Естествознание и математика
.pdf
Решить проблему удалось математикам, которые
работали независимо друг от друга: Н.И.Лобачевскому
г.) и Я.Больяйи(1831 г.). заменили пятый постулат
утверждением прямо противоположным и создали новые гиперболические геометрии, в которых не было противоречий.
Дальнейшее развитие этих идей нашло отражение геометрических представлениях Б.Римана, которые легли в основание общей теории относительности Эйнштейна.
С
А |
В |
|
Прямая выглядит как отрезок дуги большого круга, центр которого совпадает с центром сферы. Все большие круги пересекаются друг с другом, следовательно, невозможно, чтобы большие круги были параллельны. Кривизна пространства в эллиптической геометрии Римана положительна. Следовательно, через точку, лежащую вне данной прямой, нельзя провести ни одной параллельной – все они будут пересекаться с данной.
Усложнение математики и усиление ее специализации приводят к коренным изменениям в путях ее развития.
В ХХ веке можно отметить три ключевых, кризисных момента, которые принципиально изменяли характер получаемых математических результатов:
Кризис связан с
теоремой Геделя о
неполноте (1931 г.), которая утверждает, что в любой формальной
системе аксиом
есть
неразрешимые предположения, которые в ее рамках нельзя ни доказать, ни
опровергнуть, т.е.
система аксиом либо неполна, либо противоречива.
Рождение и бурное
развитие вычислительной
техники повлекло за собой широкое применение компьютеров для решения самых разнообразных задач, в том числе и
математических.
Естественно напрашивается вопрос: «Насколько можно доверять доказательствам, которые никогда не были проверены человеком от начала до конца?».
Одна из серьезных
проблем современной математики связана с практически непреодолимой сложностью новых доказательств.
Современная
математическая задача может иметь формулировку в несколько слов или строк, а ее решение
может занимать
несколько книжных томов в сотни и тысячи страниц, что фактически делает невозможным его полную запись, понимание и проверку.
Математика и естественнонаучная картина мира
Одной из важнейших особенностей современной цивилизации является математизация всех разделов естествознания как попытка описания закономерностей существования окружающего мира и самого человека.
Универсальный язык математики для всей науки определяет ее исключительную роль в формировании нового знания, является способом придать как известным, так и вновь открываемым законам всеобщий характер.
Этому способствует процесс введения новых абстрактных математических дисциплин и создания новых математических теорий и соответствующего аппарата.
Достижения математиков часто шли впереди открытий физиков, и в истории развития естествознания неоднократно наблюдалась тенденция глубоких концептуальных конфликтов, которые удавалось разрешить посредством использования соответствующего математического аппарата.
Концептуальные конфликты в естествознании, разрешенные использованием соответствующего математического аппарата
Конфронтация классической механики и электродинамики в обл. оптики быстродвижущихся сред и гравитационных явлений разрешилась формированием понятий ТО, которая использовала тензорную алгебру и анализ, разработанные за 30 лет до их применения Эйнштейном в физике
Конфронтация классической механики, электродинамики, статистической физики в обл. изучения строения атома разрешена в форме создания новых квантовых понятий. Эти понятия основывались на теории бесконечных гилбертовых пространств, которая была разработана за 20 лет до создания квантовой механики
Динамика механического движения опиралась на новый математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений.
Конфронтация классической механики и новых экспериментальных данных по электромагнитным явлениям завершилось выявлением новых понятий физики поля, которые опирались на разработанный незадолго до этого векторный анализ и теорию уравнений в частных производных.
«Математический формализм оказывает совершенно удивительную услугу в деле описания сложных вещей, но нисколько не помогает в деле понимания реальных процессов»
Макс Борн
Математика в естествознании:
1.Играет роль универсального языка, специально предназначенного для лаконичной записи утверждений.
Используя количественные (метрические) понятия, математический язык обеспечивает краткость и точность в установлении количественных зависимостей между свойствами и отношениями, которые характеризуют изучаемые процессы (напр., методы дифференциального и интегрального исчислений, современный функциональный анализ).
В процессе научного познания всегда существует тесная связь естественного языка качественного описания и количественного математического языка.
1.Служит источником моделей и алгоритмических схем для отображения связей, отношений и процессов, составляющих предмет исследования и правил его преобразования.
Если физический объект правильно выражен формулой, а математические правила преобразований согласуются с физическим процессом, то эти физические преобразования могут быть заменены на математические для исходных формул. В этом случае результат математических преобразований будет автоматически соответствовать данным эксперимента.
Математические формулы сами по себе абстрактны, и только физические исследования м огут наполнить их содержанием и сделать средством выражения научной мысли для получения объективной достоверности и количественной точности знания.
Роль математических абстракций в теории познания.
Задача математиков XVII-XIX вв. состояла в том, чтобы открыть математические принципы существования мира и познать законы, управляющие Вселенной.
Дальнейшее развитие математики и применение ее в естествознании (в частности, появление неевклидовых геометрий) показало, что в природе, возможно, отсутствуют математические принципы и правила, а сама математика – лишь ограниченный рациональный план. Несмотря на тот факт, что сами по себе математические структуры не отражают реальности физического мира, но являются ключом к ее познанию, методом исследования, описания и открытия физических явлений. Математика и физическая реальность оказываются нераздельно связанными.
Замечательные достижения физики опираются на математические идеи и рассуждения:
Механика Галилея, Ньютона, Гамильтона, Лагранжа, Эйлера. Теория электромагнетизма Максвелла.
Теория относительности Эйнштейна.
Истинность математических утверждений определяется непротиворечивостью соответствующей физической теории. Постепенно были определены косвенные доводы подтверждения непротиворечивости и истинности математических теорий:
Интуитивная ясность, убедительность и простота математических построений.
Возможность эффективного использования теории на практике. Однако в силу абстрактного характера математических понятий (которые не имеют конкретных прообразов в реальном мире) практика принимается как критерий полезности этих теорий в качестве орудия познания.
Если понимать истину вообще как адекватное отражение в сознании человека явлений и процессов реальной объективной действительности, то математическая реальность – это созданный интуицией виртуальный мир, являющийся всего лишь естественнонаучной гипотезой.
Всилу того, что познание объективной реальности идет от абстрактного
кконкретному, оказалось возможным сформулировать принципы, которым должна отвечать непротиворечивая и эффективная математическая теория:
1.Развитие математики невозможно без исследования ею самой себя.
2.При математических исследованиях необходимо учитывать конструктивные и вычислительные возможности логикоматематических языков.
3.Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией.
4.Математика является языком естествознания, т.к. она является орудием познания и используется в прикладных науках.
5.Методологическим и философским фундаментом современной математики может быть только теория познания – гносеология.