
Int / integrals
.pdfРоссийский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева
Интегрирование функций одной переменной
Методическое пособие для самостоятельной работы студентов
Москва 2007
УДК 517.9
Л33
Литова Г.Г., Ханукаева Д.Ю.
Л33 Интегрирование функций одной переменной. Методическое пособие для самостоятельной работы студентов. М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2007. 175с.
Пособие предназначено для студентов, изучающих методы нахождения неопределенных и определенных интегралов в курсе высшей математики. В нем детально изложены различные приемы вычисления интегралов, подробно разобраны многочисленные примеры, даны задачи для самостоятельного решения. Наряду с типовыми примерами,
решаются также и не совсем стандартные задачи, не являющиеся обязательными для базового уровня владения техникой интегрирования. Для желающих более глубоко ознакомиться с материалом дан дополнительный параграф о несобственных интегралах.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих курс интегрального исчисления. Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.
Рецензенты:
Ведущий научный сотрудник кафедры высшей геометрии и топологии МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор А.В. Зарелуа
Доцент кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина А.В. Скориков
Учебное издание
Редактор: В.В. Калинин Компьютерная верстка: Д.Ю. Ханукаева Дизайн обложки: Д.И. Юдинкова
Литова Г.Г., Ханукаева Д.Ю., 2007
Издательство «Нефть и газ»
РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2007
2
Оглавление
Предисловие |
4 |
||
Рекомендуемая литература |
6 |
||
Глава 1. Неопределенный интеграл |
7 |
||
1.1. Неопределенный интеграл, его свойства, таблица интегралов |
7 |
||
1.2. Основные методы интегрирования |
13 |
||
Глава 2. Определенный интеграл и его приложения |
73 |
||
2.1. Определенный интеграл, его свойства, |
|
||
|
формула Ньютона-Лейбница |
|
73 |
2.2. Оценки определенного интеграла, теоремы о среднем |
89 |
||
2.3. Несобственные интегралы |
94 |
||
2.4. Геометрические приложения определенного интеграла |
122 |
||
2.5. Дополнительные сведения о несобственных интегралах |
146 |
||
Ответы к задачам для самостоятельного решения |
156 |
||
Типовые варианты рейтинговых работ по теме |
|
||
«Интегрирование функций одной переменной» |
163 |
3
Предисловие
Уважаемый читатель! Современное состояние науки и техники постоянно требует инновационных решений, т.е. постановки новых инженерных,
технологических или научных задач и поиск путей их наиболее рационального решения. Поэтому важна способность каждого специалиста к самообразованию, к освоению нового, не заложенного в рамки стандартных учебных программ. Это умение – одно из наиболее ценных качеств современного специалиста наряду с его профессиональной подготовкой.
Поэтому Вы обязательно должны научиться работать самостоятельно,
если хотите стать широко образованным, думающим специалистом, умеющим работать с литературой, способным увидеть инженерную задачу, грамотно ее поставить и найти способ решения. (Мы надеемся, что Вы разделяете с нами эту точку зрения! )
И высшая математика в этом контексте важна не только как аппарат для решения задач в самых разных областях естествознания, но также является общепризнанным инструментом для развития логического мышления и вырабатывает навыки поиска решения не только чисто научных, но и практических задач. Она развивает способность видеть проблему и внутри, и
извне, анализировать ее в разных аспектах и находить наиболее оптимальные пути решения.
К сожалению, в течение последних лет количество часов, отводимых на изучение высшей математики, сокращается, и студентам все большую долю работы по освоению учебного материала приходится выполнять самостоятельно. Но уровень подготовки многих студентов не позволяет им успешно делать это. В помощь к процессу самостоятельного освоения отдельных разделов курса высшей математики и создается эта серия учебно-
методических пособий.
Данное пособие посвящено основным методам интегрирования и применению их для нахождения неопределенных и определенных интегралов
4
от различных классов функций. В начале каждого раздела приводятся краткие теоретические сведения, затем разбирается довольно большое количество примеров, после которых предлагаются задачи для самостоятельного решения.
В конце пособия приведены ответы к этим задачам. Кроме того, авторы сочли разумным привести примерные варианты рейтинговых работ по материалу,
изложенному в пособии.
В связи с указанным недостаточным уровнем подготовки некоторых студентов решение многих примеров в данном пособии изложено очень подробно. Авторы надеются, что это поможет разобраться в материале,
который недостаточно был усвоен на лекциях или практических занятиях. Для желающих более глубоко вникнуть в суть процесса интегрирования приведены примеры несколько повышенной сложности, обозначенные звездочкой. Они не являются обязательными на начальном этапе освоения материала.
Данное пособие может использоваться как в течение семестра, так и при подготовке к экзамену. Если Вы проявите добросовестность и терпение при его изучении, то будете вправе надеяться на успешную сдачу экзамена по этой теме.
Предлагаемое пособие может быть полезно не только студентам,
начинающим знакомство с интегральным исчислением, но также и магистрантам, аспирантам и инженерам, желающим восстановить свои знания в этой области.
Разумеется, изложенный в пособии материал не исчерпывает всего разнообразия классов интегрируемых функций, приемов интегрирования и областей приложения интегралов. Представлены только самые основные методы и наиболее распространенные типовые задачи. Теория интегрального исчисления глубоко изложена в учебниках [1-5], а большое количество примеров для решения имеется в [6-7].
5
Рекомендуемая литература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Т.2. – М.:
Айрис-пресс, 2004. 253c.
2.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. – СПб.: Лань, 2006. 736c.
3.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике; учебное пособие. – М.:
Наука, 1973. 640c.
4.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика; учебник для ВУЗов.
Т.2. – М.: Дрофа, 2004. 509c.
5.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления; учебное пособие для ВУЗов. Т.2. – М.: Физматлит, 2006.
864c.
6.Демидович Б.П. (ред.). Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. – М.: АСТ, 2001. 495c.
7.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – СПб.:
Профессия, 2004. 432c.
Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте кафедры
высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина:
http://kvm.gubkin.ru/index.html
6
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Неопределенный интеграл, его свойства,
таблица интегралов
Определение. Функция F(x) называется первообрáзной на интервале
(а, b) для функции f (x), если выполняется равенство F'(x) = f (x) для всех x (a, b) .
Функции F(x)+С, где С – произвольная постоянная, также являются первообразными для функции f (x), так как (F(x) + С)' = f (x) + 0 = f (x).
Таким образом, функция f (x) имеет бесконечное множество первообразных,
отличающихся друг от друга на константу.
Определение. Совокупность всех первообразных F(x) + С называется
неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается
f (x) dx F (x) C .
Свойства неопределенных интегралов
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: f (x)dx f (x) .
2.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
d (x) (x) C .
3.Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
c f (x)dx c f (x)dx, |
c 0. |
4. Неопределенный интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых:
f1(x) f2 (x) ... fn (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx ... fn (x)dx .
7

