лекции 8-14 / 8_EnergyDispersion
.pdf7б. Ковариантная форма уравнений электродинамики сплошных сред
Для сплошной среды, в отличие от вакуума, требуется уже ввести не один антисимметричный 4-тензор электромагнитного поля, а два (каждый из них в ковариантном и контравариантном видах)
0
Fik = Ex
EyEz
0
Qik = Dx
DyDz
−Ex
0
−Bz By
−Dx
0
−H z H y
−Ey Bz
0
−Bx
−Dy H z
0
−H x
− E |
|
|
0 |
|
z |
|
− Ex |
− By |
|
||
Bx |
' |
F ik = |
− Ey |
|
|
||
0 |
|
|
− Ez |
|
|
||
− D |
|
|
z |
− H y |
|
H x |
' Qik |
|
|
0 |
|
|
|
0
=− Dx
− Dy
− Dz
E |
x |
E |
y |
E |
z |
|
|
|
|
|
|||
0 |
Bz |
− By |
||||
− Bz |
0 |
Bx |
. |
|||
|
||||||
By |
− Bx |
0 |
|
|||
|
||||||
D |
x |
D |
y |
D |
z |
|
|
|
|
|
|||
0 |
H z |
− H y |
||||
− H z |
0 |
H x |
. |
|||
|
||||||
H y |
− H x |
0 |
|
|||
|
||||||
(7б.1)
(7б.2)
(У различных авторов 4-тензоры электромагнитного поля отличаются знаком). Тогда можно проверить, что уравнения Максвелла для сплошной среды (6.1)- (6.4) могут быть записаны в следующей ковариантной форме
∂Fik + |
∂Fkm |
+ ∂Fmi = 0 , |
(7б.3) |
|||
∂xm |
∂xi |
|
∂xk |
|
||
3 |
∂Qik |
4π |
i |
|
|
|
k∑=0 |
∂xk |
= − |
c |
j |
. |
(7б.4) |
Поскольку закон преобразования 4-тензоров при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую известен, мы можем выписать материальные уравнения для движущегося тела. Задача ставится так. Имеется лабораторная система отсчета (обозначается без штрихов). Тело движется в этой системе со скоростью v. Требуется получить вид материальных уравнений для электрической и магнитной индукций движущегося тела.
В системе координат, движущейся вместе с изотропным диэлектриком (отмечается штрихами), материальные уравнения записываются в простейшей форме
D'= εE', B'= µH'. |
(7б.5) |
Используя преобразования Лоренца, найдем, что в лабораторной системе тело становится анизотропным и при этом поляризации зависят как от электрической, так и от магнитной напряженностей. Для компонент, параллельных и перпендикулярных скорости v, получим (введен показатель преломления
n2 = εµ )
D|| = εE|| ,
|
|
v |
2 |
|
|
n |
2 |
−1 |
[v ×H] |
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
||||
|
ε 1− |
c |
E |
|
|
c |
(7б.6) |
|||
D = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
1− |
n2v2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B|| = µH|| , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
v2 |
|
|
− |
n2 −1 |
[v ×E] |
|
|
|
µ 1 |
|
2 |
H |
|
|
|
|||
|
|
|
c |
|
|
c |
|
(7б.7) |
||
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1− |
n2v2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Недостатком вида материальных уравнений (6),(7) служит то |
|||||||||
обстоятельство, |
что |
при |
n2 >1 знаменатель в этих выражениях может |
|||||||
обращаться в ноль. Это связано с выбором в качестве независимых переменных для материальных соотношений величин E, H . Избежать этой особенности
можно, если принять за независимые переменные величины E,B. Тогда материальные соотношения записываются в виде
D|| = εE|| ,
D = |
|
ε |
|
n2v2 |
n2 −1 |
|
|
|
|
|
1− |
E + |
|
[v ×B] , |
|
|
|
v2 |
n2c |
||||
|
|
|
|
c2 |
|
||
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
= |
1 |
B |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|| |
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
2 |
|
|
H = |
|
|
|
1 |
|
|
|
n v |
n |
|
−1 |
[v ×E] . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
c2 |
|
|
c |
||||||
|
|
|
v |
1− |
B + |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ 1 |
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7б.8)
(7б.9)
При малыхскоростяхдвижениясреды,когда n2v2 / c2 <1,различиемеждуэтими двумя формами материальных соотношений исчезает.
