
Int / integrals
.pdf
ПРИМЕР 2.4.6. Найти площадь, заключенную а) внутри первого витка
(S1 – правонаклонная штриховка на рис. 21); б) между первым и вторым витком
(S2 – левонаклонная штриховка на рис. 21) логарифмической спирали ρ = е aφ.
Решение. График этой кривой изображен на рис. 21. |
|
|
||||||||||||
а) Используем |
формулу (10). |
Начальное положение радиуса-вектора |
||||||||||||
φ1 = 0, конечное φ2 = 2π. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
e4a 1 . |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S1 |
|
0 |
(ea )2 d |
|
0 |
e2a d |
|
e2a |
|
0 |
|
|
||
2 |
2 |
4a |
4a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) Обратим внимание на тот факт, что если радиус-вектор начнет двигаться от положения φ2 = 2π, до положения φ3 = 4π, то он опишет площадь,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
e2a d и лежащую внутри второго витка, |
|||||||
выражаемую интегралом |
S3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
т.е. S1 + S2. Следовательно, искомая площадь есть |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
e4a 1 |
|
|
|||||||
S2 S3 S1 |
2 e2a d |
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
4a |
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
(e4a 1)2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
e2a |
2 |
|
|
e4a |
1 |
|
e8a 2e4a 1 |
|
. ■ |
||||||||||||
4a |
4a |
4a |
4a |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 21. Рис. 22.
131

ПРИМЕР 2.4.7. Вычислить площадь, ограниченную замкнутой кривой
(x2 y2 )3 4a2 x2 y2 .
Решение. Перейдем к полярным координатам: х = ρ cos φ, у = ρ sin φ.
Уравнение кривой примет вид:
( 2 cos2 2 sin2 )3 4a2 2 cos2 2 sin2 ; ( 2 (cos2 sin2 ))3 a2 4 sin2 2 ;
1 |
|
||||
2 a2 sin2 2 ; |
0 ; |
||||
a |
|
sin 2 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Из заданного уравнения кривой следует, что она симметрична относительно обеих осей координат, проходит через начало координат, образуя четыре лепестка, по одному в каждом квадранте (рис. 22). Проверьте построение по точкам! Таким образом, достаточно взять интеграл по формуле (10) с пределами интегрирования от 0 до π / 2 и результат умножить на 4:
|
1 |
/ 2 |
(a sin 2 )2 d 2a2 |
/ 2 |
2 2 d |
|
|
|
|
|||||
S 4 |
|
sin |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
|
|
(1 cos 4 ) d a2 ( |
|
1 |
sin 4 ) |
|
|
a |
|
. ■ |
|||
|
4 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
№24. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y sin x, а) y sin2 x,
0 x / 2;
y x3 , б) x y 0,
y 1;
y ln x,
1x ,
в)
e
y 2;
y ex , г) y e x ,
x 1,x 1;
132

y 4x2 , |
x y2 , |
|
|
y |
|
, |
|||||
|
|
x |
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
2 |
|
x y , |
||||||
д) y |
|
, |
е) x |
|
y |
|
1, |
ж) |
|||
9 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y 1, |
|||||
y 2; |
y 1; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№25. Найти площадь (кривые построить с помощью таблиц) |
|||||||||||
а) ограниченную одной аркой циклоиды |
x t sin t, y 1 cost и осью |
Ох;
|
б) ограниченную кривой |
x cos5 t, |
y sin5 t; |
|
|||||
|
в) окружности |
x 12cost 5sin t, |
y 5cost 12sin t. |
||||||
№26. Вычислить площадь: |
|
|
|
|
|||||
|
а) кардиоиды |
ρ = 1 – cos φ; |
|
|
|
|
|||
|
б) криволинейного треугольника, |
задаваемого |
условиями ρ ≥ 1 , |
||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
, |
|
|
; |
|
|
|
|
cos |
sin |
|
|
|
|
||||
|
в) области, задаваемой условиями (задачу решать в полярных |
||||||||
координатах): x2 y2 x 0 и x2 |
y2 y 0; |
|
|||||||
|
г) ограниченную лепестком кривой ρ = sin 2φ; |
|
|||||||
|
д) ограниченную замкнутой кривой |
x4 y4 x2 |
y2 (перейти к |
||||||
полярным координатам). |
|
|
|
|
II. Вычисление объемов тел вращения
Объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох и вокруг оси Оу
криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x) (f (x) ≥ 0), осью абсцисс и двумя вертикалями х = а и х = b (a < b) (рис. 23a,b), выражаются соответственно формулами
133

