Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Int / integrals

.pdf
Скачиваний:
73
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
3.97 Mб
Скачать

ПРИМЕР 2.4.6. Найти площадь, заключенную а) внутри первого витка

(S1 – правонаклонная штриховка на рис. 21); б) между первым и вторым витком

(S2 – левонаклонная штриховка на рис. 21) логарифмической спирали ρ = е .

Решение. График этой кривой изображен на рис. 21.

 

 

а) Используем

формулу (10).

Начальное положение радиуса-вектора

φ1 = 0, конечное φ2 = 2π. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

2

 

1

 

 

2

 

1

e4a 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1

 

0

(ea )2 d

 

0

e2a d

 

e2a

 

0

 

 

2

2

4a

4a

 

 

 

 

 

 

б) Обратим внимание на тот факт, что если радиус-вектор начнет двигаться от положения φ2 = 2π, до положения φ3 = 4π, то он опишет площадь,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

e2a d и лежащую внутри второго витка,

выражаемую интегралом

S3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

т.е. S1 + S2. Следовательно, искомая площадь есть

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

1

e4a 1

 

 

S2 S3 S1

2 e2a d

 

 

2

4a

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

1

 

(e4a 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2a

2

 

 

e4a

1

 

e8a 2e4a 1

 

. ■

4a

4a

4a

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 21. Рис. 22.

131

ПРИМЕР 2.4.7. Вычислить площадь, ограниченную замкнутой кривой

(x2 y2 )3 4a2 x2 y2 .

Решение. Перейдем к полярным координатам: х = ρ cos φ, у = ρ sin φ.

Уравнение кривой примет вид:

( 2 cos2 2 sin2 )3 4a2 2 cos2 2 sin2 ; ( 2 (cos2 sin2 ))3 a2 4 sin2 2 ;

1

 

2 a2 sin2 2 ;

0 ;

a

 

sin 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из заданного уравнения кривой следует, что она симметрична относительно обеих осей координат, проходит через начало координат, образуя четыре лепестка, по одному в каждом квадранте (рис. 22). Проверьте построение по точкам! Таким образом, достаточно взять интеграл по формуле (10) с пределами интегрирования от 0 до π / 2 и результат умножить на 4:

 

1

/ 2

(a sin 2 )2 d 2a2

/ 2

2 2 d

 

 

 

 

S 4

 

sin

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

/ 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

(1 cos 4 ) d a2 (

 

1

sin 4 )

 

 

a

 

. ■

 

4

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

№24. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y sin x, а) y sin2 x,

0 x / 2;

y x3 , б) x y 0,

y 1;

y ln x,

1x ,

в)

e

y 2;

y ex , г) y e x ,

x 1,x 1;

132

y 4x2 ,

x y2 ,

 

 

y

 

,

 

 

x

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

x y ,

д) y

 

,

е) x

 

y

 

1,

ж)

9

4

 

 

 

 

 

 

 

y 1,

y 2;

y 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№25. Найти площадь (кривые построить с помощью таблиц)

а) ограниченную одной аркой циклоиды

x t sin t, y 1 cost и осью

Ох;

 

б) ограниченную кривой

x cos5 t,

y sin5 t;

 

 

в) окружности

x 12cost 5sin t,

y 5cost 12sin t.

№26. Вычислить площадь:

 

 

 

 

 

а) кардиоиды

ρ = 1 – cos φ;

 

 

 

 

 

б) криволинейного треугольника,

задаваемого

условиями ρ ≥ 1 ,

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

;

 

 

 

 

cos

sin

 

 

 

 

 

в) области, задаваемой условиями (задачу решать в полярных

координатах): x2 y2 x 0 и x2

y2 y 0;

 

 

г) ограниченную лепестком кривой ρ = sin 2φ;

 

 

д) ограниченную замкнутой кривой

x4 y4 x2

y2 (перейти к

полярным координатам).