Приведенные соотношения описывают френелевское «частичное увлечение» (опыты Физо). Материальными уравнениями Минковского можно пользоваться не только при постоянной скорости движения тела, но и при переменной скорости, если только ускорение достаточно мало.
Литература
Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М., Физматлит,
1960.
В.И.Денисов. Введение в электродинамику материальных сред. М., МГУ, 1989.
8. Энергия электромагнитного поля в среде с частотной дисперсией
Для вакуума плотность потока электромагнитной энергии определяется вектором Пойнтинга:
S = |
c |
[E ×H]. |
(8.1) |
|
4π |
||||
|
|
|
Эта же формула справедлива и в средах с дисперсией ввиду непрерывности тангенциальных составляющих E и H на границе раздела среды с вакуумом [Ландау, Лифшиц, Электродинамика сплошных сред].
Изменение электромагнитной энергии в единице объема за единицу времени равно
−divS = |
c |
[(E, rot H) −(H, rot E)] = |
1 |
∂D |
|
∂B |
|
||
|
|
E |
|
+ H |
|
. |
(8.2) |
||
4π |
|
∂t |
|
||||||
|
|
4π |
|
∂t |
|
||||
В преобразованиях (2) использованы соотношение векторной алгебры и уравненияМаксвеллавотсутствиизарядовитоков.Вотсутствиедисперсии,когда материальные уравнения имеют простейший вид с постоянными вещественными
ε и µ, отсюда следует выражение для плотности электромагнитной энергии U:
U = |
1 |
(εE2 + µH2 ). |
(8.3) |
|
8π |
||||
|
|
|
При наличии дисперсии, в общем случае, присутствует и диссипация энергии (переход энергии электромагнитного излучения в тепло). Закон сохранения энергии примет вид
|
∂U |
= −divS −Q, |
(8.4) |
|
∂t |
||
|
|
|
|
где |
Q – плотность энергии тепловых потерь. В |
случае произвольного |
|
электромагнитного поля определениевидаплотности энергиии тепловых потерь затруднительно. Ниже рассматриваются два наиболее простые частные случая.
Сначала рассмотрим монохроматическое электромагнитное поле с
частотой ω0. Для него усредненное за период колебаний выражение (2) дает средний приток энергии от внешних источников, преобразующийся в тепло, то есть Q. В записи (2) фигурируют вещественные величины. Чтобы отличить их от
комплексных амплитуд снабдим вещественные величины знаком ~. Тогда |
||
~ |
~ |
|
E = Re[Eexp(−iω0t)], |
D = Re[Dexp(−iω0t)], |
(8.5) |
~ |
~ |
|
H = Re[H exp(−iω0t)], |
B = Re[B exp(−iω0t)]. |
|
При усреднении по времени члены, меняющиеся с удвоенной частотой 2ω0, обращаются в нуль. Поэтому
Q = 8π |
[ε′′| E | |
|
+µ′′| H | |
]. |
(8.6) |
ω0 |
|
2 |
2 |
|
|
Тем самым, диссипация (поглощение) энергии определяется мнимыми частями диэлектрической и магнитной проницаемостей. При этом для обычных (термодинамически равновесных; случай лазеров исключается) сред эти величины должны быть положительными для всех (положительных) частот:
′′ |
′′ |
(8.7) |
ε (ω) > 0, |
µ (ω) > 0. |
Вотличиеотмнимыхчастей,вещественныечастипроницаемостей ε′ и µ′ могут
быть и положительными, и отрицательными.
