Математическое моделирование / MM / Lab_2 / Lab_2

Лабораторная работа #2

Проверка адекватности стохастической имитационной модели

Цели работы: 1) убедиться в адекватности распределений, полученных с помощью программы универсального генератора случайных чисел (предыдущая лабораторная работа) соответствующих двум заданным распределениям; 2) сделать выводы о возможности использования указанного генератора случайных чисел для имитационного моделирования, оценив степень его неадекватности на основе критерия согласия ².

Порядок выполнения работы

1. Привести гистограммы двух заданных распределений случайных чисел.

2. Построить гистограммы распределений для сгенерированных чисел: 100, 1000, 10000 значений из предыдущей лабораторной для каждого из заданных распределений.

3. Подсчитать значение критерия согласия ² для указанных шести случаев. Полученные данные свести в таблицу.

4. Сделать выводы об уровне вероятности, с которой выполняется гипотеза об адекватности заданного и полученного распределений.

5. Сделать выводы о возможности использования генератора случайных чисел, работающего на основе алгоритма, приведенного в предыдущей лабораторной работе для целей имитационного моделирования.

Пример выполнения работы

Тестирование программы универсального генератора случайных чисел проведем путем сравнения заданного распределения случайных чисел (рис. 1) и распределения чисел, полученных с помощью генератора. Проверка гипотезы о близости распределений осуществим на основе критерия согласия ² [1-3].

Проверка гипотезы по какому-либо критерию согласия основана на определении степени близости теоретической и эмпирической функций распределения. Если F_теор и F_эмп близки, то значение ², получаемое по формуле:

(1)

должно быть меньше, чем табличное значение. В уравнении (1): r- количество интервалов гистограммы, n – общее количество случайных чисел, m_i - количество случайных чисел, попавших в i-й интервал гистограммы, p_i – вероятность попадания случайного числа в i-й интервал заданной гистограммы. Значение критерия ² представляет собой, таким образом, квадрат некоего расстояния между двумя r - мерными векторами: вектором относительных частот (m₁/n,...,m_r/n) и вектором вероятностей (p₁,...,p_r). В результате расчетов, выполненных по уравнению (1) для экспериментальных данных рис. 1 получили значения, приведенные в табл. 1. При этом число степеней свободы выбирали равным 6 (на единицу меньше, чем число отрезков гистограммы).

Рис. 1. Функция плотности вероятности заданного распределения случайных чисел.

Таблица 1.

Сравнение распределений случайных чисел.

Количество сгенерированных чисел (n)	Расчетное значение 2	Уровни вероятности
10	1,0507	0,95
100	0,5991	0,98
1000	0,0572	0,99

По таблице работы [3] (с. 625, см. приложение 1), в которой приведены значения квантилей ², можно сделать следующий вывод (см. табл.1). С увеличением общего количества сгенерированных чисел значение ² уменьшается, что указывает на повышение степени близости заданного и сгенерированного распределений. При этом уровень доверительной вероятности повышается с 0,95 при числе n=10 до 0,99 при n=1000.

Заключение. Таким образом, испытание алгоритма генератора случайных чисел, приведенного в первой лабораторной работе, показало его функциональную пригодность. Программа генератора может быть использована для имитационного моделирования различных стохастических объектов.

Литература

1. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984. 248 с.

2. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М. Финансы и статистика, 1995. 384 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М: Наука, 1978. 831 с.

Приложение 2.3.

Вопросы для самопроверки

1. Что понимать под адекватностью математической модели?

2. В чем особенность стохастических математических моделей? Каким образом можно осуществить проверку адекватности стохастических моделей?

3. Какова технология проверки адекватности модели на основе критерия согласия ²?