5.5. Взаимное пересечение поверхностей многогранников

Пересечение двух многогранных поверхностей происходит по замкнутой ломаной пространственной линии. В некоторых час­тных случаях линия пересечения может оказаться плоской.

Пересечение может быть полным или частичным. При полном пересечении получают две линии, а при частичном — одну.

Для построения линии пересечения многогранников применя­ют два способа: по точкам и по звеньям или их комбинации. При этом выбирают способ, который в зависимости от условий зада­ния обусловливает наиболее простые построения.

Способ построения по точкам заключается в следующем. Оп­ределяем точки пересечения ребер первого многогранника с гра­нями второго и ребер второго с гранями первого. Через постро­енные точки последовательно проводим ломаную линию. При этом отрезки прямых линий проводим лишь через те точки, ко­торые принадлежат одной и той же грани.

На рис. 5.9 дано наглядное изображение двух пересекающих­ся многогранников. В пересечении участвуют грани α1, α2 и реб­ро А многогранника Ф и грани β1,β2,β3,β4 и ребра В, С, D, Е многогранника Ф2.

Используя способ построения по точкам, определим точки пе­ресечения ребер многогранника Ф, с гранями многогранника Ф2: ребро А пересекает грань β1 в точке 2, а грань β3 — в точке 5.

Теперь найдем точки пересечения ребер многогранника Ф2 с гранями многогранника Ф1: ребро В пересекает грань α2 в точке 1, ребро С пересекает грань α1, в точке 3, ребро D пересекает грань α1 в точке 4, а ребро Е пересекает грань α2 в точке 6.

Найденные точки соединяем таким образом, чтобы получилась замкнутая ломаная линия, причем каждая точка соединяется только с двумя соседними точками. Соединять можно только точ­ки, принадлежащие одной грани.

Рис. 5.9

Способ построения по звеньям заключается в следующем. Определяем отрезки прямых линий, по которым грани первого многогранника пересекают грани второго многогранника.

Эти отрезки прямых линий являются звеньями ломаной линии, получаемой при взаимном пересечении многогранных поверхностей.

Найдем линии пересечения граней двух многогранников (рис. 5.9) и получим замкнутую ломаную пространственную линию:

• линия 12 — результат пересечения плоскостей α2 и β1;

• линия 2 3 — результат пересечения плоскостей α1 и β1;

• линия 3 4 — результат пересечения плоскостей α1 и β2;

• линия 4 5 — результат пересечения плоскостей α1 и β3;

• линия 5 6— результат пересечения плоскостей α2 и β3;

• линия 6 1 — результат пересечения плоскостей α2 и β4.

Для примера построим линию пересечения четырехгранной призмы DEFG и трехгранной пирамиды SABC (рис. 5.10).

о" Е" в" F"

Найдем точки пересечения ребер пирамиды с гранями приз­мы — 1, 2, 3, 4 и ребер призмы с гранями пирамиды — 5, 6.

Горизонтальные проекции 1', 2', 3', 4' точек пересечения на­ходятся на боковых гранях призмы, являющихся горизонтально- проецирующими плоскостями.

Ребро G призмы является горизонтально-проецирующим, и проекции точек пересечения этого ребра с гранями пирамиды можно определить на горизонтальной проекции ребра G'(5' и 6').

С помощью вспомогательных прямых S7 и S8 определим по­ложение фронтальных проекций 5" и 6" точек.

Соединив полученные проекции точек, получим проекции линий пересечения двух многогранников. На горизонтальной плоскости проекций эта линия совпадает с горизонтальным очер­ком призмы, так как призма занимает частное положение.

Контрольные вопросы

1. Что такое многогранник и каковы его элементы?

2. Какой многогранник называется пирамидой и какой — призмой?

3. Каковы условия проецирования многогранника?

4. Как построить недостающую проекцию точки, лежащей на повер­хности многогранника?

5. Как построить фигуру сечения, получаемую при пересечении пи­рамиды или призмы плоскостью?

6. Как построить точки пересечения прямой линии с поверхностью многогранника?

7. Как построить развертку поверхности пирамиды?

8. Чем различаются построение развертки способом нормального се­чения и построение способом раскатки?

9. Как построить линию пересечения двух многогранников?