Глава 7. Решения основных задач начертательной геометрии

Начертательная геометрияпозволяет выявлять расположение геометрических тел и их элементов в пространстве относительно друг друга и определять натуральные размеры этих тел и их эле­ментов.

Позиционные задачи.Решение позиционных задач позволяет определить положение геометрических тел и их элементовотно­сительноплоскостей проекций.

Определение взаимного положения точек в пространстве. Требуется построить наглядное изображение точек А, В, С, D, за­данных проекциями на рис. 7.1, а.

Решение. Построим наглядное изображение пространствен­ной системы координат (рис. 7.1, б). Относительно начала систе­мы координат (точка О) на осях пространственной системы по оси X отложим отрезки ОАх, ОВх, ОСх, ODx; по оси Y — отрез­ки OA у, ОВу, ОС у, ODy, по оси Z— отрезки OAz, OBz, OCz, ODz. Проведя три линии связи для каждой точки, определим их поло­жение на наглядном изображении: точка А находится в фронталь­ной плоскости проекций, так как ее координата ОАу= 0; точка В не принадлежит ни одной из плоскостей проекций; точка С на­ходится в горизонтальной плоскости проекций, так как ее коор­дината OCz равна нулю; точка D находится на оси X, так как ее координаты ODy и ODz равны нулю.

Наглядное изображение позволяет более просто определить взаимное расположение точек в пространстве.

Построение отрезка прямой линии по заданным услови­ям. Требуется построить чертежи отрезков прямой линии (рис. 7.2) общего положения восходящей (АВ), общего положения нисходящей (АС), горизонтальной (AD), фронтальной (AG), го- ризонтально-проецирующей (АЕ) и фронтально-проецирующей (AF).

Решение. Сначала строим проекции точки А.

Для построения прямой общего положения восходящей необ­ходимо выполнить условие, при котором расположение точки В обеспечит одноименное направление проекций при движении от точки А к точке В. Фронтальная проекция В" выбирается про­извольно, а горизонтальная проекция В' определяет одноимен­ное направление проекций отрезка АВ.

Для построения прямой общего положения нисходящей необ­ходимо выполнить условие, при котором расположение точки С обеспечит разноименное направление проекций при движении от точки А к точке С. Фронтальная проекция С" выбирается про­извольно, а горизонтальная проекция С определяет разноимен­ное направление проекций отрезка АС.

Для построения горизонтальной прямой необходимо, чтобы ее фронтальная проекция была параллельна оси X. Проводим A"D" параллельно оси X, горизонтальная проекция A'D' при этом располагается произвольно.

Для построения фронтальной прямой необходимо, чтобы ее горизонтальная проекция была параллельна оси X. Проводим

A'G' параллельно оси X, фронтальная проекция A"G" при этом располагается произвольно.

Для построения горизонтально-проецирующей прямой необ­ходимо, чтобы ее фронтальная проекция была перпендикулярна оси X. Проводим А"Е" перпендикулярно оси X, горизонтальная проекция А'Е' при этом вырождается в точку.

Для построения фронтально-проецирующей прямой необхо­димо, чтобы ее горизонтальная проекция была перпендикулярна оси X. Проводим A'F' перпендикулярно оси X, фронтальная про­екция A"F" при этом вырождается в точку.

3. Построение перпендикуляра к прямой линии. Требуется провести из точки С перпендикуляр к прямой АВ (рис. 7.3, а), параллельной фронтальной плоскости.

Решение. При построении прямого угла необходимо, чтобы одна из его сторон была параллельна одной из плоскостей проек ций. Так как прямая АВ по условию параллельна фронтальной плоскости, то, построив (рис. 7.3, б) из точки С" перпендикуляр к проекции А"В", найдем на ней проекцию К" (точка К — это ос­нование перпендикуляра) и построим проекцию К' на проекции АВ'.

4.Построение прямой линии, принадлежащей плоскости по заданным условиям. Требуется в плоскости, заданной двумя пе­ресекающимися прямыми АС и ВС, провести горизонталь h этой плоскости на расстоянии L от горизонтальной плоскости проек­ции (рис. 7.4, а).

Решение. Искомая горизонталь h должна лежать в заданной плоскости и быть параллельной горизонтальной плоскости про­екций.

Проводим фронтальную проекцию горизонтали h параллель­но оси Хна расстоянии L от нее (рис. 7.4, б). Пересекаем на фронтальной плоскости проекции А"С" и В"С" фронтальной проекцией горизонтали h и получаем фронтальные проекции Е" и F" точек пересечения. Опустив из них линии связи, определя­ем горизонтальные проекции Е' и F', соединив которые получим горизонтальную проекцию горизонтали h, отстоящую от горизон­тальной плоскости проекций на расстоянии L.

5.Определение точки пересечения прямой линии с заданной плоскостью. Требуется найти точку пересечения прямой АВ об­щего положения с плоскостью треугольника CDE (рис. 7.5, а) и определить видимость этой прямой из точек iS, и S2.

