1.1.6. Обращение многомерной матрицы

Многомерная матрица В=А^-1 называется обратной по отношению к гиперквадратной матрице А=(р,р), если выполняются следующие соотношения:

А(р,р)В = ВА(р,р) = Е(р,р). (1.2)

Обратная многомерная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель исходной гиперквадратной матрицы отличен от нуля. Численное обращение гиперквадратной матрицы может осуществляться путем плоского обращения ее двумерного табличного представления.

Псевдообратной многомерной матрицей В(g,p) = A⁺( g,p) по отношению к матрице А(р,g) называется матрица В, удовлетворяющая следующим аналогам условий Мура-Пенроуза :

a) A(p,g)B(g,p)A(p,g) = A(p,g);

б) B(g,p)A(p,g)B(g,p) = B(g,p);

в)[B(g,p)A(p,g)]^T = B(g,p)A(p,g);

г) [A(p,g)B(g,p)]^T = A(p,g)B(g,p).

Псевдообратная матрица всегда существует, и ее табличное представление совпадает с результатом псевдообращения двумерного табличного представления исходной матрицы. При этом выполняется условие – если обратная матрица существует, то она совпадает с псевдообратной: A⁺(p,g) = A^-1(p,g).

Таким образом, общее правило получения обратной матрицы можно записать следующим образом.

1. Обратная матрица строится на основе обращения (псевдо-обращения) ее табличного представления.

2. Индексы обратной матрицы располагаются так же, как при транспонировании матрицы. Построенная таким образом матрица определяет структуру обратной матрицы, а значения ее элементов устанавливаются по табличному представлению обратной матрицы. Примечание. Многомерные обратные матрицы могут использоваться для представления решения линейных многомерно-матричных уравнений типа А(р,р)Х(р,0)=В(р,0), которое дается соотношением: Х(р,0) =А^-1(р,р)В(р,0).

Результаты программного контроля выполнения работы

Лабораторная работа № 2

Экстремальный путь в графе.

Определение кратчайшего пути между двумя

вершинами графа

^{Теоретическая часть}

Рассмотрим алгоритм решения для случая многомерного графа. В конечном многомерном графе каждой дуге поставлено в соответствие число С_{i1,i2,,,il,m1,m2,,ml}, называемое длиной дуги из вершины x_i1,i2,,il в вершину x_m1,m2,,ml. Требуется найти путь наименьшей длины, ведущий из некоторой вершины S в некоторую вершину t. Для использования табличного представления многомерных матриц введем помечивание индексов C_i1,i1,,m1,ml. Алгоритм включает в себя 3 шага.

Предварительный шаг. В табличном представлении матрицы C столбец помечивается знаком *. Диагональному элементу в столбце, т.е., придается значение. Помеченные вершины будем относить к множествуR, непомеченные – к , т.е.S Î R.

Общий шаг. Рассмотрим все дуги, исходящие из множества помеченных вершин R и заканчивающиеся на непомеченных вершинах . Для каждой дуги найдем

h_m,l=C_{m,m +} C_{m,l ,}

для чего входим в -строку и складываем диагональный элемент строкии элемент. Находим минимум, затем столбецl_i помечаем значением мультииндекса , а диагональному элементу столбцаl_i придаем значение =. И так до тех пор, пока не пометим вершинуt.

Заключительный шаг. Искомый путь определяем, двигаясь от t к S по отметкам вершин.

Программа даёт возможность студенту пройти режим обучения, затем проверить свои знания в режиме контроля. В обоих режимах можно посмотреть структуру графа.