( 7tg 5x) ;

		5		7
		5		7
					tg x 1		1
							1
	1
г)			ln				2	; д)


							1
	2	2			tg x 1


							2
							2


				tg	x		2	13
б)		1	ln	tg	2		3	3				1							5x
									; в)						ln		tg					;
									; в)						ln		tg					;
		13		tg	x		2	13				5 2							2		8

					2		3	3
					2		3	3
			sin x			sin x ; е)				1			2 x			ln				x


	2 arctg										ctg							tg			;
	2 arctg										ctg							tg			;
				2						2				2						2

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Int

#
21.03.20163.97 Mб73integrals.pdf
#
21.03.2016835.07 Кб273Определенный интеграл.doc
#
21.03.2016270.09 Кб60Таблица интегралов.docx