3.3. Показатели безотказности восстанавливаемых объектов

Восстанавливаемыми называются изделия, ко­торые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если произойдет отказ такого изделия, то он вы­зовет прекращение функционирования изделия только на период устранения отказа. К таким изделиям относятся: телевизор, агрегат питания, станок, автомобиль, трактор и т. п.

Величина λ(t)dt есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt].

Для восстанавливаемых объектов применяется понятие наработка на отказ (наработка между двумя соседними во времени отказами). После каждого отказа производится восстановление работоспособного состояния.

Характеристикой безотказности случайной наработки Т является математическое ожидание, которое называется средней наработкой на отказ (между отказами) [7].

,(3.14)

где t – суммарная наработка; r(t) – число отказов, наступивших в течение этой наработки; М{r(t)} – математическое ожидание этого числа. В общем случае средняя наработка на отказ оказывается функцией t.

Статистическая оценка средней наработки на отказ Т есть величина, рассчитываемая по формуле

. (3.15)

В отличие от формулы (3.9) здесь r(t) – число отказов, фактически происшедших за суммарную наработку t.

Статистическая вероятность отказов

^{, (3.16)}

где n(t) – количество отказов;

N – число взятых на испытания объектов.

Статистическая частота отказов

, (3.17)

где t – данный интервал времени.

Параметры работоспособности:

– вероятность безотказной работы Р(t);

– средняя наработка на отказ Т;

– параметр потока отказов μ(t);

– среднее время восстановления Т_В.

Параметр потока отказов μ(t) есть отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки:

, (3.18)

где – математическое ожидание;– малый отрезок наработки;r(t) – число отказов, наступивших от начального момента времени до достижения наработки t; – число отказов на отрезке .

При расчетах и обработке экспериментальных данных применяют осредненный параметр потока отказов

, (3.19)

здесь – конечный отрезок времени, на котором определяется число отказов, причем. Для стационарного потока отказов параметры, определяемые по формулам, не зависят отt .

Cтатистическая оценка параметра потока отказов делается по формуле, которая аналогична формуле (3.19):

. (3.20)

Параметр потока отказов представляет собой плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта. Отказы объектов возникают в случайные моменты времени, и в течение заданного периода эксплуатации наблюдается поток отказов.

Существует множество математических моделей потоков отказов. Наиболее часто при решении задач надежности электроустановок используют простейший поток отказов – пуассоновский поток. Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности, отсутствия последствия.

Стационарность случайного процесса (времени возникновения отказов) означает, что на любом промежутке времени Δt_i вероятность возникновения n отказов зависит только от n и величины промежутка Δt_i, но не зависит от сдвига Δt_i по оси времени. Следовательно, при вероятность появления n отказов по всем интервалам составит

. (3.21)

Ординарность случайного процесса означает, что отказы являются событиями случайными и независимыми. Ординарность потока означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа, т. е.

при n >1 . (3.22)

Отсутствие последствия означает, что вероятность наступления n отказов в течение промежутка Δt_i не зависит от того, сколько было отказов и как они распределялись до этого промежутка. Следовательно, факт отказа любого элемента в системе не приведет к изменению характеристик (работоспособности) других элементов системы, если даже система и отказала из-за какого-то элемента.

Опыт эксплуатации сложных технических систем показывает, что отказы элементов происходят мгновенно, и если старение элементов отсутствует ( = const), то поток отказов в системе можно считать простейшим.

Случайные события, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона:

приn_і  0, (3.23)

где – вероятность возникновения в течение времениt ровно n событий (отказов);  – параметр распределения, совпадающий с параметром потока событий.

Если в выражении (3.23) принять n = 0, то получится – вероятность безотказной работы объекта за времяt при интенсивности отказов  = const. Нетрудно доказать, что если восстанавливаемый объект при отсутствии восстановления имеет характеристику  = const, то, придавая объекту восстанавливаемость, следует написать μ(t) = const;  = μ .

Это свойство широко используется в расчётах надёжности ремонтируемых устройств. Например, важнейшие показатели надежности оборудования электроустановок даются в предположении, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими, когда и, соответственно,

. (3.24)

Среднее время восстановления :

, (3.25)

где n – число отказов объекта;

– время, затраченное на отыскание и устранение одного отказа.

Функция распределения:

, (3.26)

где – интенсивность восстановления работоспособности объекта; характеризует среднее число восстановлений ремонтируемого объекта в единицу времени,

. (3.27)

Интенсивность восстановления работоспособности объекта:

, (3.28)

, (3.29)

, (3.30)

, (3.31)

где n(t) – число восстановленных за время t объектов;

N – общее число отказавших объектов.

Вероятность безотказной работы восстанавливаемого объекта:

P_r (t) – количественная мера того, что объект в заданный момент времени будет работоспособен.

Событие А: объект работоспособен до момента времени t и работоспособен на участке времени t. Выражение для события А:

Р(t, t + t) = Р(t)Р(t) = Р(t)е ^–t.

Событие В: объект вышел из строя к моменту времени t, но был восстановлен за период  t. Выражение для события В:

Р(t, t + t) = (1 – Р(t))(1 – е ^–t),

Р(t, t + t) = P(t) е ^–t + (1 – P(t))(1 – е ^–t) . (3.32)

Согласно формулам (3.9)–(3.13)

е ^–t = 1 – _Вt

преобразуется к виду:

1 – е ^–t = _Вt,

P(t, t + t) = P(t)(1 – t) + (1 – Р(t)),

_В t = 1,

1 = P(t) – P(t)t + _В t – P(t) _В t,

,

,

.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

. (3.33)

Изображение функции P_r(t) восстанавливаемого изделия и функции P(t) невосстанавливаемого изделия представлено на рис. 3.2.

Надёжность восстанавливаемого P_r(t) изделия всегда выше надёжности невосстанавливаемого изделия P(t).

Пример 3.2. В результате наблюдения за работой редуктора было зарегистрировано 8 отказов, наработки t_i составляют в сутках: 18, 9, 14, 27, 16, 8, 14, 22.

P(t)

1

рис. 3.2. графики функции P_r(t) и P(t)

Определить наработку на отказ и вероятность его безотказной работы в пределах наработкиt = 20 ч.

Решение:

_суток,

,

.