Математическое моделирование / MM / Lab_4 / Lab_4

Лабораторная работа #4

Математическая модель динамики

гомогенной химической реакции

Цели работы: 1) разработать математическую модель динамики гомогенной (однофазной) химической реакции, алгоритм и программу, позволяющие проводить вычислительные эксперименты; 2) провести вычислительный эксперимент, в ходе которого необходимо: сделать оценки влияния начальных концентраций веществ на выработку продукта P; влияния коэффициентов скорости c₁, c₂, c₃ на время реакции (до установившегося или статического режима); влияния начальных условий на значения концентраций веществ в статическом режиме.

Введение. Математические модели гомогенных (однофазных) химических реакций часто выбираются для демонстрации динамических процессов, поскольку уравнения такой модели могут быть легко получены на основе закона действующих масс [1]. Согласно этому закону «скорость элементарной стадии химической реакции прямо пропорциональна концентрациям реагирующих агентов».

В качестве примера реакции, выберем биохимическую реакцию с одним промежуточным фермент-субстратным комплексом:

(1)

где F, S, [FS], P – фермент (органический катализатор), субстрат – вещество, потребляемое в ходе реакции, промежуточный фермент-субстратный комплекс, снижающий величину энергетического барьера и делающий реакцию возможной, продукт реакции [2].

Математическую модель такой реакции получим на основе закона действующих масс:

(2)

Здесь приняты следующие обозначения: x₁ – концентрация фермента [F], x₂ – концентрация субстрата [S], x₃ – концентрация фермент-субстратного комплекса [FS], x₄ – концентрация продукта [P]. Таким образом, математическая модель реакции (1) представляет собой систему дифференциальных уравнений (2), которая может быть решена (например, численно) при задании начальных условий.

Для решения системы уравнений (2) можно воспользоваться, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка [3,4], уравнения которого имеют вид (3):

(3)

Замечание. При выполнении лабораторной работы принять следующие значения начальных условий и констант скорости: x₁=5, x₂=20, x₃=0, x₄=0, c₁=0,02, c₂ = 0,1 и c₃ = 0,2.

Порядок выполнения работы

1. Разработать алгоритм решения уравнений математической модели (2) с помощью метода Рунге-Кутта (3).

2. Разработать программу, реализующую алгоритм (см. предыдущий пункт). Один из возможных примеров такой программы приведен в приложении 1.

3. Осуществить вычислительный эксперимент, в ходе которого необходимо: сделать оценки влияния начальных концентраций веществ на выработку продукта P; влияния коэффициентов скорости c₁, c₂, c₃ на время реакции (до установившегося или статического режима); влияния начальных условий на значения концентраций веществ в статическом режиме. Пример вычислительного эксперимента приведен на рис. 1.

Рис. 1. Пример вычислительного эксперимента.

Литература

1. Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа. 1984. 463 с.

2. Рубин А.Б. Биофизика. М.: Книжный дом «Университет». 1999. Т1. 448 с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М., Наука, 1978.

4. Самарский, А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М., Наука, 1989.

Вопросы для самопроверки

1. Как выбирается шаг при использовании численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений?

2. Как оценить погрешность решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутта?

Приложение 1.

Программа математической модели динамики (Turbo Pascal).