Упрощенное вычисление вероятности безотказной работы

	1,0	0,1	0,01	0,001	0,0001
P(t)	0,368	0,9	0,99	0,999	0,9999

Так, при вероятностьP(t) = 0,37, т. е. 63 % отказов возникает за время t < T, а 37 % – позднее. Из приведённых значений следует, что для обеспечения высокой вероятности безотказной работы, например 0,9 или 0,99, можно использовать только малую долю среднего срока службы – 0,1 и 0,01 соответственно.

Если работа изделия происходит при разных режимах и разных интенсивностях отказов λ_i, то при этом верно условие:

, (4.8)

где t_i – продолжительность работы в i-м режиме.

Контрольные вопросы и задачи

1. Чем вызваны отказы в период нормальной эксплуатации?

2. Как описывается изменение плотности распределения отказов при экспоненциальном распределении наработки до отказа?

3. Известно, что серийно выпускаемая деталь имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа с параметром λ = 10^–5 ч^–1. Деталь используется конструктором при разработке нового прибора. Назначенный ресурс прибора предполагается T_н = 10⁴ ч. Определить: а) среднюю полезную наработку детали к моменту T_н; б) вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале наработки [0, T_н].

Ответы: 1) 9,5 · 10³ ч, 2) 0,905.

4.3. Надёжность объектов при постепенных отказах

Постепенным отказам свойственны законы распределения времени безотказной работы, дающие сначала низкую плотность распределения, затем рост плотности и затем падение, связанное с уменьшением числа работоспособных объектов.

Многообразие причин и условий возникновения отказов в этот период приводит к необходимости применения нескольких законов распределений, которые устанавливаются путем аппроксимации результатов испытаний или наблюдений в эксплуатации.

Пример формирования распределения f(t) показан на графике изменения выходного параметра ряда механизмов, например потери точности металлорежущих станков одной марки в процессе эксплуатации (рис. 4.4).

t

Рис. 4.4. Формирование закона распределения времени безотказной работы f(t)

На этом рисунке показано:

t₁ – время работы, при котором появляются первые признаки от­казов;

t₂ – время работы, при котором исчерпываются потенциальные возможности безотказной работы;

m_t – математическое ожидание срока службы;

t – время работы в интервале t₂ – t₁, определяющее вероятность безотказной работы P(t);

Q(t) = 1 – P(t) – вероятность отказов во время работы в интервале t₂ – t₁.

4.3.1. Нормальный закон распределения наработки до отказа

Нормальное распределение вероятности безотказной работы описывает схему длительного «естественного» старения (постепенные отказы). В этом случае отказы являются следствием накопления повреждений:

– при постоянной скорости износа;

– однородном начальном качестве объектов.

При таких начальных условиях большая часть отказов наблюдается в течение конечного периода работы объекта.

Нормальное распределение, или распределение Гаусса, является наиболее универсальным, удобным и широко применимым.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы.

Нормальному распределению подчиняются наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, размеры, ошибки измерения деталей и т. д.

Плотность распределения отказов описывается формулой

. (4.9)

Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание m_t и среднее квадратическое отклонение S.

, (4.10)

. (4.11)

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 4.5.

Выясним смысл параметров Т и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, что Т является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t – Т) выражение (4.9) не меняется. При t = Т функция f(t) достигает своего максимума:

. (4.12)

Рис. 4.5. Графики функций показателей безотказности при нормальном распределении

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая плотности распределения f(t) тем выше и острее, чем меньше S. Она начинается от t = –∞ и распространяется до t = ∞. Это не является существенным недостатком, если T ≥ 3S, так как площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями кривой плотности, очень мала. Так, вероятность отказа за период времени до Т = –3S составляет всего 0,135 % и обычно не учитывается в расчетах. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/S (рис. 4.6).

а) б)

Рис. 4.6. Функция плотности вероятности (а) и интегральная функция вероятности нормального распределения (б)

Вероятность отказа при таком распределении определяется интегральной функцией

. (4.13)

Вероятность безотказной работы

, (4.14)

. (4.15)

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц значений P(t) в зависимости от квантили нормированного нормального распределения (табл. 4.2):

. (4.16)

Помимо прямой задачи, т. е. оценки вероятности безотказной работы за данную наработку, зачастую требует решения обратное определение наработки, соответствующей заданной вероятности безотказной работы.

Значение этой наработки определяют также с помощью квантили:

(4.17)

Таблица 4.2