Vedyakov_articles / Цифровые системы управления

На рисунке 2.5 изображены различные окружности, ограничивающие области корней при обеспечении различных видов устойчивости

Рисунок 2.5 - Отображение круга в круг: а) смещенный круг – к.э.у, б) центральный круг – э.у.

Если β =0 (круг центральный), то модифицированное уравнение принимает вид:

___

F T PF − r2 P = −Q .

___ ___

Если β =0; r =1; F T P F − P = −Q .

Последовательность исследования на устойчивость

Выбираются параметры β , r , назначается матрица Q , по крайней

мере, Q ≥ 0 (Q =1) и решается модифицированное уравнение Ляпунова относительно матрицы P , с последующей проверкой ее на положительно - определенность.

Если P положительно - определенная, то корни характеристического

говорят, что система обладает запасом устойчивости η =1− r .

Запас устойчивости характеризует отклонение доминирующих корней (наибольших по модулю) от границы устойчивости.

60

Степень устойчивости косвенно характеризует быстродействие системы: чем больше значение степени устойчивости, тем более быстрые процессы характеризуют систему.

2.7 Виды стохастической устойчивости дискретных систем.

КАЧЕСТВЕННАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Прямой метод Ляпунова, являющийся одним из наиболее общих методов исследования систем управления, базируется на понятиях асимптотической либо экспоненциальной устойчивости и использовании выбранной определенным образом функции Ляпунова (ФЛ). Этот метод при корректном выборе функции Ляпунова позволяет построить конструктивные процедуры анализа [1,2] и синтеза [3] систем управления. Введенное в работе [3] определение качественной экспоненциальной устойчивости (КЭУ) и разработанный аналитический аппарат обусловили возможность установления взаимосвязи между параметрами КЭУ и значениями „инженерных" показателей качества синтезируемых и исследуемых систем.

Понятие стохастической экспоненциальной устойчивости систем также широко используется, в частности, в работе [4]. В данной статье рассматривается стохастический аналог качественной экспоненциальной устойчивости.

1Качественная экспоненциальная устойчивость детерминированных систем. Рассмотрим понятие качественной экспоненциальной устойчивости для дискретных систем, описываемых разностным уравнением:

где х — n-мерный вектор состояния системы; q - k-мерный вектор изменяющихся параметров; F(.)- n-мерная функция векторных аргументов; т = 0,1, 2, ...- номер интервала дискретности. Приведенная модель охватывает классы линейных, нелинейных, стационарных и нестационарных систем.

Понятие КЭУ вводится следующим образом.

Определение 1. Положение равновесия x = 0 дискретной системы (2.2) будет качественно экспоненциально устойчивым, если существуют такие положительные числа β > 0, r > 0, β + r < 1, и р ≥ 1, что на всех траекториях движения системы (2), исходящих из произвольных

61

начальных условий х(0) Rn для любого номера т интервала выполняется неравенство

x(m) −βm x(0) v ≤ ρ((r + β)m −βm ) x(0) v , (2.3)

vi=1

v= 1, 2, 3, ... — целое положительное число, определяющее задание нормы; при v = 2 имеем евклидову норму. При β= 0 и r < 0 данное определение совпадает с определением экспоненциальной устойчивости дискретных систем.

Смысловая нагрузка параметров β и r КЭУ заключается в следующем: параметр β определяет темп сходимости траектории движения

системы по всем координатам, параметр r определяет отклонение траекторий движения системы от усредненной траектории (βmx(0)). Из неравенства непосредственно следуют способы построения мажорирующих процессы „трубок" и оценки времени переходных процессов и перерегулирования.

Качественная экспоненциальная устойчивость стохастических систем. Рассмотрим дискретную систему видаi

x(m +1) = F (q(m, x(m)), x(m),ξ(m)),

где x(m)— n-мерный вектор состояния системы; ξ(m) — q-мерный вектор случайного внешнего возмущающего воздействия; q(m, x(m)) — k-мерный вектор случайно изменяющихся параметров, возможно зависящий и от состояния системы; F(·) —детерминированная нелинейная n-мерная функция от векторных аргументов. Будем считать, что для случайных

последовательностей q(m) и ξ(m) для т определены (т. е. существуют) значения математического ожидания и матриц ковариаций.

Определение 2. Дискретная система будет качественно экспоненциально v-устойчива относительно положения равновесия x = 0, если существуют такие положительные числа β > 0, r > 0, β + r < 1, и ρ ≥ 1, что на всех траекториях системы для любого номера т интервала дискретности справедливо неравенство

M x(m) −βm x(0)v ≤ ρ((r + β)m −βm )M x(0) v ,

где M[g] означает операцию взятия математического ожидания.

