Контрольные вопросы

1. Назовите основные виды геометрических моделей.

2. Что имеется общего у растровых и точечных моделей и чем они от­личаются?

3. Какое свойство алгебраических уравнений используется для опи­сания геометрических поверхностей?

4. Как с помощью сплайнов можно описать геометрическую повер­хность сложной формы?

5. Что такое негеометрические свойства графического объекта в ал­гебраических моделях?

6. Какая модель называется кинематической и какой принцип опи­сания заложен в этой модели?

16.4. Преобразование графических примитивов и геометрических моделей

При геометрическом конструировании сложных объектов не­обходимо осуществлять различные преобразования графических примитивов: перенос и поворот их в пространстве, масштабиро­вание, визуализацию и изменение формы.

Перенос точки в пространстве осуществляется посредством передвижения ее параллельно осям прямоугольной системы ко­ординат.

Для перемещения точки в пространстве достаточно задать приращения координат х, у, z-

Формулы переноса имеют следующий вид:

xd = x + х; yd = у +y,zd = z +z,

где x,y,z — координаты прежнего положения точки; х,y,z — приращения координат; xd, yd, zd — координаты нового положе­ния точки.

Эти формулы используются для переноса растровых, точечных и каркасных моделей, так как во всех этих моделях осуществля­ется перемещение точек.

Для переноса аналитических моделей преобразовывают коэф­фициенты при переменных аналитических выражений. Подстав­ляя новые значения переменных (вычисляемые по формулам пе­реноса) в аналитические выражения, получим новые значения коэффициентов их переменных. Например, при перемещении плоскости вида 5х + 7у - 20z + 40 = 0 в новую точку простран­ства, отстоящую на расстояние х = -10,у = 20 иz = 5, получим следующее новое уравнение: 5(х- 10) + 7(у + 20) -20(z + 5) = 0, или 5х + 7у- 20z + 30 = 0.

Перемещение в пространстве не из­меняет ориентации поверхности, ее мас­штабы и форму.

Поворот точки в пространстве осуществляется вокруг осей в плоско­стях, перпендикулярных оси вращения, по окружности с радиусом, равным рас­стоянию от точки до оси вращения.

Поворот линии или поверхности в пространстве означает вращение всех точек, принадлежащих данному графи­ческому объекту, вокруг выбранной оси. Каждая точка графиче­ского объекта вращается по окружности со своим радиусом. Угол поворота задается в градусах или радианах. Вращением вокруг осей прямоугольной системы координат можно достичь любой ориентации графического объекта в пространстве, для чего до­статочно выполнить поворот вокруг двух любых ее осей.

Направления вращения графических объектов вокруг осей прямоугольной системы координат показаны на рис. 16.10. При указанном положении осей положительное направление враще­ния осуществляется против часовой стрелки.

Вывод формул для вычисления координат аналитических мо­делей графических объектов (как и в случае переноса точки) осу­ществляется посредством подстановки формул вращения точки в уравнения поверхности и вычисления новых значений коэффи­циентов этих уравнений через прежние коэффициенты и значе­ния углов поворота.

В отличие от переноса, когда можно задавать одновременно перемещение точки по всем трем осям, повороты точки осуще­ствляются последовательно вокруг каждой выбранной оси.

Поворот вокруг оси Xточки с координатами х, у, z определя­ется формулами:

Xr=X;

yr = y cos а - zsina;

zr = у sin а + z cos а,

где а — угол поворота точки вокруг оси X; хr уr zr — координа­ты повернутой точки.

Поворот плоскости вида а3x + а2у + a1z + а0 = 0 вокруг оси X на угол а приведет к следующему изменению значений коэффи­циентов уравнения плоскости:

a3r =a

a2r = a2cos a + a1sin a;

alr = -a2sin a + a1cosa; a0r = a0.

Поворот вокруг оси Y точки с координатами (х, у, z) опреде­ляется формулами:

xr = xcosB + zsin B;

Уr = У;

zr = -xsin B + zcos B,

где B — угол поворота точки вокруг оси Y; xr, уr zr — координа­ты повернутой точки.

Поворот плоскости вида а3х + а2y + a1z + a0 = 0 вокруг оси Y на угол B приведет к следующему изменению значений коэффи­циентов уравнения плоскости:

a3r = a3cos B + a1sin B;

а2r = а2;

a1r = -a3sin B + a1cos B;

а0r = а0.

Поворот вокруг оси Z точки с координатами (х, у, z) опреде­ляется формулами:

хr = х cos у + у sin у; уr = х sin у + у cos у;

Zr =Z,

где у — угол поворота вокруг оси z; xr уr zr — координаты по­вернутой точки.