b |
|
VOx y2dx , |
(11) |
a |
|
b |
|
VOy 2 xydx . |
(12) |
a
Рис. 23a. |
Рис. 23b. |
Объемы тел, образованных вращением вокруг осей координат кривых |
|
у = у1(x), у = у2(x) (0 ≤ у1(x) ≤ у2(x)) и |
вертикалями х = а, х = b (a < b), |
выражаются интегралами: |
|
b |
|
VOx ( y22 y12 )dx , |
(13) |
a |
|
b |
|
VOy 2 x( y2 y1)dx . |
(14) |
a
Если кривая задана параметрически или в полярной системе координат,
то в указанных интегралах надо сделать соответствующую замену переменных.
ПРИМЕР 2.4.8. Фигура, ограниченная линиями y = tg 2x, у = 0, х = π /6,
вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
Решение. Фигура, ограниченная заданными линиями, изображена на рис. 24. Искомый объем вычисляется по формуле (11):
134

|
|
|
|
|
|
|
|
/ 6 |
|
|
|
/ 6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
VOx |
|
tg2 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
cos2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2x x |
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ■ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 24. Рис. 25.
ПРИМЕР 2.4.9. Фигура, ограниченная дугой синусоиды y = sin x, осью ординат и прямой у = 1, вращается вокруг оси Оу (рис. 25). Найти объем тела вращения.
Решение. Воспользуемся формулой (14). Искомый объем получается как разность двух объемов: цилиндра, образующегося при вращении отрезка
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
прямой у = 1 при |
0 ≤ х ≤ π /2 |
вокруг оси Оу (V1 2 |
|
x 1dx ) и куска |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
синусоиды y = sin x при 0 ≤ х ≤ π /2 вокруг той же оси (V2 2 |
|
x sin xdx ), |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
/ 2 |
|
|
|
|
VOy 2 |
x 1dx 2 x sin x dx |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
135

|
|
|
2 |
|
/ 2 |
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x d cos x |
|
2 |
|
x cos x |
|
/ 2 |
|
|
cos x dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin x |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другой способ решения основан на использовании формулы (11). Если в ней поменять ролями переменные х и у, она примет вид
d |
|
VOy x2dy , где х = х(у). |
(15) |
c
Тогда в нашем примере из уравнения y = sin x получим х = arcsin у, 0 ≤ у ≤ 1 и
1
VOy arcsin2 y dy .
0
Делаем подстановку arcsin у = t, тогда y = sin t, dy = cos t dt. Пределы интегрирования: при y = 0 t = arcsin 0 = 0, при y = 1 t = arcsin 1 = π/2.
Таким образом имеем:
/ 2 |
t2 cos tdt |
|
u t |
2 |
; |
dv cos tdt |
|
|
|
|
|
2 sin t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
VOy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
t |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
du 2tdt; |
v sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
2 |
|
t sin tdt |
|
4 |
2 |
|
t d cos t |
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
u |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2sin t |
|
|
||||||||||||
|
|
cos tdt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 0
2t cos t |
|
/ 2 |
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
2 . ■
ПРИМЕР 2.4.10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y = 0,5 x 2 + 1 и прямой
3x 4 y 6 0 (рис. 26).
Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой:
136

y 0,5x2 1,
3x 4 y 6 0,
3x 4(0,5x2 1) 6 0,
2x2 3x 2 0, |
x1 1/ 2, |
|
x2 2. |
3x 4 y 6 0 |
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 26. |
|
|||||||
Так как y |
1 |
x2 |
1 |
3x 6 |
y |
|
при |
1 |
|
x 2 , то по формуле (13) имеем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3x 6 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
VOx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
9 |
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
x4 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
875 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
. ■ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
20 |
|
3 |
|
|
|
|
192 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
№27. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох и вокруг оси
Оу фигуры, ограниченной |
|
|
а) параболами у = х 2 и 8х = у 2; |
|
|
б) кубическими параболами у = х 3 и |
х = у 3 |
и прямой х = 1/2; |
в) четырьмя линиями у = ln х, у = 1, |
у = 0, |
х = 0. |
137

