Глава 5. Изображение многогранников

5.1. Построение проекций многогранника

Многогранником называется часть пространства, ограниченная со всех сторон плоскими фигурами — многоугольниками (гранями). Линия, принадлежащая одновременно двум граням, называется ребром многогранника, а точка, принадлежащая одновременно трем или более ребрам, — его вершиной.

Так как многогранник состоит из таких геометрических объектов как вершины (точки), ребра (отрезки прямых линий) и грани (многоугольники), то при построении чертежа этого тела необходимо выполнять следующие условия их проецирования.

1. На проекциях многогранника вершины должны находиться попарно на линиях связи (рис. 5.1).

2. Если хотя бы одна грань многогранника является много­угольником с числом сторон больше трех, необходимо найти все вершины многоугольника в этой плоскости.

3. Контур многогранника всегда является видимым, а видимость линий внутри контура определяется методом конкурирующих точек (на рис. 5.1 это точки 1 и 2).

4. В начертательной геометрии проекции вершин многогранника обозначают буквами или цифрами, что позволяет по двум проекциям однозначно определить третью проекцию.

Очень важно уметь строить проекции точек и линий, принадлежащих поверхности геометрического тела.

Например, задана фронтальная проекция К" точки К на поверхности многогранника (см. рис. 5.1). Определим горизонтальную проекцию этой точки.

Недостающие проекции точки, лежащей на поверхности мно­гогранника, строятся следующим образом:

• через заданную проекцию точки проводят проекцию произ­вольной прямой, принадлежащей соответствующей грани, — S"M";

• находят вторую проекцию этой прямой — S 'М'\

• с помощью линий связи находят недостающую проекцию точки К' на найденной проекции прямой — S'M'.

При рассмотрении построений изображений многогранников ограничимся проецированием пирамиды и призмы.

Рис. 5.1

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого является произвольным многоугольником (основанием), а его остальные грани (боковые) — это треугольники, имеющие общую вершину. На рис. 5.2 изображена пирамида SABCD, имеющая основание ABCD и боковые грани — треугольники SAB, SBC, SCD, SAD с общей вершиной S.

Стороны SA, SB, SC, SD граней пирамиды — боковые ребра и стороны АВ, ВС, CD, AD при основании — ребра основания — являются отрезками прямых линий.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды конгруэнтны, а все ее боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники. В зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании, различают пирамиды треугольные, четырехуголь­ные, пятиугольные и т.д.

Рис. 5.2

Верхнее

Рис. 5.3

Призмой называется многогранник, две грани которого — п- угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные п граней — параллелограммы (рис. 5.3).

Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, являются основаниями призмы, а параллелограммы — ее боковыми гранями. Основания призмы конгруэнтны. Объединенные боковые грани представляют собой боковую поверхность призмы.

По числу углов основания призмы подразделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания, и наклонной — в противном случае.

Перед построением ортогонального чертежа геометрического тела необходимо произвести анализ формы этого тела и составляющих ее геометрических элементов.

Положение геометрического тела по отношению к плоскостям проекций выбирают с таким расчетом, чтобы оно обеспечивало удобство проецирования и чтения ортогонального чертежа. Обычно тело ставят основанием на горизонтальную плоскость проекций и одну из его плоскостей симметрии располагают па­раллельно фронтальной или профильной плоскости проекций.