5.Частотное согласование сигналов и каналов

Одной из основных характеристик канала является полоса пропускания - это та полоса частот, в пределах которой возможна передача данных. С другой стороны любое сообщение требует для передачи определенной полосы частот. Передача возможна при условии, если полоса пропускания канала не уже, чем полоса частот сигнала: f_сf_к. На практике f_к обычно задана.

Спектральное представление периодических сигналов

Рассмотрим периодический сигнал x_п(t) (рис.5.1).

Рис.5.1

Такой сигнал можно представить в виде ряда Фурье:

, (5.1)

где - постоянная составляющая сигнала,₀=2/T.

Из выражения (5.1) следует, что периодический сигнал любой формы может быть представлен в виде суммы гармонических составляющих с различными амплитудами A_k , частотами k₀ - и фазами _k. Благодаря этому можно перейти от представления сигнала во временной области к частотной, где A_k=A_k(k₀) - спектр амплитуд, _k=_k(k₀) - спектр фаз.

Эти спектры являются линейчатыми (рис.5.2).

Рис.5.2

Задача состоит в том, чтобы по виду сигнала x_п(t) определить спектры амплитуд (A_k) и фаз (_k).

_k(k₀)=arctg b_k/a_k.

Любой периодический сигнал бесконечен во времени, что на практике не осуществимо, поэтому периодический сигнал - математическая абстракция, и все рассмотренное выше не применимо к реальным сигналам.

Спектральное представление непериодических сигналов

Любой реальный сигнал ограничен во времени и, следовательно, является непериодическим. Однако, условно его можно рассматривать как периодический с периодом Т. Тогда ₀=2/T 0, а спектры амплитуд и фаз становятся непрерывными (сплошными), сумма в разложении Фурье превращается в интеграл. В результате переходим к

интегралу Фурье (обратное преобразование):

(5.2)

В формуле s(j) - спектральная плотность сигнала, определяющая как распределяются амплитуды и фазы по частотам непрерывного спектра.

От s(j) можно перейти к спектральной плотности амплитуд (s()) и фаз (()). Для решения этой задачи используется прямое преобразование Фурье:

(5.3)

Методика определения s() и ().

1. При помощи (5.3) определяется s(j).

2. s(j) представляется в виде действительной и мнимой частей:

s(j) = А() + jВ().

3. Определяются

и ()=arctg (B()/A()).

Основные свойства амплитуд и фаз

s()=s(-) - четная функция; () = -(-) - нечетная функция (рис.5.3).

Рис.5.3

Функции s() и () в нуль обратиться не могут, т.к. пределы интегрирования в соответствии с (5.3) (от - до +), следовательно любой сигнал имеет бесконечную полосу частот. С другой стороны любой реальный канал имеет ограниченную полосу пропускания. Следовательно, ни один реальный сигнал не может быть передан по каналу без искажения. Вопрос может стоять только о том, чтобы обеспечить допустимый уровень искажений. При решении этой задачи используется понятие эффективной или практической ширины спектра сигнала.

Практическая ширина спектра сигнала

Практической шириной спектра сигнала называется та полоса частот, в пределах которой передается подавляющая часть энергии сигнала.

Предположим, что полная энергия сигнала Е₀. Для определения практической ширины спектра надо определить =Е₁100%/Е₀ - % энергии, который мы хотим передать по каналу.

Е₁ < Е₀ - передаваемая энергия сигнала.

Для определения _п пользуются уравнением Парсеваля:

1. Определяем Е₀.

2. Задаемся коэффициентом .

3. Находим _п.

Пример.

Определим _п спектра одиночного импульса (рис.5.4).

Рис.5.4

Определяем спектральную плотность (рис.5.5)

Для передачи 90 % энергии одиночного импульса целесообразно выбрать _п=2/. Следовательно, чем меньше , тем больше надо _п.

Рис.5.5

Искажение формы сигнала при ограничении полосы частот

Рассмотрим случай передачи двоичной информации, где двоичный "0" кодируется напряжением 0 вольт, двоичная "1" - напряжением А вольт (рис.5.6).

Рис.5.6

Если при передаче последовательности символов переходные процессы от предыдущего символа не успевают затухнуть, то возникают дополнительные искажения, называемые межсимвольной интерференцией. Вместо переданной 1 может быть принят 0 и наоборот.

На приемной стороне с помощью пороговой схемы должно быть принято решение, какому из 2-х значений (0 или А) отвечает принятый сигнал.

При этом пороговый уровень U=A/2 (рис.5.7).

Рис.5.7

Передан прямоугольный импульс длительностью Т, отображающий логическую 1 (рис.5.7а).

При ограничении полосы (_п)₁ искажения сигнала имеют место согласно рис.5.7б. При этом по искаженному импульсу регенерируется исходный импульс длительности Т₁Т и, несмотря на искажения, переданная 1 будет воспринята как 1 (рис.5.7в). На диаграмме t₁ и t₂ - краевые искажения.

При более узкой полосе (_п)₂ искажения импульса (рис.5.7г) приводят к ошибке (рис.5.7д).

Двоичную информацию можно передавать при помощи однополярных и 2-полярных импульсов; 2-полярные более предпочтительны, так как в этом случае независимо от А пороговый уровень выбирается равным 0 вольт (U=0).

Спектры модулированных сигналов

В системах передачи данных используется модем (модулятор - демодулятор).

Принцип модуляции: по каналу передается сигнал-переносчик и один из параметров сигнала изменяется в соответствии с законом сообщения. Если сообщение двоичное, то модуляция называется манипуляцией.

Если используется гармонический переносчик

x(t)=A sin(t+), (5.4)

то возможна амплитудная (А), частотная () и фазовая модуляция ().

Рассмотрим амплитудную модуляцию (АМ):

x(t)=A(t) sin(₀t+₀), (5.5)

A(t)=A₀+A f(t)=A₀[1+m_af(t)], (5.6)

где A(t) - var; ₀ =const; ₀=const; A₀ - постоянная составляющая амплитуды; A - девиация амплитуды; f(t) - нормированное сообщение (|f(t)| 1); m_a - глубина амплитудной модуляции.

Спектр амплитудно-модулированных сигналов

Пусть сообщение f(t)=cos t, где << ₀.

Амплитудно-модулированный сигнал будет иметь следующий вид (рис.5.8):

Рис.5.8

и описывается следующим соотношением

x(t)=A₀(1+m_a cos t) sin(₀t+₀)=A₀sin(₀t+₀)+(A₀m_a/2)sin[(₀-)t+₀]+

+ (A₀m_a/2)sin[(₀+)t+₀]. (5.7)

Из анализа (5.7) видно, что спектр амплитудно-модулированного сигнала для сообщения f(t)=cos t состоит из трех гармонических составляющих с частотами ₀, ₀- и ₀+. (рис.5.9).

Из рис.5.9 видно, что в результате модуляции исходное низкочастотное сообщение на частоте W оказалось перенесенным в более высокую область частот ₀.

Таким образом, модуляция позволяет переносить спектр исходного сообщения в нужную область частот соответствующим выбором несущей частоты ₀,

т.е. от (₀-) до (₀+).

Рис.5.9

В случае более сложного сообщения f(t), занимающего некоторую полосу частот от 0 до , получаем спектр (5.10)

Рис.5.10

Из рис.5.10 видно, что спектр модулированного сигнала по крайней мере в два раза шире спектра исходного сигнала.

Для сужения используемой ширины канала используется однополосная передача, при которой передается только одна боковая полоса, а несущая частота и другая полоса подавляются с помощью фильтров. Эффект переноса частот имеет место и при частотной и при фазовой модуляции источника.