Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vedyakov_articles / Синтез распределенных реуляторов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Рис.3.40. График K(G).

Изменяя значение n1, мы можем перемещать график статического коэффициента усиления рассматриваемого звена вдоль оси G.

Рис. 2.41.Структурная схема звена.

Если в обратную связь включить пространственно-усилительное звено (см. Рис. 2.41), то аналогичный коэффициент усиления запишется в виде

				~
		K0 (G) =		K				.
		K0 (G) =	~				G	.
			1+ K	E1
			1+ K	E1			n
Полагая,	~				1
	~	=1, после несложных преобразований, получим
	E1 =1, K	=1, после несложных преобразований, получим
		lg K 0 (G ) = − lg ( 1 +					G		).
		lg K 0 (G ) = − lg ( 1 +							).
						n1

100

Графики статических коэффициентов усиления звена, представленного на рис. 2.41, приведены на рис. 2.42.

Рис. 2.42. Графики статических коэффициентов усиления.

Положим, что требуется синтезировать структуру и определить параметры распределенного устройства (фильтра), график статического

коэффициента усиления которого приведен на рис. 2.43 (ломаная – 1).

Рис. 2.43. Синтез пространственного фильтра.

Рассматриваемый фильтр (структурная схема которого приведена на Рис. 2.44) сформирован из одного звена (2) (рис. 2.43, прямая-3) и двух звеньев, включенных в обратную связь (см. рис.3.43, ломаная- 2,отражающая график статического коэффициента усиления одного звена).

Рис. 2.44. Структурная схема фильтра.

101

Значения параметров n1 и n2 для передаточных функций W1, W2 определяются с использованием графиков Рис. 2.40, 2.42, 2.43 ( K~ =1).

W1	= −	1		2		,	n1 = 10 −4 = 0.0001 ;

		n
		1
W2	= −		1		2 ,		n2 =10−3 = 0.001.

			n2

Рассмотренный пространственный фильтр выделяет из входного воздействия пространственные моды, значение обобщенной координаты которых 10-4<G<10-2, т.е. полоса фильтрации от 10-4 до 10-2. Чтобы уменьшить полосу фильтрации, необходимо увеличить наклоны характеристики-1 (см. Рис. 2.43). Это достигается увеличением числа звеньев, формирующих пространственный фильтр.

Рис. 2.45. Полоса фильтрации.

Рис. 2.46. Пространственный фильтр.

102

Если использовать аналогичные блоки (см. Рис. 2.45, 3.46), то значения соответствующих параметров n1 и n2 будут n1=10-3,5, n2=10-2,5.

Теоретически, наращивая количество звеньев, можно получить сколько угодно малую полосу пропускания. В практике существует ограничение на наращивание количества звеньев. Это связано с возрастанием влияния погрешностей промежуточных вычисления на функцию выхода.

2.2.8Пространственный сканер

Врассматриваемой выше задаче предполагалось, что значения n1 и n2

– фиксированы. Пусть n1 и n2 – переменные. Изменяя значение n1 и n2, мы можем перемещать график статического коэффициента усиления фильтра

~τ по обобщенной

f (x, )

координате. При этом могут быть определены значения Gi (i=1,2…) для
пространственных мод, формирующих сигнал	~	Значение полосы
	f (x,τ) .
фильтрации определяется из следующего соотношения		ф = lg n2 − lg n1 (в
рассмотренном на рис. 2.45 в случае ф = −2,5 + 3,5 =1).
Пример. Пусть требуется сформировать пространственный сканер с
наклоном характеристик ± 80 дб/дек и величиной	ф =0.5. Для обеспечения

требуемого наклона характеристик необходимо выбрать четыре звена W1 и восемь звеньев W2, включенных в обратную связь. Выбор соотношения параметров n1 и n2 будем осуществлять из следующего условия 0,5=lg n2 –

lg n1, или lg n2=lg n1+0.5, т.е. n2 =n1*100.5 .