III. Вычисление длин дуг плоских кривых
Если кривая задана уравнением y = у (x) |
|
и ее производная y (x) |
непрерывна, то длина дуги этой кривой между точками А и В выражается интегралом
|
|
|
|
|
xB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y 2 dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
lAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||
|
|
|
|
|
xA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где хА и хВ – абсциссы точек А и В, хА < хВ (рис. 27). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(tB) |
|
|
|
|
|
|
|
lAB |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
||||||
|
(tA) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
A |
|
y = f (x) или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 28. |
|||||||||||
Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) и |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
производные x (t) |
и y (t) непрерывны, то длина дуги этой кривой между |
||||||||||||||||||||||||
точками А и В выражается интегралом |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt 2 yt 2 dt , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
lAB |
|
|
|
|
(17) |
tA
где tА и tВ – значения параметра, соответствующие точкам А и В, tА < tВ (т.е.
по возрастанию параметра) (рис. 27).
138

Наконец, если кривая задана в полярной системе координат уравнением
ρ = ρ(φ) и функция ρ′ непрерывна, то длина ее дуги между точками А и В выражается интегралом
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
2 2 d , |
|
||
l |
AB |
|
(18) |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
|
|
|
где φА и φВ – значения полярного угла в точках А и В, φА < φВ (по возрастанию полярного угла) (рис. 28).
ПРИМЕР 2.4.11. |
Вычислить |
|
длину |
дуги |
|||
полукубической параболы y 2 = x 3, отсеченной прямой |
|||||||
х = 4/3 (рис. 29). |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Из |
уравнения |
y 2 = x 3 |
находим |
||||
y x3/ 2 , т.е. кривая симметрична относительно оси Ох |
|||||||
и дуга состоит из двух кусков ОА и ОВ одинаковой |
|||||||
длины. Поэтому lBOA lOA lOB 2lOA . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 29. |
|
|
|
|
3 / 2 |
|
3 1/ 2 |
|
Находим производную y |
|
(x |
) |
|
2 x |
(непрерывная функция). |
Пользуясь формулой (16), вычисляем требуемую длину дуги:
|
|
4 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 9x / 4 |
3 / 2 |
|
4 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
112 |
|
|||||
l |
|
2 |
1 |
x dx 2 |
|
|
|
|
|
(8 1) |
|
. ■ |
||||||||||||||
BOA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
4 |
|
|
9 |
|
3 / 2 |
|
|
|
0 |
27 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 2.4.12. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
y |
2 |
|
1 |
|
ln y , |
|||||||||||
длину |
дуги |
кривой |
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
заключенной между точками с ординатами y = 1 и y = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Здесь удобно за независимую переменную принять |
|
у, |
|
т.е. |
||||||||||||||||||||||
х = x(у), тогда формула (16) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
139

|
yB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lAB |
|
|
|
|
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
yA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим производную: |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 xy |
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
2 y |
4 |
|
2 |
4 y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
y |
|
1 |
|
|
1 |
y |
1 |
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 y |
|
2 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 y |
т.к. y > 0 (пределы интегрирования yА = 1 и yВ = 2).
Окончательно имеем:
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
lAB |
|
|
y |
|
dy |
|
y |
|
|
|
ln y |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
||||||||||
1 |
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 14 12 ln 2 0 43 12 ln 2. ■
ПРИМЕР 2.4.13. Вычислить |
длину |
дуги |
кривой, |
|
заданной |
|||||||
параметрически x a(cost t sin t), |
y a(sin t t cost) от t = 0 до t = 2π. |
|||||||||||
Решение. Будем применять формулу (17). Находим: |
|
|
||||||||||
|
x a( sin t sin t t cos t) at cos t, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y a(cos t cos t t sin t) at sin t. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xt2 yt2 |
(at cost)2 (at sin t)2 |
a2t2 (cos2 t sin2 t) |
|
at |
|
at , |
|||||
|
|
|
||||||||||
т. к. a > 0, t > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая длина дуги l:
|
2 |
|
a |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
l |
|
atdt |
t |
|
2 |
a . ■ |
|||
2 |
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140