К 0онтрольные вопросы

1. Почему распределение Гаусса называется нормальным?

2. Поясните влияние параметров распределения: математического ожидания и дисперсии по виду кривой плотности распределения отказов.

3. При каких условиях правильно использовать классическое нормальное распределение, а при каких – усечённое нормальное распределение?

4.3.3. Логарифмически нормальное распределение

При логарифмически нормальном распределении нормально распределенным является логарифм (lg t) случайной величины Т, а не сама эта вели­чина.

Это распределение обеспечивает более точное, чем нормальное распределение, описание наработки до отказа тех объектов, у которых отказ возникает вследствие усталости, например подшипников качения, электронных ламп и пр.

Оно используется при обработке опытных данных об усталостной долговечности металлов, времени безотказной работы некоторых объектов.

Логарифмически нормальное распределение позволяет описывать течение времени безотказной работы объектов, имеющих свойство «упрочняться» по ходу времени эксплуатации. «Упрочнение» проявляется в постепенном уменьшении скорости износа.

Плотность распределения выражается зависимостью

. (4.23)

Параметры m и S по результатам N испытаний принимаются:

, (4.24)

(4.25)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблице нормального распределения (см. табл. 4.2) в зависимости от значения квантили:

. (4.26)

Математическое ожидание наработки до отказа:

. (4.27)

Среднее квадратическое отклонение

. (4.28)

Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Графики функций показателей безотказности при логарифмически нормальном распределении

4.3.4. Гамма-распределение

Гамма-распределение времени безотказной работы описывает схему непрерывного, постепенного износа, при котором отказ не наступает вследствие первого же повреждения, а является следствием накопления повреждений. Каждое из этих повреждений происходит по схеме мгновенного повреждения.

Граничными условиями применения гамма-распределения являются следующие:

– средняя скорость износа устройства постоянна;

– средняя скорость износа подвержена случайным вариациям;

– начальное качество исследуемых устройств полно­стью однородно.

Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами α (масштабный параметр) и β (параметр формы), где ,>0, причём – целое число, если функция плотности распределения описывается выражением:

, (4.29)

где Г() = ( – 1)! – гамма-функция Эйлера.

Очевидно, что при = 1 выражение (4.29) упрощается до вида , соответствующего экспоненциальному распределению.

Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону.

При больших значениях гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: ,.

Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении приведены на рис. 4.10.

Числовые характеристики наработки до отказа:

– средняя наработка (математическое ожидание наработки) до отказа

, (4.30)

– дисперсия наработки до отказа

. (4.31)

Рис. 4.10. Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении