3. Метод касательных (Ньютона)
" В отличие от метода хорд, в методе касательных вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y=F(x) при x=xn и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс:
Формула для (n+1) приближения имеет вид:
Если F(a)*F"(a)>0, x0=a, в противном случае x0=b.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что:
.
Пример:
Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом касательных с точностью до 0,00001.
Для решения такой задачи, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Изначально необходимо определиться с тем, чему равно x0: либо a, либо b. Для этого необходимо выполнить следующие действия:
Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.
Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).
Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):
В итоге получается следующее:
Так как x0=b, то необходимо выполнить следующие действия:
Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):
В ячейку A6 ввести формулу =D5.
Выделить диапазон ячеек B5:E5 и методом протягивания заполнить диапазон ячеек B6:E6.
Выделить диапазон ячеек A6:E5 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек A6:E9).
В итоге получаем следующее:
Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.
4. Комбинированный метод хорд и касательных
Для того чтобы достичь наиболее точной погрешности, нужно одновременно использовать методы хорд и касательных. "По формуле хорд находят xn+1 , а по формуле касательных - zn+1 . Процесс нахождения приближенного корня прекращается, как только:
В качестве приближенного корня берут значение, равное (11):"[2]
Пример:
Пусть требуется уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 комбинированным методом с точностью до 0,00001.
Для решения такой задачи, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Так как в комбинированном методе необходимо использовать одну из формул хорд и формулу касательных, то для упрощения следует ввести следующие обозначения:
Для формул хорд обозначить:
- xn как mn.
- Переменная c будет играть роль a или b в зависимости от ситуации.
- Остальные обозначения аналогичны приведенным в формулах хорд, только учитывая выше введенные переменные.
Для формулы касательных обозначить:
- xn как nn.
- Остальные обозначения аналогичны приведенным в формуле касательных, только учитывая выше введенные переменные.
Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.
Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).
Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):
В итоге получается следующее:
В ячейку G1 ввести e, а в G2 ввести число 0,00001.
В ячейку H1 ввести c, а в H2 ввести число 6, так как c=b (см. ячейку F2).
В ячейку I1 ввести f(c), а в I2 ввести формулу =COS(2*H2)+H2-5.
Заполнить ячейки последовательно следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):
В ячейку A6 ввести формулу =E5.
В ячейку F6 ввести формулу =I5.
Выделить диапазон ячеек B5:E5 и маркером автозаполнения заполнить диапазон ячеек B6:E6.
Выделить диапазон ячеек G5:K5 и маркером автозаполнения заполнить диапазон ячеек G6:K6.
Выделить диапазон ячеек A6:K6 и методом протягивания заполнить все нижестоящие ячейки до получения ответа в одной из ячеек столбца K (диапазон ячеек A6:K9).
В итоге получаем следующее:
Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.