Теперь рассмотрим случай квазимонохроматического излучения, то есть излучения, близкого к монохроматическому. Тогда в (5) величины без тильды уже не постоянные, а зависят от времени. Но эта зависимость медленная, то есть
они меняются мало за период основных колебаний (2π /ω0 ) и за характерное
время релаксации среды. Тогда после усреднения (2) за период найдем (усреднение обозначается угловыми скобками)
|
1 |
|
|
∂D |
|
∂D |
|
∂B |
|
∂B |
|
||
− < divS >= |
|
|
|
E |
|
+ E |
|
+ H |
|
+ H |
|
+ |
|
16π |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∂t |
|
∂t |
|
∂t |
|
∂t |
(8.8) |
|||
|
+ |
iω0 |
(ED |
−E D + HB − H B). |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
16π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Привлечем теперь материальные соотношения (7.14) и (7.16) (пространственные переменные в качестве аргументов опускаются)
D(t) = E(t) + 4π∞∫κ(τ)E(t −τ)exp(iω0τ) dτ,
0 |
|
B(t) = H(t) + 4π∞∫ν(τ) H(t −τ)exp(iω0τ) dτ. |
(8.9) |
0
При выводе (8) была использована только малость изменения огибающих за период основных колебаний. Теперь учтем такую же медленность за время
релаксации, разложив напряженности в (9) в ряд по τ:
E(t −τ) = E(t) − |
∂E |
τ +..., |
H(t −τ) = H(t) − |
∂H |
τ +... |
(8.10) |
|
∂t |
∂t |
||||||
|
|
|
|
|
Невыписанные члены содержат вторые и более высокие производные от медленно меняющихся амплитуд, которыми мы будем пренебрегать. Тогда
D(t)
B(t)
|
∞ |
|
|
|
|
|
= 1+ 4π∫κ(τ)exp(iω0τ) dτ E(t) |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ε |
∂E |
|
|
|
= ε(ω0 )E(t) +i |
|
|
|
, |
|
|
|
∂t |
|
||||
|
|
∂ω ω0 |
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
= 1+ 4π∫ν(τ)exp(iω0τ) dτ |
H(t) |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∂E |
= |
− 4π∫ |
τκ(τ)exp(iω0τ) dτ |
∂t |
||
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
|
∂H |
= |
− 4π∫ |
τν(τ)exp(iω0τ) dτ |
∂t |
||
|
0 |
|
|
|
=µ(ω0 )H(t) +i ∂µ ∂Ht .
∂ω ω0 ∂
Ввыражении дляпроизводныхповремени от D и B из-зауказанноймедленности сохраняются только члены с первыми производными E и H:
|
∂D |
= ε(ω |
0 |
) |
|
∂E |
|
, |
|
∂B |
|
= µ(ω |
0 |
) |
∂H |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂t |
|
|
∂t |
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому (8) преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
[ε′′| E |2 +µ′′ |
| H |2 ]+ |
|
|
1 |
|
∂ |
|
∂(ωε′) |
|
|
|
|
|
∂(ωµ′) |
|
|
||||||||||||||||||
− < divS >= |
0 |
|
|
|
|
| E |2 |
|
|
| H |2 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8π |
|
|
|
|
|
|
|
∂ω |
|
|
∂ω |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16π ∂t |
|
|
ω |
0 |
|
|
|
|
|
ω |
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
∂E |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
∂H |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
∂(ωε ) |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
∂(ωµ ) |
|
|
|
H |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
8π |
|
|
∂ω |
|
|
Im |
∂t |
|
|
|
∂ω |
|
|
Im |
∂t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(8.11)
В формуле (11) содержатся члены, описывающие изменение усредненной за основной период колебаний плотности электромагнитной энергии и тепловые потери, причем в общем случае разделить эти члены невозможно. Для
монохроматического поля производные по времени огибающих равны нулю, и (11) переходит в (6); в этом случае, очевидно, средняя за период плотность электромагнитной энергии не меняется. Другой предельный случай относится к областям прозрачности среды, то есть областям частот, в которых величины ε′′(ω), µ′′(ω) столь малы, что их наличие не существенно для рассматриваемой
задачи. Тогда тепловые потери отсутствуют, и вытекающее из (11) соотношение
|
∂U |
|
1 |
|
∂ |
∂(ωε′) |
2 |
|
∂(ωµ′) |
2 |
|
(8.12) |
||||
− < divS >= |
∂t |
= |
|
|
|
|
|
|
|
| E | |
+ |
|
|
| H | |
|
|
|
|
|
|
∂ω |
∂ω |
|||||||||||
|
|
16π ∂t |
ω |
|
|
ω |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
описывает скорость изменения усредненной плотности электромагнитной энергии U
|
1 |
|
∂(ωε′) |
|
|
2 |
|
∂(ωµ′) |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
| E | |
|
|
|
||||||||
U = |
|
|
∂ω |
|
|
|
+ |
∂ω |
|
|
| H | |
. |
(8.13) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
16π |
ω |
0 |
|
|
|
ω |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||