ПРИМЕР 1.1.1. Показать, что функция F(x) является первообразной для
функции f (x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) F (x) |
|
|
x15 |
|
, |
|
|
|
f (x) x14 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) F (x) |
2x |
|
|
|
1 |
, |
f (x) 2x |
1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ln 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) F (x) x |
1 |
ctg2x, |
|
f (x) 1 |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||
2 |
sin2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||
г) F(x) esin x a, |
f (x) cos x esin x ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
arcsin |
x |
, |
|
|
|
|
||||||||||||
д) F (x) |
|
|
|
a2 |
x2 |
|
f (x) |
a2 x2 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
е) F (x) 2 (x), |
f (x) |
(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
В этом примере а = const, и в дальнейшем а, b, m, n, p, q – тоже являются
константами.
|
|
|
|
15 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
14 |
14 |
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
||||||||
Решение. а) Так |
как F (x) |
|
|
|
|
|
|
|
15x |
x |
f (x) , то |
||
15 |
15 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функция F (x) x15 /15 |
является |
первообразной |
для функции |
f (x) x14 ; |
аналогично:
б) F (x)
в) F (x)
г) F (x)
д) F (x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ln 2 |
|
|
2 |
|
|
f (x) ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ln 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
ctg2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
f (x) ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
sin2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
2x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
esin x cos x 0 cos x esin x f (x) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
esin x a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8

|
1 |
|
|
|
x |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 a2 x2 |
2 |
|
|
1 |
|
x2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
x2 x2 a2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
2 a2 x2 |
|
2 a2 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 f (x) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a2 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
е) по правилу дифференцирования сложной функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
F (x) 2 |
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
f (x) . ■ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x) |
|
(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 1.1.2. Дана |
функция |
|
|
|
|
f (x). Пользуясь определением |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первообразной, подобрать для нее две первообразные функции: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
f (x) 3x100 ; |
|
|
|
|
б) |
|
f (x) ex |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 |
x2 ) |
|
|
|
|
|
Решение. а) Согласно определению первообразной, надо подобрать такую функцию F(x), чтобы ее производная равнялась данной функции f (x):
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
101 |
|
|
||||||
F (x) |
3x |
|
. Такой |
функцией |
будет, |
например, |
|
F (x) |
|
x |
, так |
как |
||||||||||||
|
101 |
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
100 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F (x) |
|
|
|
101 x |
3x |
|
|
f (x) . Другой первообразной для этой же |
||||||||||||||||
101 |
|
|
||||||||||||||||||||||
функции |
f (x) |
будет, |
|
|
например, |
F (x) |
|
3 |
x101 1, |
так |
как |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
101 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
100 |
0 |
|
|
100 |
f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F1(x) |
3 x |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) Первообразными |
для данной |
функци будут, например, |
функции |
|||||||||||||||||||||
F (x) ex |
1 |
arctgx |
|
и |
|
F (x) ex |
1 |
arctgx 8, |
так |
|
как |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F (x) |
|
F1(x) ex |
|
|
1 |
|
|
. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2(x2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9

ПРИМЕР 1.1.3. Будут ли заданные функции Fi(x), i=1, 2, 3 первообраз-
ными для функции f (x) x e x ?
F1(x) x(e x 1) ;
F2 (x) e x (x 1) ;
F3 (x) e x (x 1) 50 .
Решение. Найдем производную функции F1(x):
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
1) |
1(e |
1) |
|
( 1) e |
. |
||||||||
F1(x) x(e |
|
|
xe |
|
1 xe |
||||||||||
|
x |
1 xe |
x |
xe |
x |
f (x) , |
функция F1(x) |
|
|
||||||
Так как F1(x) e |
|
|
|
не является |
первообразной для f (x).
Далее
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
(x) e |
(x 1) |
e |
(x 1) |
e |
1 |
e |
(x 1 |
1) |
xe |
f (x) , |
|||||||
F2 |
|
|
|
|
|
следовательно, F2(x) есть первообразная для f (x).
Наконец, функция F3(x) также является первообразной для f (x), так как отличается от первообразной F2(x) на константу (F3(x) = F2(x) + 50). ■
Задачи для самостоятельного решения
№1. Показать, что функция F(x) является первообразной для функции f (x):
а) F (x) tg x, |
f (x) |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
б) F (x) ln |
|
x x2 1 |
, |
|
f (x) |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) F (x) ln |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
tg |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
||||
г) F(x) cos (x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (x) (x) sin (x) . |
10