62

Локальное достаточное условие стохастической качественной экспоненциальной v-устойчивости. В соответствии с прямым методом Ляпунова для исследования системы (2.2) вводится функция Ляпунова V(x) в виде положительно-определенной функции степени v, обладающей свойством

c1 xv ≤V1/v (x) ≤ c2 x v ,

где с1 и с2 — постоянные и положительные коэффициенты.

Достаточные условия качественной экспоненциальной v- устойчивости получаются из рассмотрения условного математического ожидания ФЛ от разности последующего значения вектора состояния x(m+1) и прогнозируемого среднего значения βx(m) на всех траекториях движения системы.

Локальное достаточное условие качественной экспоненциальной v-устойчивости имеет вид

M V (x(m +1) − βx(m)) x(m) ≤ rv M [V (x(m))],

где β и r — параметры КЭУ, β + r < 1.

Частный случай условия при β = 0 и r < 1 является известным достаточным условием экспоненциальной v-устойчивости.

Параметр β в среднем характеризует изменения математического ожидания, а параметр r — дисперсионные отклонения. Применение понятия качественной экспоненциальной устойчивости. При исследовании детерминированных систем прямым методом Ляпунова вводятся несколько критериев устойчивости и используются различные функции Ляпунова. Значительно большее разнообразие определений устойчивости вводится при рассмотрении стохастических систем. Применение понятия качественной экспоненциальной устойчивости позволяет с единых позиций исследовать процессы как в детерминированных, так и в стохастических системах.

На практике наиболее просто исследовать КЭУ стохастических систем, применяя квадратичные функции Ляпунова вида ( для v = 2 )

V (x) = xT Px , где Р - положительно-определенная симметрическая n х n- матрица. Использование норм (2.4) при v = 2 согласуется со свойствами случайных процессов второго порядка и принято в инженерных приложениях, основанных на корреляционной теории. При этом постоянные с1, с2 неравенства - квадратные корни из минимального и максимального собственных значений матрицы Р.

63

Обобщенные нормы с v > 2 целесообразно использовать при исследовании КЭУ Более сложных стохастических систем, содержащих в описании моментные функции выше второго порядка.

Пример. В качестве примера на рисунке 2.6 приведена структурная схема лазерной угломерной системы,

Рисунок 2.6 - Структурная схема лазерной угломерной системы.

где y1, y2 — регулируемые величины; g1,g2—входные задающие

воздействия; e1, e2 — сигналы рассогласования; ε1,ε2 — выходные сигналы общего тракта; u1, u2 — управляющие воздействия; ИМ1, ИМ2 — исполнительные механизмы углов места и азимута. Особенностью данной системы является то, что наличие фазовых искажений в общем тракте преобразования сигнала приводит к возникновению перекрестных связей между исполнительными механизмами. Если считать фазовые искажения случайными, то в линейном приближении получается следующая математическая модель дискретной системы:

x(m +1) = Ax(m) + Bu(m) + Bg (ξ)g(m); y(m) = Cx(m),

где А — матрица описания исходной системы, В и Вg — матрицы входов по управляющим и задающим воздействиям соответственно, С — матрица выходов, ξ — случайное возмущение в перекрестных связях каналов.

Пусть матрицы описания лазерной угломерной системы имеют следующий вид

64

где kо.св1, kо.св2 — коэффициенты обратной связи по выходу ИМ1 и ИМ2

соответственно; ξ [m] — некоррелированная случайная последовательность с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Для квадратичной функции Ляпунова, а также корневых параметров β = 0,7 и r = 0,1 была получена следующая матрица линейных стационарных обратных связей:

Рисунок 2.7 - Реализации переходных процессов.

На рисунке 2.7 представлены графики типовых реализаций переходных процессов в обоих исполнительных механизмах при ступенчатом единичном воздействии. Из графиков видно, что типовые реализации соответствуют выбранным корневым показателям качества.

2.8Матричные неравенства и уравнения для линейных позитивных систем.