Поворот плоскости вида а3х + а2у + a 1z + а0 = 0 вокруг оси Z на угол у приведет к следующему изменению значений коэффи­циентов уравнения плоскости:

а3r = а3cos у + а2sin у;

a2r = -a3sin у + 2cosy ; аir = а1;

а0r = а0.

Подставляя формулы поворота точки в алгебраические урав­нения поверхностей, можно получить формулы преобразования коэффициентов алгебраических уравнений любых порядков.

Выведенные формулы будут справедливы для описания враще­ния поверхностей вокруг осей прямоугольной системы координат (при этом центр вращения находится в начале системы коорди­нат). В случае если требуется вращать объект вокруг оси, произ­вольно расположенной в пространстве, необходимо ось его вра­щения совместить с осью системы координат посредством пере­носа и поворота, а после выполнения вращения вернуть ее в прежнее положение. Практически это делается следующим обра­зом. В объекте выбирается точка, лежащая на оси вращения, ко­торая переносится в начало системы координат. Затем на оси вра­щения выбирается вторая точка, которая вращением совмещает­ся с выбранной осью системы координат. После выполнения за­данного поворота объекта ось его вращения возвращают в перво­начальное положение, последовательно поворачивая и перенося ось объекта.

Данный способ поворота в пространстве не изменяет место­положение поверхности, ее масштаб и форму.

Масштабирование — это увеличение или уменьшение разме­ров объекта в определенное число раз по отношению к оригина­лу. Масштаб записывается в виде отношения двух чисел, в кото­ром оригинал всегда представлен единицей, а масштабированный объект — любым числом больше единицы (М), в том числе и дробным. Масштаб увеличения записывается в виде М : 1, а мас­штаб уменьшения — в виде 1 : М.

Масштабирование всегда осуществляется относительно какой- либо точки — центра масштабирования. В прямоугольной систе­ме координат это означает увеличение или уменьшение коорди­нат точек в определенное число раз по отношению к началу дан­ной системы координат.

Равномерным является масштабирование, одинаковое по всем трем осям системы координат. Равномерное масштабирование не изменяет форму симметричного объекта, если центр масштаби­рования совпадает с центром симметрии, а изменяет только раз­мер объекта.

При неравномерном масштабировании, т. е. при разном мас­штабе по осям системы координат, изменяется форма объекта, однако в этом случае не изменяется тип объекта, а образуется его подтип.

Например, при масштабировании сферы с центром, располо­женным в начале системы координат, только по одной оси си­стемы координат получается двухосный эллипсоид, а по двум с разными масштабами — трехосный. Эти поверхности одного типа — сферические, однако они разных подтипов.

Общепринятое масштабирование относится к линейным пре­образованиям, однако если число масштаба заменить функцией, то масштабирование будет нелинейным, что приведет к измене­нию типа поверхности.

Формулы масштаба увеличения для точки имеют вид

хт = хтх; ут = уту; zm = zmz,

а формулы масштаба уменьшения можно записать в виде

kx; ky;kz;

хк = хкx; ук = уку\ zk = zkz,

где хт, ут, zm — новые координаты масштабированной точки; х, у, z — первоначальные координаты точки; тх, ту, mz — соответ­ственно значения масштаба увеличения по осям; кх, ку, kz — со­ответственно значения масштаба уменьшения по осям.

Масштабирование точки при увеличении масштаба приводит к удалению ее от начала системы координат, а при уменьшении — к приближению к началу системы координат.

Подстановкой получают формулы масштабирования для коэф­фициентов уравнения поверхности, учитывая, что в уравнении общего вида коэффициенты обратно пропорциональны коэффи­циентам приведенного уравнения. Это означает, что при масш­табировании поверхности, описанной алгебраическим уравнени­ем общего вида, числа масштабов при вычислении значений ко­эффициентов этого уравнения меняются местами по сравнению с вычислением координат точки. Уменьшение значений коэффи­циентов алгебраического уравнения общего вида обусловливает увеличение размеров объекта, а их увеличение — уменьшение его размеров.

Масштабирование плоскости с любой ориентацией, располо­женной в начале системы координат, не имеет смысла, так как нормаль плоскости равна нулю.

Если нормаль имеет какое-либо числовое значение, то увеличение масштаба плоскости в соответ­ствии с уравнениями:

а3т =a3kx ; a2т = а2kу;

а1т = a1kz ;а0т = а0

удаляет ее от начала системы координат, а уменьшение масшта­ба плоскости в соответствии с уравнениями:

а3к = а3тх; а2к = а2ту,;

а1к = a1mv ;а0к = а0

приближает ее к началу системы координат. При этом не изме­няется ориентация плоскости в пространстве, так как при масштабировании сохраняются соотношения коэффициентов а3, а2, а{ ее уравнения, а изменяется только значение коэффициента а0, ко­торый определяет значение нормали плоскости.