 

 

 

 

II. Вычисление объемов тел вращения

Объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох и вокруг оси Оу

криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x) (f (x) 0), осью абсцисс и двумя вертикалями х = а и х = b (a < b) (рис. 23a,b), выражаются соответственно формулами

133

b

 

VOx y2dx ,

(11)

a

 

b

 

VOy 2 xydx .

(12)

a

Рис. 23a.

Рис. 23b.

Объемы тел, образованных вращением вокруг осей координат кривых

у = у1(x), у = у2(x) (0 ≤ у1(x) ≤ у2(x)) и

вертикалями х = а, х = b (a < b),

выражаются интегралами:

 

b

 

VOx ( y22 y12 )dx ,

(13)

a

 

b

 

VOy 2 x( y2 y1)dx .

(14)

a

Если кривая задана параметрически или в полярной системе координат,

то в указанных интегралах надо сделать соответствующую замену переменных.

ПРИМЕР 2.4.8. Фигура, ограниченная линиями y = tg 2x, у = 0, х = π /6,

вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

Решение. Фигура, ограниченная заданными линиями, изображена на рис. 24. Искомый объем вычисляется по формуле (11):

134

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 6

 

 

 

/ 6

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOx

 

tg2 2xdx

 

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

cos2

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 6

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2x x

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

0

 

 

 

2

 

3

 

 

6

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 24. Рис. 25.

ПРИМЕР 2.4.9. Фигура, ограниченная дугой синусоиды y = sin x, осью ординат и прямой у = 1, вращается вокруг оси Оу (рис. 25). Найти объем тела вращения.

Решение. Воспользуемся формулой (14). Искомый объем получается как разность двух объемов: цилиндра, образующегося при вращении отрезка

 

 

 

/ 2

 

 

 

прямой у = 1 при

0 ≤ х π /2

вокруг оси Оу (V1 2

 

x 1dx ) и куска

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

 

синусоиды y = sin x при 0 ≤ х π /2 вокруг той же оси (V2 2

 

x sin xdx ),

 

 

 

 

 

0

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

/ 2

 

 

 

 

VOy 2

x 1dx 2 x sin x dx

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

135

 

 

 

2

 

/ 2

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

x d cos x

 

2

 

x cos x

 

/ 2

 

 

cos x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

sin x

 

 

2

 

1

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

0

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другой способ решения основан на использовании формулы (11). Если в ней поменять ролями переменные х и у, она примет вид

d

 

VOy x2dy , где х = х(у).

(15)

c

Тогда в нашем примере из уравнения y = sin x получим х = arcsin у, 0 ≤ у ≤ 1 и

1

VOy arcsin2 y dy .

0

Делаем подстановку arcsin у = t, тогда y = sin t, dy = cos t dt. Пределы интегрирования: при y = 0 t = arcsin 0 = 0, при y = 1 t = arcsin 1 = π/2.

Таким образом имеем:

/ 2

t2 cos tdt

 

u t

2

;

dv cos tdt

 

 

 

 

 

2 sin t

 

 

 

 

 

VOy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

0

 

 

 

 

 

du 2tdt;

v sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

2

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

2

2

 

t sin tdt

 

4

2

 

t d cos t

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

u

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

0

u v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

/ 2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2sin t

 

 

 

 

cos tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2 0

2t cos t

 

/ 2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2 . ■

ПРИМЕР 2.4.10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y = 0,5 x 2 + 1 и прямой

3x 4 y 6 0 (рис. 26).

Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой:

136

y 0,5x2 1,

3x 4 y 6 0,

3x 4(0,5x2 1) 6 0,

2x2 3x 2 0,

x1 1/ 2,

 

x2 2.

3x 4 y 6 0

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 26.

 

Так как y

1

x2

1

3x 6

y

 

при

1

 

x 2 , то по формуле (13) имеем:

1

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3x 6

 

2

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

9

 

x

2

2

 

 

 

1

 

x4

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

5

 

1

 

 

3

 

 

 

2

 

 

875

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

. ■

 

 

 

 

 

 

16

 

 

20

 

3

 

 

 

 

192

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

№27. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох и вокруг оси

Оу фигуры, ограниченной

 

 

а) параболами у = х 2 и 8х = у 2;

 

 

б) кубическими параболами у = х 3 и

х = у 3

и прямой х = 1/2;

в) четырьмя линиями у = ln х, у = 1,

у = 0,

х = 0.

