Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дискретка 18-03-2014 / группы[2].pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
385.71 Кб
Скачать

Теория групп

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D3

E

R120

R240

R1

R2

R3

 

 

E

E

R120

R240

R1

R2

R3

 

 

R120

R120

R240

E

R2

R3

R1

 

 

R240

R240

E

R120

R3

R1

R2

 

 

R1

R1

R3

R2

E

R240

R120

 

 

R2

R2

R1

R3

R120

E

R240

 

 

R3

R3

R2

R1

R240

R120

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совокупность всех вращений относительно одной оси образуют непрерывную группу, называемую R2. Её элементы обозначим символами R(a), где a — угол поворота, находящийся в пределах 0 ≤ a < 360°. Для

этой группы таблица умножения бесконечна, поэтому группа описывается общей формулой

Поскольку результат двух последовательных поворотов вокруг одной оси не зависит от порядка поворотов, группа R2 является коммутативной. Обратный элемент в группе определеяется формулой

Группа R3 представляет собой группу всевозможных вращений трёхмерного пространства относительно осей, проходящих через одну точку. Эта группа является группой симметрии сферы. Каждый элемент

группы R(α,β,a) задаётся тремя параметрами: α и β — эйлеровы углы, задающие положение оси, a — угол поворота.

Группа Sn или симметрическая группа порядка n — это совокупность n! всевозможных перестановок n элементов. Перестановку удобно обозначать символом

указывающим, что элемент n при перестановке заменяется на элемент pn. Обратным элементом для элемента P будет элемент

Интересно, что группа S3 изоморфна группе D3, так как последняя содержит всевозможные преобразования, переводящие треугольник сам в себя, а преобразование треугольника можно задать различными перестановками трёх его вершин:

Абелевы группы

Абелева группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа абелева если для любых двух элементов .

Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком . Абелевы группы являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как кольца, поля и модули. Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Теория групп

7

Примеры

Группа параллельных переносов в линейном пространстве.

Любая циклическая группа . Действительно, для любых и верно, что

.

В частности, целые числа образуют коммутативную группу по сложению, также как и классы вычетов

.

Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.

Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Связанные определения

По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.

Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.

Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно,

пусть — натуральное число, а — элемент коммутативной группы с операцией, обозначаемой +, тогда можно определить как ( раз) и .

Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над кольцом главных идеалов ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным

примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.

Множество гомоморфизмов всех групповых гомоморфизмов из в само является абелевой группой. Действительно, пусть — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма , заданная как , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если некоммутативная группа).

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. изоморфно прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу в форме прямой суммы

двумя различными способами:

Где числа степени простых

Где делит , которое делит , и так далее до .

Например, может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Соседние файлы в папке Дискретка 18-03-2014