аналитическая геометрия, теория, 1курс / Линии второго порядка

4.3.109. Найти уравнение касательной к параболе y²= 4x, проведённой из точки А(-2;-1).

Уравнение прямой будем искать в виде

y =kx+b. (3.29)

Так как точка А принадлежит искомой касательной , подставляя её тождество

-1=-2k+b. (3.30)

Далее, прямая (3.29) и парабола y²=4x имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно система уравнений

Имеет единственное решение. Решение её относительно x и y . Это можно сделать различными способами, например, возвести правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставить в левую часть полученного равенства вместо y² его выражение из второго уравнения. Получим k²x²+2kbx+b²=4x. Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом,

= (kb-2)² - k²b²=0 или 4kb=4, b=. (3.31)

Теперь для параметров k и b прямой (3.29) имеем два условия: (3.30) и (3.31). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:

Подстановка вместо b в первое уравнение его выражения из второго , получим -2k²+k+1=0 , откуда находим ,что k₁=1, k₂=- . Система имеет два решения :

, и

Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи. Их уравнения: y=x+1 и y=- -2.