Полагая n1= переменной и изменяя n1 от 0 до ∞ (lg n1 от − ∞до +∞ ), рассматриваемый сканер будет сканировать входной сигнал по пространству изменения обобщенной координаты G, выделяя значения

2	~ 2	) соответствующие пространственным модам содержащимся
(Gη = Ψj	+ Ψi
во входном		воздействии	~	функция выхода U (x, y,τ)
			f (x,τ) (при G=Gη ,

достигает локального экстремума). Рассмотренные выше устройства позволяют оценить спектр пространственных мод, формирующих распределенный сигнал. При этом используются данные о небольшой части распределенного сигнала. Анализируя указанный спектр, может быть получена дополнительная информация о состоянии объекта, генерирующего сигнал.

103

РАЗДЕЛ №3. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ВЕКТОРНЫМ ВХОДНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ.

3.1 Синтез регуляторов для систем с распределенными параметрами

На сегодняшний день известны следующие направления в решении проблемы синтеза регуляторов для распределенных систем.

1.Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов рассматриваемое в работах Сиразетдинова Т.К., Дегтярева Г.Л. и др.

2.Частотный метод синтеза.

3.Параметрический синтез регуляторов, при котором задается структура распределенного регулятора, а параметры его

подбираются в процессе экспериментальных исследований. Остановимся более подробно на 2-х первых направлениях.

3.1.1 Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) для процессов, описываемых линейной системой дифференциальных уравнений

Приведем основные результаты метода АКОР, изложенного в /32-

34/.

Рассмотрим объект, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений

∂ϕi

= L

(ϕ

,ϕ

,K,ϕ

) + b u ,

(i =

) ,

1, n

∂t

(3.1.)

где

∂

ϕ j

Lxi (ϕ1,ϕ2 ,K,ϕn ) = ∑ aijϕ j +

∑a p

∂x

j=1

p=1

Коэффициенты

= bi (x, t) ,

aij = aij (x, t)

непрерывные,

aij p = aij p (x, t) - непрерывно дифференцируемые по x D и непрерывно

дифференцируемые по t [0,T ] функции. Для простоты изложения управление u = u(x, t) принимается скалярной функцией. Граничные условия являются однородными.

104

Требуется найти такое управление u = u(x, t) процессом (3.1), чтобы функционал

J = ∫Wdt +W0 ,

где

W =

∫ ∫

∑

(x,ξ)ϕ

(x, t)ϕ

∫

ω(x)u 2dD ,

(ξ, t) dD

i, j=1

W0 = ∫ ∫

∑ωij (x,ξ)ϕi (x,T )ϕ j (ξ,T )dDx dDξ ,

i, j=1

принимал наименьшее значение. Где

x,ξ

- две различные точки области

D , в которой протекает

процесс;

Dx и

Dξ

обозначают область при

интегрировании

соответственно по

x,ξ .

wij

= wij (x,ξ), ω =ω(x),

ωij =ωij (x,ξ) - заданные весовые функции. Функционалы W и W0

предполагаются неотрицательными в области их определения. Весовые функции wij (x,ξ) и ωij (x,ξ) будем считать симметричными, т.е. при

замене местами индексов i и j, переменных x и ξ значения весовых функций не меняются:

wij (x,ξ) = w ji (ξ, x) , ωij (x,ξ) =ω ji (ξ, x) .

Функционал V будем искать в виде интегральной квадратичной формы

		n
V = ∫ ∫		∑vi, j (x,ξ, t)ϕi (x, t)ϕ j (ξ, t)dDx dDξ .
D	D	i, j=1
	x ξ
Если wij (x,ξ) ,	ωij (x,ξ) симметричны, то функции vij (x,ξ, t)

удается построить симметричными.

