Часть 1

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Начертательная геометрия, являющаяся одним из разделов геометрии (наряду с геометрией элементарной, аналитической, дифференциальной, проективной и др.), исследует геометрические свойства тел и их сочетаний по изображению на чертеже, выполняемому точками и линиями.

Чертеж отображает следующие свойства предмета: метрические, включающие в себя линейные и угловые размеры самого предмета и его элементов, и позиционные, т.е. определяющие принадлежность и взаимное расположение элементов предмета или различных предметов.

Геометрическими элементами предмета могут быть:

• точка — бесконечно малая величина, не имеющая размера и имеющая три координаты размещения в пространстве:

• линия, состоящая из последовательности бесчисленного мно­жества точек, не имеющих размера и подчиняющихся определен­ному закону распространения в пространстве;

• поверхность, частным случаем которой является плоскость, состоящая из совокупности множества точек, размещенных в пространстве по определенному закону распределения и не име­ющая толщины.

На чертеже могут размещаться одно или несколько отображений одного и того же предмета, рассматриваемого с разных сторон. Эти отображения должны быть связаны друг с другом.

Для создания предмета (изделия) его чертеж должен выполняться с соблюдением трех основных требований:

• быть однозначным, т.е. давать возможность воссоздания кон­кретного предмета (изделия);

• быть измеримым, т.е. обеспечивать возможность воспроизведения всех размеров предмета (изделия);

• быть наглядным, т.е. позволяющим представить изображаемый предмет (изделие).

Чертеж формируется посредством пространственного отображения предмета на плоском экране, т.е. его проецированием.

Глава 1. Методы проецирования

Проецирование — это получение изображения на плоскости с помощью проецирующих лучей (световых или зрительных), исходящих из определенной точки пространства (центра проецирования), проходящих через точки изображаемого предмета и ото­бражаемых на плоскости в виде точек и линий.

Плоскость, на которую проецируют предмет, называется плоскостью проекций. При этом все точки пространства, находящиеся на одном проецирующем луче, будут иметь одну и ту же проекцию на плоскости проекций. Откуда следует, что любая точка пространства всегда имеет одну проекцию, однако проекция точки не определяет положение этой точки а пространстве, т.е. проецирование позволяет пространственный предмет сделать плоским.

В зависимости от направления проецирующих лучей по отно­шению к плоскости проекций выделяют два метода проецирова­ния: центральное и параллельное.

Центральное проецирование. При центральном проецировании все проецирующие лучи исходят из одной (центральной) точки пространства S, при этом они не параллельны друг другу и приходят к плоскости проекций под различными углами. Если между точкой S и плоскостью ( рис. 1.1) расположить куб с вер­шинами А, B, С, D, Е, F, G, H и провести прямые SА, SВ, SС, SD,SE,SF,SG,SH до пересечении их с плоскостью ,получим на этой плоскости проекции точек вершин куба А0, В0, С0, D0, E0,

F0, G0, H0, соединение которых прямыми линиями и дает проекцию куба на плоскость. Рассмотрим свойства центрального проецирования.

Метод центрального проецирования искажает реальные размеры при отображении предмета на плоскости проекций, так как при этом его линии в разных направлениях в пространстве уменьшаются не в одинаковое число раз, а следовательно, по изображению трудно судить о действительных размерах той или иной част и данного предмета.

При приближении предмета к точке S изображение на плоскости проекций вырастает и искажается. Например, на рис. 1.1 передняя грань куба, расположенная ближе к центру проецирования, больше задней его грани, расположенной дальше от центра проецирования.

Метод центрального проецирования, сохраняя некоторую наглядность предмета, позволяет создавать различные зрительные эффекты в кино, на телевидении, в архитектуре и изобразительном искусстве.

Применение метода центрального проецирования для решения технических задач, в которых требуется отображать точные размеры предметов, весьма затруднительно.

Параллельное проецирование. Если удалить центр проекций (точка S∞) в бесконечность, то проецирующие лучи практически будут параллельны друг другу (рис. 1.2).

Если проецирующие лучи направлены перпендикулярно плоскости проекций (под углом 90°), проецирование называется прямоугольным (ортогональным).

В отличие от центрального проецирования метод параллельных прямоугольных проекции, при котором линии предмета располагаются параллельно плоскости проекции, не искажает реальные размеры предмета. При перемещении предмета вдоль лучей проецирования его изображение на плоскости проекций не изменяется.

