Vedyakov_articles / Операторный метод анализа и синтеза ЛСУ

Y (s) = L[ y(t)]

к изображению входной переменной

U (s) = L[u(t)]

при нулевых начальных условиях

y(0) = py(0) =K = pn−1 y(0) = u(0) = pu(0) =K= pm−1 y(0) .

Напомним, что преобразование Лапласа

∞

F(s) = L[ f (t)] = ∫ f (t)e−st dt

0

ставит в соответствие каждой функции f (t) (оригиналу), для которой несобствен-

ный интеграл сходится, единственную функцию F(s) (изображение) комплексной переменной s . Использование преобразования Лапласа для изучения дифференциальных уравнений основывается на утверждении:

L[ pk f (t)] = sk F(s) ,

если равны нулю значения f (t) и ее производных вплоть до ( k −1 )–ой при t = 0 .

Применяя преобразование Лапласа к правой и левой частям уравнения (2.1) при

Передаточная функция у которой полиномы a(s) и b(s) не являются взаимно простыми называется вырожденной передаточной функцией. При выводе передаточной функции W (s) системы необходимо следить за тем, чтобы не произошло со-

кращения ее числителя и знаменателя. При выполнении последнего условия, знаменатель a(s) передаточной функции называется характеристическим полиномом

системы. Устойчивость объекта управления определяется корнями характеристического уравнения a(s) = 0 . Для асимптотической устойчивости необходимо и доста-

точно отрицательность вещественных частей всех корней. Любой полином, все кор-

11

ни которого имеют строго отрицательную вещественную часть, называется устой-

чивым полиномом.

Корни знаменателя передаточной функции называются полюсами, а корни числителя - нулями. Передаточная функция, у которой вещественные части всех нулей отрицательны называется минимально-фазовой. Для существования решения задачи управления достаточно, чтобы передаточная функция была минимально-фазовой. Если W (s) не является минимально-фазовой передаточной функцией, то решение

задачи управления может существовать только при условии, что наибольшее общее кратное полиномов a(s) и b(s) - устойчивый полином.

Если W (s) является минимально-фазовой передаточной функцией, то решение

задачи будем искать в два этапа. Для этого представим сигнал управления в виде

алгоритм формирования переменной u1 для того, чтобы решить задачу стабилиза-

ции, т.е. обеспечить выполнение предельного соотношения lim y(t) = 0 при любых

t→∞

начальных условиях. На втором этапе, выбором сигнала управления обеспечим ре-

шение задачи слежения, т.е. выполнение неравенства | y∞(t) − y (t) |≤ γ, где y∞(t) -

функция времени такая, что

lim[ y∞(t) − y(t)] = 0 ,

t→∞

y (t) - заранее неизвестная переменная величина (задающее воздействие), а γ > 0 -

некоторое заданное постоянное число. Отметим, что определенная подобным обра-

зом функция y∞(t) называется установившейся реакцией системы.

В заключении первого этапа курсовой работы строятся ЛАХ и ЛФХ передаточной функции W (s) объекта управления. Напомним, что логарифмической амплитудно-

частотной характеристикой, соответствующей передаточной функции W (s) , назы-

вается график функции

L(ω) = 20lg | W ( jω) |

12

от логарифма lgω, где ω - действительная переменная, которая называется часто-

той. Функция W ( jω) , которую получают из передаточной функции W (s) при под-

становке в нее s = jω, называется частотной передаточной функцией. Принято измерять значение ЛАХ в децибелах (дБ), а значение наклона ЛАХ – в децибелах на декаду. Декадой называют интервал на котором частота ω меняется в 10 раз. Логарифмической фазочастотной характеристикой называется график функции

ϕ(ω) = argW ( jω)

от логарифма lgω.

2.2. Решение задачи стабилизации

Для решения задачи стабилизации выберем алгоритм формирования сигнала u1 в

виде

Для объектов управления с минимально-фазовыми передаточными функциями, по-

где ay ( p) - произвольный устойчивый полином степени n − m . Например, полином ay ( p) можно выбрать следующим образом

13

а многочлены a0 ( p), a1( p), b0 ( p), b1( p) -

a0 ( p) = a0,n−1 pn−1 + a0,n−2 pn−2 +K+ a0,0 ,

a1( p) = a1,n−1 pn−1 + a1,n−2 pn−2 +K+ a1,0 ,

b0 ( p) = b0,n−1 pn−1 +b0,n−2 pn−2 +K+b0,0 ,

b1( p) = b1,n−1 pn−1 +b1,n−2 pn−2 +K+b1,0 ,

где 4(n −1) неизвестных коэффициентов этих полиномов находятся из тождеств

Структурная схема системы управления представлена на рис.2.2.

В заключении данного этапа строятся ЛАХ и ЛФХ передаточной функции Wy (s) .

