Сравнение статистики падения самолетов-снарядов с соответствующим распределением Пуассона

Число падений k	0	1	2	3	4	5	≥5
Число участков Νk Q(0,9323) 576 · Q(k; 0,9323)	299 0,3936 226,74	211 0,3670 211,39	93 0,1711 98,54	35 0,0532 30,62	7 0,0124 7,14	– 0,0023 1,33	1 – –

Оценку надежности производственных установок и различ­ной аппаратуры, а также обслуживания персоналом можно провести с использованием биномиального распределения подсчетом вероятности частоты r успешных событий (на­пример, пусков и т. п.) при их общем числе п. Доверительный интервал для фактической вероятности Р_T определяется урав­нением

,

где – биномиальныекоэффициенты; Р – нижняя граница искомой надежности Р_Т; α – достоверность то­го, что фактическая вероятность Р_Т находится в интервале Р...1.

Значения вероятности Р_Т при достоверности α = 0,8 приведены в табл. 10.5 для трех значений п.

Таблица 10.5

Вероятность успешных (безаварийных) событий с достоверностью 0,8 при различных значениях r

п	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
10 15 20	0,083 0,056 0,041	0,240 0,157 0,117	0,418 0,272 0,201	0,619 0,394 0,291	0,851 0,524 0,384	0,662 0,481	0,813 0,582	0,686	0,798	0,922

Рассматривается альтернативный подход с привлечением модели, учитывающей некоторые физические процессы, в предположении, что авария на взрывоопасном объекте возникает в результате на­копления элементарных повреждений у при достижении некоторого предельно допустимого износа М. Процесс накопления повреждений фиксируется функцией износа η(t). Отказ наступает при условии η(t) ≥ М и числе элементарных повреж­дений r = М/ у.

Для объектов с высокой однородностью начального качест­ва (обеспечивается жестким контролем качества материалов и технологии производства, что обычно реализуется при изго­товлении труб, сосудов, резервуаров и газгольдеров) расчет вероятности отказа (аварии) возможен с использованием мо­дели монотонно стареющих систем, т. е. с накапливающимися повреждениями, на основе гамма-распределения времени Т функционирования

,

где Г(r) – гамма-функция; λ = y^–1dM·[η(t)]/dt – скорость износа.

Для целых значений r гамма-функция Г(r) = (г – 1)!, а функция распределения имеет вид

(10.9)

При r = 1 выражение (10.9) соответствует плотности экспо­нен­ци­аль­ного распределения (мгновенный выход из строя при однократном повреждении).

10.7. Примеры оценки риска аварий

Пример 10.1. На объекте за 20 лет произошло 4 аварии, т. е. среднее число аварий равно λ = 4 / 20 = 0,2 лет^–1. Тогда за период τ = 2 года две аварии (N = 2) могут произойти с вероятностью Q[(2; 0,2 · 2)] = 0,4² exp(–0,4)/2! = 0,054, а одна авария – с вероятностью Q(1; 0,4) = 0,227.

Вероятность безаварийного функционирования объекта Q(0; λτ) в течение двух лет равна Q(0; 0,4) = ехр(–0,4) = 0,67, а в течение одного года Q(0;0,2) = = ехр(–0,2) = 0,82, т. е. риск аварийных ситуаций за двухлетний период составит 1–0,67 = 0,33, а за один год – 0,18.

Пример 10.2. Средняя скорость износа агрегата с взрывоопасным энерго­носителем λ = 0,02 ч^–1. Предельное число элементарных повреждений τ = 6. Агрегат функционирует 3 ч в сутки. Определим риск аварий в те­чение недели.

За указанный срок время работы агрегата Т = 7 · 3 = 21 ч, λТ = 0,42. По формуле (10.9) оценка величины риска:

R(0,42) = 1 – exp(–0,42)(1 + 0,42 + 0,42²/2 + 0,42³/6 + 0,42⁴/24 + 0,42⁵/120) = = 5,33 ·10^–6.