Получим матричные неравенства и уравнения типа Ляпунова при

использовании для анализа модульных функций Ляпунова применительно к линейным позитивным нестационарным и, как частный случай, стационарным дискретным системам, у которых все элементы описания и значения приминают неотрицательные значения. К классу позитивных систем относятся, например, системы сравнения, используемые для анализа свойств многосвязных систем на основе метода векторных функций Ляпунова. Пусть движение линейной дискретной системы задано разностным уравнением

65

υ(m +1) = λ(m)υ(m) ,

где υ - k – мерный вектор состояния системы, все переменные которого

неотрицательность значений переменных вектора состояния υi ≥ 0 знак модуля в выражении для модульной функции Ляпунова можно опустить и переписать ее в более компактной матричной форме

где ] - матрица строка, размером 1×k с положительными элементами. В дальнейшем, хотя и будем пользоваться более простой

справедливо соотношение

V (Aυ) = P0 Aυ

только в том случае, если элементы матрицы А – неотрицательны. Приведем вывод матричного неравенства и уравнения типа Ляпунова, соответствующие локальному достаточному условию экспоненциальной устойчивости позитивной системы. Запишем неравенство для значений предшествующего и последующего значений модульных функций Ляпунова на траекториях движения позитивной системы

V (λ(m)υ(m)) ≤ λV (υ(m)). (0 < λ <1)

Элементы матрицы λ(m) неотрицательны, следовательно данное неравенство можно переписать в виде

P0λ(m)υ(m) ≤ λP0υ(m) ,

которое должно выполняться при любых m и любых неотрицательных

значениях вектора υ(m) . Поэтому неравенство эквивалентно матричному неравенству

66

умноженного на значение параметра λ .

Непосредственно проверяется, что если выполняется матричное уравнение

P0λ(m) −λP0 = −Q0 (m) ,

где матрица Q0 (m) - матрица строка размером 1×k с неотрицательными элементами, то из него следует предшествующее матричное неравенство. Данное матричное уравнение является модифицированным уравнением типа Ляпунова для анализа экспоненциальной устойчивости позитивных систем с неотрицательными значениями переменных состояния и элементов матрицы описания движения системы. По аналогии с пучком

квадратичных форм назовем пару P0λ(m)υ , μP0υ - пучком линейных форм

Тогда значения μ+ (m) и μ− (m) могут быть определены следующим образом

μ(m) = min P0λi (m)

−i P0i .

Положив значение λ(m) = μ+ (m) , вычисленному по приведенному выражению, из предшествующего неравенства следует выполнение неравенства, являющегося условием экспоненциальной устойчивости.

Таким образом, полученное выражение позволяет вычислить параметр λ ,

67

минимаксных свойств пучка линейных форм с положительными элементами

C10 ≤ P0υ ≤ C20

I0υ

причем I0 =[1,1,...1] - есть матрица строка размером 1×k с единичными

элементами. Следовательно, значения C10 и C20 определяются выражениями

C10 = mini {p0i }, C20 = maxi {p0i },

где p0i - элементы матрицы P0 . Дадим геометрическую интерпретацию локальных достаточных условий экспоненциальной устойчивости позитивной системы при использовании модульных функций Ляпунова.

Часть пространства Rk , содержащее все вектора с неотрицательными

значениями элементов будем обозначать R+k (R+k Rk ) . На Рисунке 2.8а для случая k = 2 дана интерпретация модульной функции Ляпунова

Рисунок 2.8 - Модульные функции Ляпунова : а) ограничения на модульную функцию;

б) интерпретация экспоненциальной устойчивости.

Поверхность постоянного уровня (прямая линия), определяемая уравнением

P0υ = P0υ(m)

отсекает в R+2 область с заштрихованными границами. Поверхность постоянного уровня

I0υ = Ci0V (υ(m)), (i =1,2)

68

иллюстрирует минимаксные ограничения для модульной функции

Ляпунова, определяемой матрицей P0 . На Рисунок. 1.8б показано, что для экспоненциально устойчивой системы в случае выполнения локальных

достаточных условий при 0 < λ <1 при любом значении υ(m) R+2 последующее значение вектора υ(m) будет принадлежать заштрихованной области, т.е. области, отсекаемой от R+2 поверхностью

P0υ = λV (υ(m)) .

Другими словами, если поверхность

P0υ =V (υ(m))

проходит через конец вектора υ(m) , то значение постоянного уровня поверхности, ограничивающей область расположения последующих

значений вектора состояний системы, уменьшается в λ раз (λ <1) . Область расположения вектора состояния через i интервалов дискретности изображена на этом рисуне с двойной штриховкой. С увеличением числа

интервалов m при λ <1 эти области стягиваются к началу координат, а, следовательно, и значения вектора состояния стремятся к нулю. Перепишем модифицированное уравнение Ляпунова для стационарного случая позитивной системы

стационарных позитивных дискретных систем. Это уравнение позволяет производить анализ устойчивости линейных стационарных дискретных

для того, чтобы позитивная система была бы устойчивой необходимо, чтобы для любой и достаточно, чтобы для какой-либо матрицы Q0 с положительными элементами, решение уравнения типа Ляпунова ( λ =1) матрица P0 содержала бы только положительные элементы.

69