Решение. Для определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью CDE необходимо найти точку (К) пересечения задан­ной прямой с любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рис. 7.5

Для того чтобы найти прямую, лежащую в плоскости, прове­дем вспомогательную секущую плоскость а через заданную пря­мую АВ перпендикулярно фронтальной плоскости проекций (рис. 7.5, б). Фронтальная проекция а" этой плоскости совпада­ет с фронтальной проекцией А"В" прямой. Плоскость а пересе­кает стороны треугольника CDE в точках 1 и 2. Линия 1 2, явля­ющаяся линией пересечения плоскости CDE с плоскостью ос, пе­ресекаясь с прямой АВ, дает искомую точку К.

Для определения видимости в плоскостях проекций части пря­мой АВ, закрытой плоскостью треугольника, воспользуемся ме­тодом конкурирующих точек. Границей видимости будет точка К пересечения прямой АВ с плоскостью CDE. Рассмотрим фрон­тально конкурирующие точки 1, принадлежащую DE, и 3, при­надлежащую АВ. Так как к наблюдателю S2 точка 3 ближе, чем точка 1, следовательно, и прямая АВ к нему ближе и часть этой прямой от точки 3 до точки ЛГему видна. Аналогично рассмотрим горизонтально конкурирующие точки 4 и 5. Так как по отноше­нию к наблюдателю точка 5 выше, чем точка 4, значит, и пря­мая АВ дальше от него и часть этой прямой от точки 4 до точки К ему не видна.

Метрические задачи. Решение метрических задач позволяет определить натуральные размеры прямой линии и углы наклона ее отрезка к плоскостям проекций, а также натуральные разме­ры плоской фигуры и расстояние между предметами.

1. Определение натурального размера отрезка прямой линии общего положения и углов наклона данной прямой к плоско­стям проекций.

При решении этой задачи необходимо отрезок прямой линии расположить параллельно одной из плоскостей проекций, на ко­торую он будет проецироваться в натуральном виде. (В данном случае достаточно одного преобразования чертежа.)

Требуется найти натуральный размер прямой АВ и углы ее на­клона к плоскостям проекций п1 и л2 (рис. 7.6, а).

Решение. Для данной задачи можно использовать различные способы решения.

Решение задачи способом перемены плоскостей проекций показано на рис. 7.6, б. Введем дополнительную плоскость п5.

Рис. 7.6

Для того чтобы отрезок АВ был параллелен плоскости п5, проведем ось п5/п1 параллельно проекции А'В'. Затем по линиям связи в плоскости л5 отложим расстояния проекций А" и В" от оси п2/п1 и получим проекцию AyBv, которая является натуральным размером отрезка АВ. При этом ф1 — это угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций, а ф2 — к фронтальной, который получен введением дополнительной плоскости п4.

с" с"

Рис. 7.7

Решение задачи способом вращения показано на рис. 7.6, в. На горизонтальной плоскости проекций вращаем точку А' вокруг оси О, проходящей через точку В', по окружности с радиусом А'В' до положения А1'В', параллельного оси X. По линиям связи определяем положение А".

Проекция А1"В" является натуральным раз­мером отрезка АВ, а ф1, — угол наклона прямой АВ к горизонталь­ной плоскости проекций.

2. Определение расстояния от точки до прямой общего положения.

При решении этой задачи необходимо отрезок прямой линии расположить перпендикулярно одной из плоскостей проекций, на которую он будет проецироваться в виде точки, и затем соединить проекции прямой и точки. (В данном случае необходимы два преобразования чертежа.)

Требуется найти расстояние от точки А до прямой ВС (рис. 7.7, а).

Решение. Для данной задачи можно использовать различные способы решения.

Решение задачи способом перемены плоскостей проекций показано на рис. 7.7, б.

При первом преобразовании чертежа введем дополнительную плоскость p4, параллельную прямой ВС, и построим проекции BlvClv прямой и A1V точки.

При втором преобразовании чертежа введем дополнительную плоскость p5, перпендикулярную прямой ВС, и на плоскости p5 получим проекцию BvCv прямой в виде точки и проекцию Av. Точка D, лежащая на прямой ВС, является основанием перпендикуляра AD следовательно, отрезок L(AvDv) и есть искомое расстояние.

Решение задачи способом вращения (плоскопараллельного перемещения) показано на рис. 7.7, в.

При первом преобразовании чертежа на горизонтальной плоскости проекций повернем и перенесем на свободное поле чертежа без искажений проекцию В'С' прямой в положение В'1С'1па­раллельное оси X, и связанную с отрезком ВС проекцию А' точки—в положение А'1 после чего по линиям связи определим про­екции В"1С''1 и А1".

При втором преобразовании чертежа на фронтальной плоскости проекций повернем и перенесем на свободное поле чертежа без искажений проекцию прямой В''1С''1 в положение В''2С''2, перпендикулярное оси X, и связанную с отрезком ВС проекцию точки А''1 — в положение А''2, после чего по линиям связи определим проекции В'2С'2 и А'2.

Точка D, лежащая на прямой ВС, является основанием перпендикуляра AD, следовательно, отрезок L(A'2D'2) и есть искомое расстояние.