137

III. Вычисление длин дуг плоских кривых

Если кривая задана уравнением y = у (x)

 

и ее производная y (x)

непрерывна, то длина дуги этой кривой между точками А и В выражается интегралом

 

 

 

 

 

xB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 y 2 dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lAB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

xA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где хА и хВ – абсциссы точек А и В, хА < хВ (рис. 27).

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lAB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tB)

 

 

 

 

 

 

 

lAB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

(tA)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

y = f (x) или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

y(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 27.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 28.

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производные x (t)

и y (t) непрерывны, то длина дуги этой кривой между

точками А и В выражается интегралом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt 2 yt 2 dt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lAB

 

 

 

 

(17)

tA

где tА и tВ – значения параметра, соответствующие точкам А и В, tА < tВ (т.е.

по возрастанию параметра) (рис. 27).

138

Наконец, если кривая задана в полярной системе координат уравнением

ρ = ρ(φ) и функция ρ′ непрерывна, то длина ее дуги между точками А и В выражается интегралом

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

2 2 d ,

 

l

AB

 

(18)

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

где φА и φВ – значения полярного угла в точках А и В, φА < φВ (по возрастанию полярного угла) (рис. 28).

ПРИМЕР 2.4.11.

Вычислить

 

длину

дуги

полукубической параболы y 2 = x 3, отсеченной прямой

х = 4/3 (рис. 29).

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Из

уравнения

y 2 = x 3

находим

y x3/ 2 , т.е. кривая симметрична относительно оси Ох

и дуга состоит из двух кусков ОА и ОВ одинаковой

длины. Поэтому lBOA lOA lOB 2lOA .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 29.

 

 

 

 

3 / 2

 

3 1/ 2

 

Находим производную y

 

(x

)

 

2 x

(непрерывная функция).

Пользуясь формулой (16), вычисляем требуемую длину дуги:

 

 

4 / 3

 

 

 

 

 

 

 

1 9x / 4

3 / 2

 

4 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

4

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

112

 

l

 

2

1

x dx 2

 

 

 

 

 

(8 1)

 

. ■

BOA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

 

9

 

3 / 2

 

 

 

0

27

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР 2.4.12. Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

x

1

y

2

 

1

 

ln y ,

длину

дуги

кривой

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заключенной между точками с ординатами y = 1 и y = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Здесь удобно за независимую переменную принять

 

у,

 

т.е.

х = x(у), тогда формула (16) примет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

139

 

yB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lAB

 

 

 

 

dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим производную:

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1 xy

 

 

1

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 y

4

 

2

4 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y

 

 

1

 

2

 

 

y

 

1

 

 

1

y

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 y

 

2

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 y

т.к. y > 0 (пределы интегрирования yА = 1 и yВ = 2).

Окончательно имеем:

2

 

1

 

1

 

 

1

 

2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

lAB

 

 

y

 

dy

 

y

 

 

 

ln y

 

 

2

 

4

 

2

1

 

 

2 y

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 14 12 ln 2 0 43 12 ln 2. ■

ПРИМЕР 2.4.13. Вычислить

длину

дуги

кривой,

 

заданной

параметрически x a(cost t sin t),

y a(sin t t cost) от t = 0 до t = 2π.

Решение. Будем применять формулу (17). Находим:

 

 

 

x a( sin t sin t t cos t) at cos t,

 

 

 

 

 

 

 

y a(cos t cos t t sin t) at sin t.

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt2 yt2

(at cost)2 (at sin t)2

a2t2 (cos2 t sin2 t)

 

at

 

at ,

 

 

 

т. к. a > 0, t > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Искомая длина дуги l:

 

2

 

a

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

l

 

atdt

t

 

2

a . ■

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

140

Соседние файлы в папке Int