Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Расстояние между двумя точками.

Теорема 1. Для любых двух точек иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:

. (1.1)

Например, если даны точки и, то расстояние между ними:

.

2. Площадь треугольника.

Теорема 2. Для любых точек

, не лежащих на одной прямой, площадь треугольника выражается формулой:

. (1.2)

Например, найдем площадь треугольника, образованного точками ,и.

.

Замечание. Если площадь треугольника равна нулю, это означает, что точки лежат на одной прямой.

3. Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть

–любая точка этого отрезка, отличная от точек концов. Число , определенное равенством, называетсяотношением, в котором точка делит отрезок.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек

и найти координаты точки.

Теорема 3. Если точка делит отрезок в отношении

, то координаты этой точки определяются формулами: (1.3), где– координаты точки,– координаты точки.

Следствие: Если – середина отрезка

, где и, то(1.4) (т.к.).

Например. Даны точки и. Найти координаты точки, которая в два раза ближе к, чем к

Решение: Искомая точка делит отрезок

в отношении так как, тогда,, получили

.

Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки , называемойполюсом, и исходящего из нее луча –полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть – произвольная точка плоскости. Пусть – расстояние от точки

до точки ;– угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом.

Полярными координатами точки называются числаи. При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным радиусом, число – второй координатой и называетсяполярным углом.

Обозначается . Полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение:. Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах:. Однако в ряде случаев приходится определять углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.

Будем считать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть – в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с. Тогда(1.5). Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.

С другой стороны, по теореме Пифагора и

(1.6) – эти формулы, выражают полярные координаты через прямоугольные.

Заметим, что формула определяет два значения полярного угла, так как. Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются равенства.

Например, найдем полярные координаты точки ..или, т.к.I четверти.

Пример 1: Найти точку, симметричную точке

относительно биссектрисы первого координатного угла.

Решение:

Проведем через точку А прямую l₁, перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l₁ отложим отрезок СА₁, равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники АСО и А₁СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |ОА| = |OA₁|. Треугольники ADO и ОЕА₁ также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD| = |ОЕ| = 4, |OD| = |EA₁| = 2, т.е. точка имеет координаты х = 4, у = -2, т.е. А₁(4;-2).

Отметим, что имеет место общее утверждение: точка A₁, симметричная точке относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, имеет координаты , то есть.

Пример 2: Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки и , пересечет ось Ох.

Решение:

Координаты искомой точки С есть (x; 0). А так как точки А, В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие (x₂-x₁)(y₃-y₁)-(x₃-x₁)(y₂-y₁)=0 (формула (1.2), площадь треугольника ABC равна нулю!), где – координаты точки А, – точкиВ, – точкиС. Получаем , т.е., , . Следовательно, точка С имеет координаты ,, т.е..

Пример 3: В полярной системе координат заданы точки ,. Найти: а) расстояние между точками и ; б) площадь треугольника ОМ₁М₂ (О – полюс).

Решение:

а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):

,

то есть, .

б) пользуясь формулой для площади треугольника со сторонами а и b и углом между ними (), находим площадь треугольника ОМ₁М₂. .