Сопротивление материалов – заочно Примеры решения задач Задача 1. Стержневая система

Два стальных стержня, шарнирно соединенных в точке А, находятся под действием силы Р .Первый стержень имеет длину с и площадь поперечного сечения F, второй длину a и площадь 2F.

Требуется найти: 1) величину нормальный напряжений, действующих в стержнях. 2) абсолютную и относительную деформации стержней. Исходные данные: Р = 130 кН,с = 1,5 м,а = 2 м,F = 12 см^2. Решение. Стержни прикреплены к стене и соединены между собой шарнирами (точках В ,С иА ). Шарниры предполагаются идеальными, т. е. такими, трение в которых отсутствует. НагрузкаР приложена в узлеА . Поэтому стержни будут испытывать только продольные (растягивающие или сжимающие) усилия, т.е. в поперечных сечениях стержней возникает только один внутренний силовой фактор - продольная силаN . 1. Для определения усилий используем метод сечений .Рассечем стержни,отбросим часть, содержащую опорные точки.Заменяя действие отброшенной части, приложим в сечениях неизвестные продольные усилияN 1 иN 2 .Полагая оба стержня растянутыми, направим усилияN 1 , иN 2 так, как показано на рис.(1.2).

Уравновесим отсеченную часть. Для сходящейся плоской системы сил можно составить два независимых уравнения равновесия - в виде сумм проекции всех сил на две осих иу (рис. 1.2).

Тогда уравнения равновесия представятся в виде:

Для определения ирассмотрим стержневую систему(рис.1.1). Из точкиА опустим перпендикулярА D на прямуюВС , получим два прямоугольных треугольникаABD иАDC .

Из треугольника ABD определимAD : м. Из треугольника AD С получим: , . Теперь определим неизвестные усилия N 1 , иN 2 из системы двух линейных уравнений(1.1). Перепишем уравнения в следующем виде:

(1.2)

Решим систему (1.2), используя, например, метод Крамера.

 

2. Определим нормальные напряжения, действующие в стержнях.

Напряжения в стержнях определяются по формуле

Для первогостержня

МПа,

для второгостержня

МПа,

3. Найдем абсолютную и относительную деформации стержней.

Абсолютная деформация стержня длиной lопределяется из закона Гука:

Абсолютная деформация первого стержня

м.

Абсолютная деформация второго стержня

м.

Относительную деформацию определим из закона Гука

.

Относительная деформация первого стержня

,

относительная деформация второго стержня

.

Литература: 1 § 1.2 – 8.2

Задача 2. Статически неопределимая стержневая система

Абсолютно жесткий брус шарнирно закреплен на неподвижной опоре и поддерживается двумя стержнями (рис. 2.1).

Требуется найти: 1)  усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу ; 2)  допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению= 160 МПа; 3)  предельную грузоподъемность системы Q пр и допускаемую нагрузку [Q пр ], если предел текучестит = 240 МПа и запас прочностиn = 1,5; 4) сравнить величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [Q пр ]. Исходные данные: а = 2,1 м,b = 2,4 м,с = 1,5 м,F = 12см 2 .

Решение.

1. Рассечем стержни АА 1 иВВ 1 , усилияN 1 , иN 2 в стержняхАА 1 , иВВ 1 , направим вдоль осей стержней как показано на рис.2.2. Реакция опорыК имеет горизонтальную составляющуюН К , и вертикальную составляющуюR К , так как эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещению точкиК бруса. Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис.2.2), а независимых уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима Статически неопределимые системы рассчитывают путем совместного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.

Статическая сторона задачи. По условию задачи необходимо определить усилияN 1 иN 2 , a в определении реакцийН К иR К нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакцияН К иR К . Таким является уравнение суммы моментов всех сил относительно шарнираК :

где (м).

Подставляя в уравнение значения h ,b ис , получим

(2.1)

Геометрическая сторона задачи . Под действием внешней силы абсолютно жесткий брус повернется вокруг точкиК . ШарнирыА иВ после деформации переходят в положениеА 2 иВ 2 соответственно, т.е. перемещаются по вертикали на величины1 и2(рис.2.3).

Из подобия треугольников AA 2К иВВ 2К находим (2.2) Выразим укорочение стержняАА 1 и удлинениестержняВ B 1 , через перемещения1 и2 . ,

откуда

или с учетом равенства (2.2)

(2.3)

Физическая сторона задачи . Используя закон Гука, записанный для абсолютных деформаций, выразим деформации стержней через усилия

(2.4)

Подставим выражения (2.3) в условие (2.4)

после сокращения получим

Решаем совместно уравнения статики (2.1) и уравнение(2.5):

Определяем напряжения в стержнях 1 и 2:

Па,

Па.

2. Найдем допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее по модулю напряжение допускаемому напряжению= 160 МПа.

,

откуда

Н.

3. Найдем нагрузки предельную - Q пр и допускаемую - [Q пр ], если предел текучестиТ = 240 МПа и запас прочностиn = 1,5.

При увеличении нагрузки Q c верх значения [Q ] напряжения в обоих стержнях сначала увеличивается прямо пропорционально нагрузке. При увеличении нагрузки до некоторой величиныQ > [ Q ] напряжение2 во втором стержне достигают предела текучестиТ , а усилиеN 2 - предельного значенияN 2пр =Т ·F . При этом напряжение1 сжатия в первом стержне остается меньшеТ . При дальнейшем увеличении нагрузки, напряжения во втором стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а в первом - возрастают, пока также не достигаютТ , усилиеN 1 при этом равно

N 1пр = –Т ·2F . Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину силыQ , вызываюшую предельное состояние, обозначаютQ пр и называют предельной силой.

Для вычисления Q пр подставим в уравнение (2.1) значения предельных продольных усилий, возникающих в стержняхN 1 =N 1пр ,N 2 =N 2пр :

откуда

Н.

4. Сравним величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [ Q пр ]

= 1,38.

Литература: 1, §9.2.