Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Int / integrals

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

ПРИМЕР 2.4.6. Найти площадь, заключенную а) внутри первого витка

(S1 – правонаклонная штриховка на рис. 21); б) между первым и вторым витком

(S2 – левонаклонная штриховка на рис. 21) логарифмической спирали ρ = е aφ.

Решение. График этой кривой изображен на рис. 21.
а) Используем			формулу (10).			Начальное положение радиуса-вектора
φ1 = 0, конечное φ2 = 2π. Следовательно,
1		2	1		2		1		2	1	e4a 1 .


S1		0	(ea )2 d		0	e2a d		e2a	0
	2			2			4a			4a

б) Обратим внимание на тот факт, что если радиус-вектор начнет двигаться от положения φ2 = 2π, до положения φ3 = 4π, то он опишет площадь,

								1	4		e2a d и лежащую внутри второго витка,
выражаемую интегралом					S3			1
выражаемую интегралом					S3
					2				2
т.е. S1 + S2. Следовательно, искомая площадь есть
			1	4						1		e4a 1
S2 S3 S1			1	2 e2a d						1
S2 S3 S1			2	2 e2a d						4a
1				4	1						1				(e4a 1)2
1				4	1						1				(e4a 1)2
		e2a		2			e4a				1			e8a 2e4a 1		. ■
	4a	e2a				4a							4a		4a	. ■
	4a					4a							4a		4a

Рис. 21. Рис. 22.

131

ПРИМЕР 2.4.7. Вычислить площадь, ограниченную замкнутой кривой

(x2 y2 )3 4a2 x2 y2 .

Решение. Перейдем к полярным координатам: х = ρ cos φ, у = ρ sin φ.

Уравнение кривой примет вид:

( 2 cos2 2 sin2 )3 4a2 2 cos2 2 sin2 ; ( 2 (cos2 sin2 ))3 a2 4 sin2 2 ;

1
2 a2 sin2 2 ;			0 ;
a	sin 2	.
a	sin 2	.

Из заданного уравнения кривой следует, что она симметрична относительно обеих осей координат, проходит через начало координат, образуя четыре лепестка, по одному в каждом квадранте (рис. 22). Проверьте построение по точкам! Таким образом, достаточно взять интеграл по формуле (10) с пределами интегрирования от 0 до π / 2 и результат умножить на 4:

	1	/ 2	(a sin 2 )2 d 2a2		/ 2	2 2 d
S 4	1				sin
S 4	2				sin
	2	0			0
			/ 2						/ 2		2
			/ 2						/ 2		2
a2				(1 cos 4 ) d a2 (			1	sin 4 )		a		. ■
a2				(1 cos 4 ) d a2 (		4		sin 4 )			2	. ■
			0			4			0		2
			0						0

Задачи для самостоятельного решения

№24. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y sin x, а) y sin2 x,

0 x / 2;

y x3 , б) x y 0,

y 1;

y ln x,

1x ,

в)

y 2;

y ex , г) y e x ,

x 1,x 1;

132

y 4x2 ,			x y2 ,					y		,
									x
	x2

				3		2		x y ,
д) y		,	е) x		y		1,	ж)
	9			4
								y 1,
y 2;			y 1;
								x 1.

№25. Найти площадь (кривые построить с помощью таблиц)
а) ограниченную одной аркой циклоиды								x t sin t, y 1 cost и осью

Ох;

	б) ограниченную кривой					x cos5 t,		y sin5 t;
	в) окружности				x 12cost 5sin t,		y 5cost 12sin t.
№26. Вычислить площадь:
	а) кардиоиды				ρ = 1 – cos φ;
	б) криволинейного треугольника,						задаваемого		условиями ρ ≥ 1 ,
1			1
		,			;
	cos			sin
	в) области, задаваемой условиями (задачу решать в полярных
координатах): x2 y2 x 0 и x2						y2 y 0;
	г) ограниченную лепестком кривой ρ = sin 2φ;
	д) ограниченную замкнутой кривой							x4 y4 x2	y2 (перейти к
полярным координатам).