2.3. Синтез следящей системы управления

С учетом того, что измерения проводятся с помехами, управляющее воздействие объектом (2.6) строится в форме:

(2.2), (2.4), (2.5), (2.13) приведена на рис.2.3.

14

ции замкнутой и разомкнутой системы, которые формируются на основе требований

ксистеме управления. Преобразуем требования, предъявленные в курсовой работе,

кзамкнутой системе в условия на передаточную функцию замкнутой системы.

15

Требование к устойчивости замкнутой системы (a) означает, что все корни харак-

замкнутой системы (2.2), (2.4), (2.5), (2.13) должны иметь строго отрицательную вещественную часть.

но это возможно, только при условии, что передаточная функция разомкнутой системы имеет нулевой полюс. Если он простой, то справедливо представление

где kp - коэффициент усиления разомкнутого контура. Тогда используя выражения

Таким образом, для выполнения требования (1.2) необходимо, чтобы коэффициент удовлетворял условию

Установившаяся ошибка, вызванная воздействием (1.3), является гармонической функцией с амплитудой

16

где ω- частота воздействия. Таким образом, для удовлетворения требования (1.4) необходимо, чтобы

Установившаяся ошибка вызванная воздействием (1.5), является гармонической функцией с амплитудой

Если передаточная функция объекта управления является минимально-фазовой и устойчивой, то для построения желаемой передаточной функции замкнутой системы, удовлетворяющей выше перечисленным условиям часто прибегают к методу основанному на соответствии между логарифмическими частотными характеристиками разомкнутой системы и ее статическими и динамическими свойствами в замкнутом состоянии.

Явные зависимости L(ω) , ϕ(ω) достаточно сложны. Поэтому часто ограничива-

ются построением асимптотических логарифмических частотных характеристик. Для примера рассмотрим произвольную минимально-фазовую передаточную функцию с вещественными нулями и полюсами

i

где k - положительный коэффициент усиления, Ti′, Ti′′ - положительные постоян-

ные времени,. ν - натуральное число (порядок астатизма). Тогда соответствующие ЛАХ и ЛФХ даются формулами

17

Асимптотическая ЛАХ есть кусочно-линейная функция, получаемая заменой в

(29) членов 20 lg[(Tω) 2 +1] на

0, ω ≤ T1 ,

20lgTω, ω ≥ 1 ,

T

где частота ω = T1 называется сопрягающей.

Асимптотическая ЛФХ есть кусочно-постоянная функция, получаемая заменой в

Нетрудно заметить, что для систем с передаточной функцией вида (2.29) по асимптотической ЛАХ можно восстановить асимптотическую ЛФХ и саму передаточную функцию. Данное свойство характерно для любой передаточной функции, не имеющей нулей и полюсов в правой полуплоскости.

Преобразуем требования к замкнутой системе в ограничения на свойства логарифмической амплитудной характеристики разомкнутой системы. Условие (2.21) на отработку линейно растущего задающего воздействия сводятся к ограничению на

Иначе говоря, низкочастотная асимптота Lp (ω) должна иметь наклон -20 дБ/дек,

причем в силу (2.24) ее уровень определяется условием

18

Условие (2.37) задает ограничение на поведение логарифмической амплитудной частотной характеристики в области низких частот, а условие (2.38) - в высокочастотной области.

Поведение ЛАХ в области средних частот определяет запасы устойчивости по фазе и амплитуде и в значительной мере качество системы в переходном режиме (время переходного процесса и перерегулирование). Для обеспечения приемлемых запасов устойчивости наклон ЛАХ на частоте ωc такой, что Lp (ωc ) = 0 обычно выбира-

ется равным -20 дБ/дек, причем длительность этого участка должна быть не менее декады, что соответствует изменению частоты в 10 раз. Частота ωc называется час-

тотой среза. Значение частоты среза надо выбирать наиболее большим из всех возможных для того, чтобы увеличить быстродействие замкнутой системы.

Итак, все требования, которые были сформулированы в задании курсовой роботы, сведены к ограничениям на допустимое поведение ЛАХ разомкнутой системы (см. рис. 2.4, где заштрихованы границы зон, в которые не может заходить ЛАХ). Оста-

ется подобрать передаточную функцию разомкнутого контура Wp (s) , для которой эти ограничения выполнены. Если Wp (s) минимально-фазовая передаточная функ-

ция, то вначале строят асимптотическую ЛАХ, удовлетворяющую всем ограничени-

ем, а затем по ней находят саму Wp (s) .

Приведем в готовом виде сводку допустимых передаточных функций разомкнутой системы:

19

Рис. 2.4. Ограничения на допустимое поведение ЛАХ

удовлетворяет всем ограничениям. При тех же условиях допустима, но требует меньшего усиления на частотах ω ≥ ωy и обеспечивает лучшее подавление помех передаточная функция вида

20