Производная V, вычисляется согласно системе (3.1.), имеет вид

105

dV					n	∂vij	+ L*ij (v11
	=	∫ ∫			∑ {[			,K, vnn )]ϕi (x, t)ϕ j (ξ, t) +
dt	=	∫ ∫			∑ {[	∂t		,K, vnn )]ϕi (x, t)ϕ j (ξ, t) +
dt		D	x	D	i, j=1	∂t
			x	ξ

+ vij [ϕi (x, t)b j (ξ, t)u(ξ, t) +ϕi (ξ, t)bi (x, t)u(x, t)]}dDx dDξ +

∫ ∫

∑Q'j'ϕ j (ξ, t)dS x dDξ +

∫ ∫ ∑Qi'ϕi (x, t)dSξ dDx ,

j=1

i=1

где

L*ij (v11,K,vnn) ≡ L*xi (v1 j ,K,vnj ) + L*ξj (vi1,K,vin ),

3 ∂v

a p (x, t)

∂2a pq (x, t)v

L*xi (v1 j ,K, vnj )

≡ ∑

vkj aki (x, t) −

∑

+ ∑

k=1

p=1

∂x p

p,q=1

∂x p∂xq

3 ∂v ap(ξ,t)

∂2apq(ξ,t)ν

L*ξj(vi1,K,vin) ≡ ∑ vikakj(ξ,t) − ∑

ik kj

∑

p=1

∂ξp

p,q=1 ∂ξP∂ξq

k=1

(ξ, t)vik

3 n

∂akj

≡ ∑ϕ j (ξ, t) ∑ ∑ akj

(ξ, t)vik

− ∑

cos(n,ξ p ) +

∂ξq

j=1

p=1k=1

q=1

∂ϕ j

∑ ∑akjpq (ξ, t)

vik cos(n,ξq ),

∂ξ p

k, j=1q=1

∂a pq (x, t)v

Q'j'

≡ ∑ϕi (x, t)

∑ ∑

a p

(x, t)vkj

− ∑

cos(n, x p ) +

i=1

q=1

∂xq

p=1k=1

∂ϕi

∑ ∑akipq (x, t)

vkj cos(n, xq ).

∂x p

k, j=1q=1

Здесь Sx, Sξ

обозначают

поверхность

при

интегрировании

соответственно

по переменным

x и ξ .

функции

и Q''

входят

граничные

условия

функции

ϕi

vij .

Граничные

условия

ϕi предполагаются однородными, например вида

106

								3	∂ϕi
				Aiϕi (x, t) +				∑cipq	∂ϕi	cos(n, xq ) = 0.
				Aiϕi (x, t) +				∑cipq		cos(n, xq ) = 0.
								p,q=1	∂x p
	Составим выражение
	dV			n	∂v
K =	dV	+W = ∫ ∫		∑ {		ij	+ L*ij (v11,K,vnn) + wij (x,ξ)}ϕi (x,t)ϕ j (ξ,t)dDxdDξ +
K =	dt	+W = ∫ ∫		∑ {		∂t	+ L*ij (v11,K,vnn) + wij (x,ξ)}ϕi (x,t)ϕ j (ξ,t)dDxdDξ +
	dt	D	D	i, j=1		∂t
		x	ξ
		+ wij (x,ξ)}ϕi (x, t)ϕ j (ξ, t)dDx dDξ + ∫{ω(x)u 2 + R(x, t)u}dD
где										D
где								n
								n
				R(x, t) = ∫ ∑Rr (x,ξ, t)ϕr (ξ, t)dDξ ,
							D	r=1
							ξ

Rr (x,ξ, t) = ∑bk (x, t)[νkr (x,ξ, t) +νrk (ξ, x, t)],

k=1

Оптимальное управление определяется из условия min K=0. Наименьшее значение K достигается при управлении.

uo = −

∫ ∑Rr (x,ξ, t)ϕr (ξ, t)dDξ ,

2ω(x)

D r=1

ω(x) > 0.

Приравниваем функционал K нулю при управлении u0.

∂v

K = ∫ ∫

∑ {

+ L*ij (v11,K, vnn) + wij (x,ξ)

−

i, j=1

∂t

−

D∫

Ri (ζ , x, t)R j (ζ ,ξ, t)dDζ } ϕi (x, t) ϕ j (ξ, t))dDx dDξ = 0

ω(ζ )

t (0,T ), x Dx , ξ Dξ

(i, j =1,2,K, n) .

