Int / integrals

ПРИМЕР 2.4.14.

Вычислить

длину

дуги

астроиды

x a cos3 t,

y a sin3 t .

Решение. Астроида изображена на рис. 30. Постройте ее

самостоятельно, продолжив заполнение таблицы:

t

0

π/4

π/2

3π/4

π

5π/4

3π/2

7π/4

2π

x

а

a

2 / 2

0

3

y

a

2 / 2

0

3

а

3a

cos2 t sin2 t(cos2 t sin2 t)

для 0 t / 2 .

3a

sin t cos t

3a sin t cos t

Рис. 30.

/ 2

/ 2

1

sin2 t

/ 2

l 4

3a sin t cos t dt 12a

sin t d sin t 12a

6a . ■

2

0

0

0

2

3

a sin2 t

2 0 .

l

3a sin t cos t dt

2

0

0

ПРИМЕР 2.4.15.

Найти длину дуги кривой x

1

t

6

, y 2

1

t

4

между

6

4

Решение. Найдем значения t, соответствующие требуемым точкам

пересечения. С осью Ох: у = 0,

2

1

t4

0 ,

t4 8 , t 4

. С осью Оу: х = 0,

8

4

1

t

6

0 , t = 0.

6

Находим производные: xt t5;

yt t3 , тогда

3

xt 2 yt 2

t10 t6

t

t4 1 .

Т.к. при t 4

и t 4

на плоскости хОу получается одна и та же точка с

8

8

4

6

3

абсциссой x

1

1

8

8 8

4

2

у = 0, то возьмем

8

8

и

ординатой

6

6

6

3

t 4

. Вычислим длину дуги:

8

4

4

4

1

8

8

1

8

l

t

3 t4 1 dt t3

t4 1 dt

(t4 1)2 d (t4 1)

4

0

0

0

4

1

2

(t4 1)3/ 2

8

1

(27 1)

13

. ■

4

3

0

6

3

ПРИМЕР 2.4.16. Найти длину второго

/ 2

витка спирали Архимеда ρ = а φ (a > 0).

Решение. График этой кривой для а = 1

2

представлен

на рис.

31.

Проверьте

4

правильность построения графика, дополнив

нижеприведенную таблицу и учитывая, что

π ≈ 3.

Рис. 31.

φ

0

π/4

π/2

3π/4

π

...

2π

...

4π

ρ

0

а π/4

4

4

a2 2

a2

2 1 d

l

d a

2

2

4

1

2

ln( 2

a

1

1)

2

2

2

1

16 2

1

a 2 16 2 1

4 2 1

ln

. ■

2

2

4

1

ПРИМЕР 2.4.17. Найти длину части кардиоиды ρ = 1 – cos φ, лежащей

вне окружности ρ = 1 (рис. 32).

/ 2

Решение. Найдем

полярные

углы, при

которых

пересекаются

0

1 cos ,

кардиоида и окружность:

1,

1 – cos φ = 1;

cos φ =0;

/ 2

,

.

Рис. 32.

2

2

дуги для

и удваиваем результат. Имеем ρ′

= sin φ;

2

φ

2 2

(1 cos )2 sin2

1 2 cos cos2 sin2

1

4sin2

2

sin

2(1 cos )

2sin

при

.

2

2

2

2

Искомая длина дуги:

2sin d 8cos

2

l 2

8

4 2 . ■

/ 2

2

2

/ 2

2

1

1

ПРИМЕР 2.4.18.* Вычислить длину дуги кривой

от ρ = 2

2

до ρ = 4.

Решение. В

силу

того, что кривая

задана уравнением

φ = φ( ρ ),

dl

2 2 d

2 (d )2

( d )2

d

2

2

(d )

2

(d )

2

2

1 d .

d

2

l

2

d

2

1

d .

Длина дуги

1

d

Из уравнения

1

1

d

1

1

находим производную

1

. Тогда

2

2

d

2

2

2 1

1

1

2

1

dl

1

1 d

2

4 d

2

2

4

4

1

1

2

1

1

d

d .

2

2

1

4

1

1 1

2

4

1

8

2 ln 2 3

1

l

d

ln

ln 4

ln 2

. ■

2

2

2

2

2

2

2

1

в) части кривой y ln

, между точками х = 0 и x / 3 .

cos x

№29. Найти длину дуги:

а) одной арки циклоиды x a(t sin t),

y a(1 cost) ;

x a(2 cos t cos 2t),

б) кривой (кардиоиды)

a(2sin t sin 2t);

y

в) замкнутой кривой x 4

2 sin t, y sin 2t .

№30. Найти длину дуги:

а) части логарифмической спирали

e2 ,

заключенной внутри

окружности e2 / 3

( 0) ;

б) части гиперболической спирали ρφ = 1 от

φ1 = 3/4 до φ2 = 4/3;

в) части кривой a sin3 ( / 3) от φ = 0 до

2

/ 2 .

1

(х) = О(β(х)) при х→а, символ

«О» читается

как «О-большое»), если

lim (x) A const,

A 0,

A . При

А = 1

функции

(х) и β(х)

x a (x)

называются эквивалентными.

Утверждение 1. Практические признаки сравнения.

Если в интеграле

f (x)dx функция f (x) определена и интегрируема на

a

1

любом конечном промежутке а ≤ x ≤ b <+∞ и f (x) O

при х→+∞, то

x p

при p > 1 данный интеграл сходится, при р ≤ 1 – расходится.

b

Если в интеграле

f (x)dx функция f (x) ограничена и интегрируема на

a

1

любом промежутке а + ε ≤ x ≤ b и

f (x) O

при х→ а + 0, то при

(x a)

p