Int / integrals

3a

xdx

2

dx

/ 2

г)

;

д)

;

е)

ctg x dx ;

0

x2 a2 2 / 3

1 x ln p x

0

2

2

x

ж)

dx

(указание:

использовать

преобразование

2 x

0

2 x

2 x

).

2 x

4 x

2

№21. Исследовать сходимость интегралов:

1

dx

1

dx

1 sin x cos x

а)

;

б)

;

в)

dx ;

0

5 1 x4

1 1 x2

0

5 1

x3

1

cos xdx

г)

(указание: использовать эквивалентные бесконечно малые

4 x sin x

0

функции);

2 ln(4

1)

2

x

dx

замену x 1 t или

д)

dx ;

е)

(указание: сделать

etgx 1

0

1 ln x

x et или преобразование ln x ln(1 x 1) );

6 / 5

sin x

ж)

dx .

1/ 2

1 x2

1. Пусть

у = f (x) –

уравнение

непрерывной

кривой,

заданной

в

прямоугольных координатах, причем f (x) ≥ 0. Тогда определенный интеграл

b

f (x)dx S

(6)

a

или, что то же самое,

b

y dx S ,

(6)

a

где S – площадь фигуры, лежащей между

кривой

у = f (x),

осью Ох

и

ограниченной слева и справа прямыми х = а и

х = b соответственно (рис. 8а).

Иногда

рациональнее

поменять

ролями

переменные х и

у, считая

х

d

S x dy ,

(7)

у = f1(x) и у = f2(x) ( f1(x) ≤ f2(x)) и прямыми х = а и х = b (a < b),

то ее

площадь выражается интегралом

b

S ( f2 (x) f1(x))dx .

(8)

a

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

x x(t)

y y(t),

t2

t2

S

y(t)dx(t)

(9)

y(t)x (t)dt ;

t1

t1

пределы интегрирования t1

и t2

находятся из уравнений a = x(t1), b = x(t2).

y

y=f2(x)

( )

S

S

0

a

b x

y=f1(x)

0

Рис. 9.

Рис. 10.

1

2

2 ( )d .

S

(10)

2

1

1

1

e1 e .

S e xdx e x

1

1

2

,

y x

x2 2

x

y 2

x

x2 x 2 0 x 2,

x 1.

Искомая площадь изображена на рис. 12. Т.к. при – 2 ≤ х ≤ 0 будет 2 – х ≥ х 2,

то можно применить формулу (8):

0

x

2

x

3

0

S (2 x x2 )dx 2x

2

2

3

2

2( 2)

( 2)2

( 2)3

4 2

8

10

.

0

2

3

3

3

в) Площадь изображена на рис. 13, она расположена частично под

параболой у = х 2 и частично под прямой у = 2 – х, а снизу ограничена осью Ох

(у = 0). Чтобы применить формулу (6), разобьем площадь на две части: одна из

них (S1) лежит между параболой у = х 2 и осью Ох при 0 ≤ х ≤ 1, другая (S2) –

между прямой у = 2 – х и осью Ох при 1 ≤ х ≤ 2. Тогда

1

2

(2 x)dx x

3 1

(2

x)

2 2

1

0 0 1

5 .

S x2dx

0

1

3

0

2

1

3

2

6

y x2

y 2 x

Рис. 13.

Рис. 14.

г) Преобразуем уравнение параболы, выделив полный квадрат для

переменной у:

вычисления ее площади удобно применить формулу (7),

полагая х = х(у).

Кроме того, в данном примере S = S1 + S2 = 2S1 , поскольку S1 = S2 , и тогда,

выражая х из уравнения параболы х = 2у – у 2, имеем:

1

y3

1

1 0

4

S 2 (2 y y

2 )dy 2 y2

2 1

0

.

3

3

0

3

0

д) Площадь фигуры представлена на рис. 15.

Так как

2x 1 (x 1)2

при любых х, то по формуле (8)

2

2

2

x

(x 1)

3

S (2x 1) ( (x 1)2 ) dx

x

3

0

ln 2

0

4 20

(2 0)

1 ( 1)3

3

4

.

ln 2

3

ln 2

3

y 2x 1

x 1 3y2

2

x 2 y2

y (x 1)2

1

Рис. 15.

Рис. 16.

е) Решая систему уравнений, находим ординаты точек пересечения

парабол (рис. 16)

2

,

x 2 y

2 y2 1 3y2

y2 1

y 1.

x 1 3y2

Полагая х = х (у),

применяем формулу (7), и учитывая,

что в данном случае

S1 = S2 , получаем

1

1

y

3

1

4

S 2

(1 3y2 2 y2 )dy 2 (1 y2 )dy 2 y

.■

3

3

0

0

0

2

2ax,

y

x2

2ax 3a2

0 x1 a, x2 3a

y2

3a2

x2

2

2ay,

x

y2

2ay 3a2

0

y1 a, y2 3a

y2

3a2

x2

(второй корень нас не интересует). Подставляя первый корень в первое

уравнение

системы,

получим

х 2 = 2а 2,

x 2a,

x 2a нам не нужен. По формуле

(8), в которой

2ax,

0 x a

f2

(x)

3a2 x2 , a x 2a,

f (x) x2

,

1

2a

получим

Рис. 17.

a

a

2

a

2

x

2

3a2

x2 dx

S

2axdx

dx

0

a

0

2a

a 2

2

a

x

3a2

x

1 x3

a 2

x3 / 2

3a2 x2

2a

arcsin

3

0

2

2

a 3

2a 3

a

0

a2

a2

3a2

arcsin

a2

3a2

arcsin

2

2

2

2

2

1

3

2

2

3

2

2

3

a2

a2

3a2

2

2

2

arcsin

1

arcsin

.■

3

3

2

3