(3.2.)

(3.3.)

Выражение (3.3) представляет собой систему интегродифференциальных уравнений для определения vij . Эти функции при

вычислении оптимального управления следует подставить в (3.2). Систему (3.3) назовем системой основных уравнений АКОР.

Решение системы (3.3) осложняется тем, что она представляет собой систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Если удается построить систему собственных вектор-

107

функций линейного оператора (L*ij ) , то система (3.3) сводится к

бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае, когда функцииvij в явном виде не зависят от времени – к системе

бесконечных квадратичных алгебраических уравнений.

3.1.2 Статическая точность системы

Относительно статической точности системы управления докажем следующее: если график статической кривой ( f (G) в плоскости Γ3 )

задается уравнением f (G) = 20lg K , где K – заданное число, то

статическая точность замкнутой системы равна (1+ K)−1.

Доказательство. Пусть на вход замкнутой системы действует воздействие

		∞	4
	α(x, y) = ∑ ∑Cη,γ ,ξ Bη,γ ,ξ (x, y) .
		η,γ =1ξ =1
На выходе системы в стационарном режиме получим
	∞	4 ~
	T (x, y) = ∑ ∑Kη,γ ,ξ Cη,γ ,ξ Bη,γ ,ξ (x, y) ,
~	η,γ =1ξ =1
~	- статический коэффициент передачи замкнутой системы по η,
где Kη,γ ,ξ	- статический коэффициент передачи замкнутой системы по η,

γ, ξ составляющей входного воздействия. В соответствии с / 98 / этот коэффициент может быть представлен в виде:

Kη,γ ,ξ

, (η,γ =1,

∞; ξ =1,4),

+ K

η,γ ,ξ

- статический коэффициент передачи разомкнутой системы.

где Kη,γ ,ξ

Относительная статическая

ошибка замкнутой системы

определяется

соотношением

α(x, y) −T (x, y) .

α(x, y)

(3.4)

Преобразуя (3.4), получим:

108

	∞	4	Kη,γ ,ξ
	∑ ∑				Cη,γ ,ξ Bη,γ ,ξ (x, y)
			1+ K	η,γ ,ξ
=	η,γ =1ξ =1					.

				α(x, y)
		(3.5)

Полагаем

Kη,γ ,ξ = K, (η,γ =1,∞;ξ =1,4), (3.6)

тогда уравнение (3.5) преобразуется к виду:

=1−	K			α(x, y)
=1−	K +1			α(x, y)
(3.7)	K +1			α(x, y)
(3.7)
или				1
	=			1	.
(3.8)	=	1	+ K		.
		1	+ K

Если статическая кривая задается уравнением f (G) = 20lg(K ),

то условие (3.6) выполняется, а, следовательно, статическая точность системы равна (1+ K)−1, что и требовалось доказать.

Если Kη,γ ,ξ → ∞, то, согласно (3.5), (3.8), Δ→0.

Рассмотрим статический коэффициент усиления разомкнутой системы, состоящей из объекта и распределенного высокоточного регулятора (РВР).

Передаточная функция РВР, записанная с использованием обобщенной координаты (G), имеет вид:

W (G, s) = E	n1 −1	+	1	G	+ E		n4 −1		+	1
	n		n			4				n
1							n	4			4
	1		1

	n2 −1			1
+ E2			+		G	s.
		n2		n2

G 1 +

s (3.9)

В разделе 2 получены передаточные функции для ряда тепловых объектов, представимые в виде:

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Vedyakov_articles

#
21.03.20164.77 Mб65Анализ САУ.pdf
#
21.03.20161.12 Mб27Операторный метод анализа и синтеза ЛСУ.pdf
#
21.03.20162.7 Mб46Прибостроение.Статья.pdf
#
21.03.20163.83 Mб34Синтез распределенных реуляторов.pdf
#
21.03.20162.88 Mб141Систез САУ методом модального управления.pdf
#
21.03.20161.21 Mб104Цифровые системы управления.pdf