Вероятность n аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра τ, согласно распределению Пуассона

N	0,1	0,2	0,3	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
0	0,905	0,819	0,741	0,607	0,368	0,135	0,050	0,018	0,007
1	0,091	0,164	0,222	0,303	0,368
2	0,0045	0,016	0,033	0,076	0,184	0,271
3	0,0002	0,0011	0,0033	0,013	0,061	0,180	0,224
4		0,0001	0,0003	0,0016	0,015	0,090	0, 168	0,195
5				0,0002	0,003	0,036	0,101	0,156	0,176
	0,095	0,181	0,259	0,393	0.632	0,865	0,950	0,982	0,993

Закон Пуассона является частным (предельным) случаем биномиального распределения при большом числе маловероят­ных событий. В связи с этим формулу Пуассона называют законом редких явлений. На рис. 10.2 показано распределение Пуассона для нескольких значений λτ, из которого видно, что при больших значениях λτ (λτ  10) распределение приближа­ется к нормальному распределению при μ = σ² = λτ

. (10.8)

Закон Пуассона широко используют на практике: в теории надежности, при проверке качест­ва, при прогнозировании сейсмического риска и др. Закон Пу­ассона применим также к событиям (авариям), разбросанным на площадях. В этом случае параметр λ имеет смысл средней плотности, отнесенной не к временному интервалу, а к неко­торой площади.

1,0	Q
0,8
0,6
0,4		2	3
0,2	N=1
0	1	2	3	4	5 λτ

Рис. 10.1. Вероятность аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра λτ

0,6 Q 0,3 Q

λτ = 0,5 λτ = 1

^{0 2 4 N 0 3 6 N}

0,2 Q λτ = 2 0,15 Q λτ = 4

0 3 6 N 0 5 10 N

0,12 Q λτ = 8 0,1 Q λτ =10

0 10 20 N 0 10 20 N

Рис. 10.2. Распределение Пуассона для шести значений λτ

Известен пример исключитель­но хорошего согласия с распределением Пуассона реальной статистики падений самолетов-снарядов в южной части Лон­дона в период Второй мировой войны. Такое согласие установ­лено при подсчете числа k падений, приходящихся на каждый из Ν = 576 одинаковых участков территории, каждый площадью S = 0,25 км². При общем числе снарядов Т = 537 число участков Nk, на которое приходилось по k падений (среднее число λS = Т/N – 0,9323), дано в табл. 10.4 в сравнении со значениями вероятностей Р(k; 0,9323), подсчитанных по фор­муле Пуассона.

Таблица 10.4