2.4 Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними (см. рис. 5). Обозначение:. Таким образом,.

По определению .

Свойства скалярного произведения:

1. (коммутативность);

2. (дистрибутивность);

3. (ассоциативность по отношению к скалярному множителю);

4. (скалярный квадрат вектора а равен квадрату его модуля);

5. (или, или).

Векторы и, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

Пример 3 :Векторы иобразуют угол. Зная, чтои, вычислить.

Решение:

Согласно свойствам скалярного произведения .

Пример 4: Выразить длины медиан произвольного треугольника через длины его сторон.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть AD – одна из медиан треугольника (рис. 9). Введем в рассмотрение векторы ,и. Тогда. Возведем обе части равенства в квадрат:, то есть. А так как, то. Значит,. В итоге получаем, чтои далее.

2.5 Векторное произведение векторов

Три некомпланарных вектора ,и, взятые в указанном порядке, образуютправую (левую) тройку, если с конца вектора кратчайший поворот от первого векторако второму векторувиден совершающимся против часовой стрелки, (соотв. по часовой стрелке) (см. рис. 11).

Векторным произведением неколлинеарных векторов иназывается вектор, определяемый условиями:

1) вектор перпендикулярен векторами, т.е.,;

2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах, т. е.,;

3) векторы ,иобразуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или.

Если векторы иколлинеарны (в частности, один из этих векторов нулевой), то по определению.

Свойства векторного произведения:

1. (антикоммутативность);

2. (ассоциативность по отношению к скалярному множителю);

3. (дистрибутивность);

4. если(илиили).

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах и, применяют формулу.

Векторное произведение может быть выражено формулой: , где– орт направления.

Пример 5: Даны два вектора и, для которых,,. Найти: а); б).

Решение:

а) По формуле находим модуль векторного произведения:. По формулеполучаем, где– единичный вектор направления.

б) Согласно свойствам векторного произведения получаем:

.

Следовательно, .

2.6 Проекция вектора на ось

Осью называется всякая прямая, на которой выбрано одно из двух направлений (все равно какое). Это направление называется положительным (на рисунке оно обозначается стрелкой); противоположное направление называется отрицательным.

Каждую ось можно задать любым вектором, лежащим на ней и имеющим то же направление. Например, ось на рисунке 133 можно задать вектором или, но не вектором.

Пусть дана ось ОХ (рис. 134) и некоторая точка М (на оси или вне ее). Проведем через М плоскость, перпендикулярную оси. Она пересечет плоскость в некоторой точке М¹. Точка М¹ называется проекцией точки М на ось ОХ. Если точка лежит на оси, то она сама является своей проекцией.

Иными словами, проекция точки М на ось ОХ есть основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ.

Выражение «проекция вектора на осьОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометрическом и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией геометрической вектора на осьОХ называется вектор , начало которогоесть проекция точкиА на ось ОХ, а конец которого, есть проекция точкиВ на ось ОХ.

Обозначение: или, короче,.

Если ось ОХ задана вектором , то векторназывается такжепроекцией вектора на направление вектора и обозначается .

Геометрическая проекция вектора на осьОХ также называется компонентой вектора по оси ОХ.

2. Алгебраической проекцией вектора на осьОХ (или на направление вектора ) называется длина вектора, взятая со знаком «+» или «–» в зависимости от того, имеет ли векторто же направление, что и осьОХ (вектор ) или противоположное.

Обозначение: ,.

Замечание. Геометрическая проекция вектора – это вектор, алгебраическая проекция – это число.

Пример 6: Геометрическая проекция вектора (рис. 136) на осьОХ есть вектор . Его направление противоположно направлению оси, а длина при единице масштабаОЕ равна 2. Значит, алгебраическая проекция вектора на осьОХ есть отрицательное число :,.

Если векторы иравны, то их алгебраические проекции по одной и той же оси равны. То же и для геометрических проекций.

Алгебраические проекции одного и того же вектора на две равнонаправленные оси равны. То же и для геометрических проекций. Если оси параллельны, но направлены в противоположные стороны, то алгебраические проекции одного и того же вектора на них не равны. Они отличаются знаком.

Пусть есть вектор, сонаправленный с осьюОХ и имеющий длину 1. Тогда геометрическая проекция (компонента) какого-либо вектора по осиОХ равна произведению вектора на алгебраическую проекцию векторапо той же оси:.

Пример 7: При обозначениях рисунка 136 вектор . Геометрическая проекция векторана осьОХ есть вектор , алгебраическая проекция того же вектора есть число. Таким образом,.