Контрольные вопросы

1. Что изучает начертательная геометрия?

2. Дайте определения геометрических элементов предмета

3. Почему метод проецирован и ч называется центральным?

4. Чем отличается параллельный метод проецирования от центрального?

5. Что такое чертеж?

6. В чем состоит основной принцип метода Монжа?

7. Назовите положения точек в пространстве относительно плоскостей проекций и поясните, как они определяются на эпюре Монжа.

8. Какие точки называются конкурирующими и как определить ви­димость точек?

Глава 2. Проецирование прямыз линий

Прямая линия подчиняется прямолинейному закону распространения и теоретически имеет бесконечную длину. На практике она всегда ограничивается двумя точками, называется отрезком и имеет длину, определяемую по координатам ограничивающих ее точек.

Дли построения проекций отрезка прямой линии достаточно построить проекции его конечных, точек и соединить их.

Прямая линия может занимать в пространстве общее положение относительно плоскости проекций, т.е. положение, при котором она непараллельна ни одной из трех плоскостей проекций и имеет произвольные углы наклона к плоскостям проекций. Также прямая линия может занимать в пространстве частные положения, т.е. положении, при которых она расположена параллельно только одной из плоскостей проекций или параллельна сразу двум любым плоскостям проекций (при этом она перпен­дикулярна третьей плоскости проекций и проецируется на нее в точку).

Каждое положение прямой отображается определенным положением ее проекций относительно осей проекций. Следовательно, по положению проекций относительно осей можно установить положение прямой в пространстве.

Проецирование прямой общего положения. По расположению проекций прямой общего положения можно определить направление этой прямой в пространстве.

По отношению к направлению проецирования (к наблюдателю) прямая может быть (рис. 2.1) восходящей (прямая А В поднимается вверх по мере удаления от точки А_, ближайшей к наблюдателю, при движении к другой ее точке и) и нисходящей (прямая СD опускается вниз по мере удаления от точки В. ближайшей к наблюдателю, при движении к другой ее точке С). При этом учитывают только одно направление проецирования: перпендикулярное плоскости π2.

Иногда применяют простое для зрительного восприятия в пространстве положения прямых общего положения правило: если фронтальная и горизонтальная проекции направлены одноименно по отношению к оси проекции, прямая восходящая, а если разноименно — нисходящая.

Положение прямой в пространстве определяется также углами ее наклона к плоскостям проекций.

Угол между прямой и плоскостью проекций определяется между прямой натурального размера и ее проекцией на данную плоскость проекций (рис. 2.2).

Рассмотрев углы между прямой и плоскостями проекций, можно отметить следующее:

• если угол равен 0, прямая параллельна плоскости проекций и ее проекция равна натуральному размеру этой прямой;

• при увеличении угла между прямой и плоскостью проекций проекция прямой начинает уменьшаться;

• при угле, равном 90⁰ , прямая совпадает с линией проецирования и проецируется в точку.

Следовательно, проекция прямой не может быть больше натурального размера этой прямой.

Проецирование прямой, параллельной одной из плоскостей проекций. Прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций, называемые прямыми уровня, имеют также специальные названии в соответствии с тем, какой плоскости проекций они параллельны.

Прямая АВ (рис. 2.2,а), параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной. Фронтальная проекция А"В", параллельная оси ОХ, показывает высоту расположения прямой АВ над горизонтальной плоскостью, а горизон­тальная проекция А В' является натуральным размером этой прямой.

Прямая СD (рис. 2.2, 5), параллельная фронтальной плоско­сти проекций, называется фронтальной. Горизонтальная проекция С'D'. параллельная оси ОХ, показывает глубину расположения прямой СD до фронтальной плоскости, а фронтальная проекция С"D" соответствует натуральному размеру этой прямой.

Прямая ЕF, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной. Горизонтальная проекция Е'F'. параллельная оси ОУ, и фронтальная проекция Е"F" параллельная оси ОZ, показывают удаление прямой ЕF от профильной плоскости, а профильная проекция Е'"F'" является натуральным размером этой прямой.

Проекции прямой, параллельной двум плоскостям проекций. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (или перпендикулярная третьей плоскости проекций), называется проецирующей (рис. 2.3) на третью плоскость проекций.