II. Вычисление объемов тел вращения

Объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох и вокруг оси Оу

криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x) (f (x) ≥ 0), осью абсцисс и двумя вертикалями х = а и х = b (a < b) (рис. 23a,b), выражаются соответственно формулами

133

b
VOx y2dx ,	(11)
a
b
VOy 2 xydx .	(12)

Рис. 23a.	Рис. 23b.
Объемы тел, образованных вращением вокруг осей координат кривых
у = у1(x), у = у2(x) (0 ≤ у1(x) ≤ у2(x)) и	вертикалями х = а, х = b (a < b),
выражаются интегралами:
b
VOx ( y22 y12 )dx ,	(13)
a
b
VOy 2 x( y2 y1)dx .	(14)

Если кривая задана параметрически или в полярной системе координат,

то в указанных интегралах надо сделать соответствующую замену переменных.

ПРИМЕР 2.4.8. Фигура, ограниченная линиями y = tg 2x, у = 0, х = π /6,

вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

Решение. Фигура, ограниченная заданными линиями, изображена на рис. 24. Искомый объем вычисляется по формуле (11):

134

	/ 6				/ 6			1
VOx		tg2 2xdx								1 dx
VOx		tg2 2xdx								1 dx
	0				0	cos2			2x
	0				0
				/ 6							2		2
		1		/ 6								3
		1										3
			tg2x x					tg					. ■
			tg2x x					tg					. ■
		2		0			2		3		6	2	6
				0

Рис. 24. Рис. 25.

ПРИМЕР 2.4.9. Фигура, ограниченная дугой синусоиды y = sin x, осью ординат и прямой у = 1, вращается вокруг оси Оу (рис. 25). Найти объем тела вращения.

Решение. Воспользуемся формулой (14). Искомый объем получается как разность двух объемов: цилиндра, образующегося при вращении отрезка

			/ 2
прямой у = 1 при	0 ≤ х ≤ π /2	вокруг оси Оу (V1 2		x 1dx ) и куска
			0
					/ 2
синусоиды y = sin x при 0 ≤ х ≤ π /2 вокруг той же оси (V2 2						x sin xdx ),
					0
т.е.
	/ 2	/ 2
VOy 2	x 1dx 2 x sin x dx
	0	0

135

			2	/ 2		/ 2								2						/ 2
			2	/ 2		/ 2								2						/ 2
2	x							x d cos x		2					x cos x			/ 2			cos x dx
	x																	/ 2

		2				0							8					0		0
		2											8					0
				0
				0				2								2			2
								2			/ 2					2			2
					2			sin x			/ 2	2					1			2 .
							8		0							8				4
									0

Другой способ решения основан на использовании формулы (11). Если в ней поменять ролями переменные х и у, она примет вид

d
VOy x2dy , где х = х(у).	(15)

Тогда в нашем примере из уравнения y = sin x получим х = arcsin у, 0 ≤ у ≤ 1 и

VOy arcsin2 y dy .

Делаем подстановку arcsin у = t, тогда y = sin t, dy = cos t dt. Пределы интегрирования: при y = 0 t = arcsin 0 = 0, при y = 1 t = arcsin 1 = π/2.

Таким образом имеем:

/ 2		t2 cos tdt			u t		2	;	dv cos tdt					2 sin t
/ 2							2
VOy
VOy													t
	0				du 2tdt;					v sin t
/ 2							2		/ 2					2
2		t sin tdt				4		2			t d cos t				4
						4									4
	0	u	dv							0	u v
		/ 2							2				/ 2			2
		2							2	2sin t						2
		2		cos tdt						2sin t
									4			0				4
												0
			0

/ 2 0

2t cos t		/ 2

		0

2 . ■

ПРИМЕР 2.4.10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y = 0,5 x 2 + 1 и прямой

3x 4 y 6 0 (рис. 26).

Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой:

136

y 0,5x2 1,

3x 4 y 6 0,

3x 4(0,5x2 1) 6 0,

2x2 3x 2 0,	x1 1/ 2,
	x2 2.

3x 4 y 6 0

1/ 2

																																Рис. 26.
Так как y		1	x2	1		3x 6				y					при						1		x 2 , то по формуле (13) имеем:
1	2						4							2							2
	2						4														2
					2			3x 6							2				1			2						2
								3x 6											1			2							dx
	VOx																			x					1
	VOx																			x					1
					1/						4						2
					1/	2					4						2
						2		9				x			2		2				1			x4			x2
																														1			dx
								16													4									1			dx
					1/ 2			16													4
					1/ 2
											3							3				1					5		1		3			2		875
											3							3				1					5		1		3			2		875
													(x			2)										x				x		x					. ■
									16				(x			2)					20					x			3	x		x				192	. ■
									16												20								3					1/	2	192
																																		1/	2

Задачи для самостоятельного решения

№27. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох и вокруг оси

Оу фигуры, ограниченной
а) параболами у = х 2 и 8х = у 2;
б) кубическими параболами у = х 3 и	х = у 3	и прямой х = 1/2;
в) четырьмя линиями у = ln х, у = 1,	у = 0,	х = 0.