Метод Монжа. При проецировании на одну плоскость проекции теряется пространственная размерность предмета. При центральном проецировании, когда линии предмета совпадают с проецирующими линиями, размерность искажается и пропадает. В случае параллельного проецирования линии предмета, совпадающие с линиями проецирования, превращаются в точки. Для решения этих проблем при создании чертежей известный французский ученый и инженер Гаспар Монж в конце XVIII в. предложил метод построения изображений, основанный на прямоугольном проецировании предмета на две взаимно-перпендикулярные плоскости.

Рассмотрим метод Монжа на примере проецирования точки А. расположенной в пространстве, на две взаимно-перпендикулярные плоскости (рис. 1.3): горизонтальную плоскость л, и фронтальную плоскость, пересекающиеся по линии ОХ, называемой осью проекции. Луч проецирования S1 точки А на горизонтальную плоскость дает горизонтальную проекцию A', а луч проецирования S2 этой же точки А на фронтальную плоскость дает фронтальную проекцию А". Таким образом мы проецируем точку А. рассматривая ее в пространстве сверху (и направлении S1) и спереди (в направлении S2). Затем, повернув горизонтальную плос­кость вокруг оси проекций ОX на угол 90° до совмещения с фронтальной плоскостью , получим одну плоскость — плоскость чертежа. Проекции А' и А" лежат на одной линии, перпендикулярной оси проекций ОХ. Эта линия, соединяющая горизонтальную А' и фронтальную А" проекции точки А, называется линией связи.

В результате указанного совмещения плоскостей получают чертеж, известный под названием эпюр Монжа, который содержит псе три пространственные координаты точки А:

• ширину (абсциссу) — расстояние от начала координат ОА_{х ;}

• высоту (аппликату) — расстояние нал горизонтальной плоскостью А',Аx;

• глубину (ординату) — расстояние до фронтальной плоскости А'А_Х.

Эпюр Монжа позволяет однозначно определять расположение точки в пространстве по двум ее совмещенным на одной плоскости (чертеже) проекциям.

Точки в пространстве могут занимать три различных положении: не принадлежать ни одной из плоскостей проекций (общее положение), принадлежать одной из плоскостей проекций (лежать на плоскости) и принадлежать сразу двум плоскостям проекций (лежать на оси проекций).

Эпюр Монжа позволяет определять взаимное расположение точек в пространстве (рис. 1.4).

Точки А и В совпадают и пространстве, а их проекции сливаются на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций. Точка С расположена на фронтальной плоскости, а ее горизонтальная проекция лежит на оси проекций. Точка В расположена на горизонтальной плоскости проекций, а ее фронтальная проекция лежит на оси проекций. Точка Е принадлежит фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, при этом обе ее проекции слипаются и лежат на оси проекций. Точка D расположена выше, ближе и правее точек А и В. Если у несовпадающих точек совпадают одни одноименные проекции (например, фронтальные проекции точек G, H и K), такие точки называются конкурирующими. Рассмотрен горизонтальные проекции этих точек, определим, какая из них ближе к наблюдателю и видна. В нашем случае видимой является точка К, при этом невидимые фронталь­ные проекции точек С и Н заключаются в круглые скобки.

В ряде случаев для повышения наглядности чертежа предмет проецируют на три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций.

Используем метод Монжа для проецирования точки на три плоскости проекций (рис. 1.5): π1, фронтальную π2 и профильную π3. В данном случае имеем три направления про­ецирования точки А: на горизонтальную плоскость — S1, на фронтальную — S2, на профильную — S3.Горизонтальную плоскость проекций совмещаем с фронтальной посредством поворота ее на 900 вокруг оси ОХ, а профильную плоскость проекций совмещаем с фронтальной посредством поворота на 900 вокруг оси ОX, при этом ось ОУ разделяется на две части (рис. 1.6). Правый нижний квадрат чертежа не является плоскостью проекций, а служит для вспомогательных построений линий связи проекций.

Эпюр Монжэ позволяет построить третью (профильную) проекцию точки, используя ее фронтальную и горизонтальную проекции (см. рис. 1.6). Перенос координат высоты и глубины точки можно осуществлять с помощью измерителя отрезков, циркуля или вспомогательной прямой, проведенной под углом 45⁰ к разделенной оси У.

Отметим, что проецирование на три плоскости проекций дает избыточную информацию, и в большинстве случаен достаточно построить эпюр Монжа из совмещенных, плоскостей проекций ,В обоих этих случаях на чертеже будут иметься все три координаты точки в пространстве.