Прямая АВ (рис. 2.3, я), перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей. Проекции А"В" и А'"В'" прямой АВ параллельны оси ОZ равны натуральному размеру этой прямой, а проекция А'В' проецируется в точку.

Прямая СВ (рис. 2.3, б) перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей. Проекции С'D' и С"'D'" пряной СD параллельны оси ОУ и раины натуральному размеру этой прямой, а проекция С"D" проецируется в точку.

Прямая ЕГ(рис. 2.3, в), перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профилъно-проецирующей. Проекции Е'F' и Е"F" прямой EF параллельны оси ОХ и раины натуральному размеру этой прямой, а проекция Е'"F'" проецируется в точку.

Взаимное положение точки и прямой. Возможны два взаимных положения точки и прямой: точка принадлежит прямой и точка не принадлежит прямой.

Если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой и имеют линии связи. перпендикулярные соответствующим осям проекций.

Справедливо и обратное утверждение: если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, то и сама точка принадлежит изображенной прямой.

На рис. 2.4 точка С принадлежит прямой АВ, так как обе ее проекции принадлежат проекциям этой прямой, а точки В, Е,F не принадлежат прямой АВ, так как одна или две их проекции не принадлежат проекциям прямой.

Одним из свойств параллельного проецирования является следующее: отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, т.е если точка делит отрезок прямой в заданном отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении. Используя это свойство, можно решать задачи деления отрезка прямой линии на любое число частей.

Например, заданную прямую АВ требуется разделить в отношении 2: 5 (рис. 2.5). Для этого из точки А' проведем вспомогательную прямую и отложим на ней 2 + 5 отрезков произвольной длины, но равных между собой. Затем, проведя отрезок В'7и параллельно ему через точку 2 прямую до пересечения с проекцией А'B’ получим точку С' и соответственно точку С" на проекции А"В". Полученная точка С делит прямую АВ в отношении 2:5.

Взаимное положение двух прямых. Две прямые в пространстве могут совпадать, быть параллельными друг другу, пересекаться и скрещиваться. Две прямые совпадают, когда все точки одной прямой сливаются с точками другой прямой. Параллельные прямые не пересекаются в пространстве и лежат в одной плоскости. Пересекающиеся прямые имеют одну точку, одновременно принадлежащую обеим прямым. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Необходимо отметить, что взаимное положение параллельных и скрещивающихся прямых, в пространстве однозначно определяется только при рассмотрении взаимного положения их проекций в трех плоскостях, проекций. Рассмотрение взаимного положения прямых только в двух плоскостях, проекций в ряде случаев приводит к неоднозначности определения положения этих прямых относительно друг друга.

Проекции двух совпадающих прямых (рис. 2.6) сливаются в плоскостях проекций.

Проекции двух параллельных прямых (рис. 2.7) параллельны между собой.

Проекция точки пересечения двух прямых (рис. 2.8) должна быть точкой пересечения проекций данных прямых.

Точки пересечения проекций скрещивающихся прямых (рис. 2.9) на одной плоскости проекций не совпадают с точками пересечения проекций прямых на других плоскостях проекций.

Проекции плоских углов. Плоские углы образуются двумя пересекающимися прямыми.

Если обе стороны плоского угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то угол проецируется на эту плоскость в натуральном виде (рис. 2.10).

Если стороны угла занимают общее положение в пространстве, то угол проецируется на любую плоскость проекций с искажением.

Некоторой особенностью при проецировании обладает прямой угол: если хотя бы одна из его сторон параллельна какой-либо плоскости проекций, он проецируется на эту плоскость также в виде прямого угла (рис. 2.11). Это утверждение справедливо для системы параллельного прямоугольного проецирования.

Контрольные вопросы

1. Как расположена относительно плоскостей проекций прямая об­щего положения?

2. Что такое восходящие и нисходящие прямые общего положения?

3. Какие положения прямой линии в системе щ₉ я₂, щ считаются частными?

4. В каких случаях проекция отрезка прямой линии равна размеру этого отрезка?

5. При каком условии две прямые являются пересекающимися?

6. Назовите необходимое условие для определения двух скрещива­ющихся прямых.

7. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого угла?