137

III. Вычисление длин дуг плоских кривых

Если кривая задана уравнением y = у (x)
	и ее производная y (x)

непрерывна, то длина дуги этой кривой между точками А и В выражается интегралом

1 y 2 dx ,

lAB

(16)

где хА и хВ – абсциссы точек А и В, хА < хВ (рис. 27).

lAB

(tB)

lAB

(tA)

y = f (x) или

x x(t)

( )

y(t)

Рис. 27.

Рис. 28.

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) и

производные x (t)

и y (t) непрерывны, то длина дуги этой кривой между

точками А и В выражается интегралом

xt 2 yt 2 dt ,

lAB

(17)

где tА и tВ – значения параметра, соответствующие точкам А и В, tА < tВ (т.е.

по возрастанию параметра) (рис. 27).

138

Наконец, если кривая задана в полярной системе координат уравнением

ρ = ρ(φ) и функция ρ′ непрерывна, то длина ее дуги между точками А и В выражается интегралом

		B
		B	2 2 d ,
l	AB		2 2 d ,	(18)
	AB
		A

где φА и φВ – значения полярного угла в точках А и В, φА < φВ (по возрастанию полярного угла) (рис. 28).

ПРИМЕР 2.4.11.	Вычислить			длину	дуги
полукубической параболы y 2 = x 3, отсеченной прямой
х = 4/3 (рис. 29).
Решение. Из	уравнения		y 2 = x 3		находим
y x3/ 2 , т.е. кривая симметрична относительно оси Ох
и дуга состоит из двух кусков ОА и ОВ одинаковой
длины. Поэтому lBOA lOA lOB 2lOA .
					Рис. 29.
			3 / 2	3 1/ 2
Находим производную y		(x	)	2 x	(непрерывная функция).

Пользуясь формулой (16), вычисляем требуемую длину дуги:

		4 / 3						1 9x / 4		3 / 2		4 / 3


				9			4						16					112
l		2	1	9	x dx 2		4						16	(8 1)				112			. ■
l	BOA	2	1		x dx 2									(8 1)							. ■
	BOA	0	4			9			3 / 2			0	27					27
		0
ПРИМЕР 2.4.12. Вычислить													x		1	y	2		1	ln y ,
						длину			дуги		кривой				1		2		1
						длину			дуги		кривой				4				2
															4				2
заключенной между точками с ординатами y = 1 и y = 2.
Решение. Здесь удобно за независимую переменную принять																			у,		т.е.
х = x(у), тогда формула (16) примет вид:

139

	yB
	yB			2
lAB				2	dy .
lAB		1 xy			dy .
	yA
									1			1

Находим производную:										y					, тогда
Находим производную:						xy				y					, тогда
									2		2 y

										2
					1		1									1					1		1
	2				1		1									1			2		1		1
1 xy			1			y								1				y
1 xy			1		2	y	2 y							1		4		y			2		4 y2
					2		2 y									4					2		4 y2
					1	y			1	2					y		1				1	y		1	,
					1				1	2			1				1				1			1

					2			2 y					2					2 y
					2			2 y					2					2 y		2				2 y

т.к. y > 0 (пределы интегрирования yА = 1 и yВ = 2).

Окончательно имеем:

2	1		1		1		2	1		2

lAB		y		dy		y			ln y
	2				4			2
1			2 y							1

1 14 12 ln 2 0 43 12 ln 2. ■

ПРИМЕР 2.4.13. Вычислить

длину

дуги

кривой,

заданной

параметрически x a(cost t sin t),

y a(sin t t cost) от t = 0 до t = 2π.

Решение. Будем применять формулу (17). Находим:

x a( sin t sin t t cos t) at cos t,

y a(cos t cos t t sin t) at sin t.

Тогда

xt2 yt2

(at cost)2 (at sin t)2

a2t2 (cos2 t sin2 t)

at ,

т. к. a > 0, t > 0.

Искомая длина дуги l:

	2		a		2	2	2

l		atdt		t		2		a . ■
			2
	0					0

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Int

#
21.03.20163.97 Mб74integrals.pdf
#
21.03.2016835.07 Кб274Определенный интеграл.doc
#
21.03.2016270.09 Кб61Таблица интегралов.docx