Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Дёмин С.А. Курсовая работа / Курсач TEX / Kursach
.tex\documentclass[14pt]{extreport}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amscd,euscript}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage[left=25mm,right=15mm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm,
paperwidth=21cm,paperheight=29.7cm]{geometry}
\RequirePackage[unicode, pdftex]{hyperref}
\RequirePackage{pdfpages}
\begin{document}
\includepdf[pages={1}]{titul.pdf}
\tableofcontents
\chapter*{Введение}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Введение}
Самообучение ~-- неотъемлимая часть образования. Ведь далеко не весь материал успевает нам изложить преподаватель.
Это пособие отлично подойдет для самостоятельного изучения. Весь материал в нём изложен максимально просто и доступно, а доказательства к теоремам сопровождаются подробными иллюстрациями. Каждое изображение обладает своим кодом, с помощью которого оно строится на сайте mathpar.com.
Целью курсовой работы является разработка учебного материала для учеников старших классов, с помощью которого они смогут самостоятельно изучить какую-либо их интересующую тему или закрепить уже полученные знания, и разгрузки учителя как от поиска информации из множества различных источников для предстоящего урока, так и от подготовки домашнего задания ученикам класса.
\chapter{МНОГОГРАННИКИ}
\section{ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА}
\subsection{Многогранник}
Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Общие стороны смежных многоугольников называются ребрами многогранника. Многоугольники, которые ограничивают многогранник, называются его гранями. Грани многогранника, сходящиеся в одной точке, образуют многогранный угол; вершины таких многогранных углов называются вершинами многогранника. Прямые, соединяющие две какие-нибудь вершины, не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.
Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т. е. такие, которые расположены по одну сторону от плоскости каждой из его граней.
Наименьшее число граней в многограннике~--- четыре; такой многогранник получается от пересечения трехгранного угла какой-нибудь плоскостью.
\subsection{Призма}
Призмой называется многогранник, у которого две грани~--- равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани~--- параллелограммы.
Чтобы показать возможность существования такого многогранника, возьмем (рис. \ref{ris.1.1}) какой-нибудь многоугольник $ABCDE$ и через его вершины проведем ряд параллельных прямых, не лежащих в его плоскости. Взяв затем на одной из этих прямых произвольную точку $A_1$, проведем через нее плоскость, параллельную плоскости $ABCDE$ через каждые две соседние параллельные прямые также проведем плоскости. Пересечение всех этих плоскостей определит многогранник $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$, удовлетворяющий определению призмы. Действительно, параллельные плоскости $ABCDE $ и $A_1B_1C_1D_1$ пересекаются боковыми плоскостями по параллельным прямым; поэтому фигуры $AA_1E_1E$, $EE_1D_1D$ и т.д.~--- параллелограммы. С другой стороны, у многоугольников $ABCDE$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны соответственно стороны (как противоположные стороны параллелограммов) и углы (как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами); следовательно, эти многоугольники равны.
Многоугольники $ABCDE$ и $A_1B_1C_1D_1$, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, перпендикуляр $OO_1$, опущенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого, называется высотой призмы. Параллелограммы $AA_1B_1B$ и т. д. называются боковыми гранями призмы, а их стороны $AA_1, BB_1$ и т. д., соединяющие соответственные вершины оснований,~--- боковыми ребрами. У призмы все боковые ребра равны как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями.
Отрезок прямой, соединяющий какие-нибудь две вершины, не прилежащие к одной грани, называется диагональю призмы. Таков, например, отрезок $AD_1$ (\ref{ris.1.1}).
Плоскость, проведенная через какие-нибудь два боковых ребра, не прилежащих к одной боковой грани призмы (например, через ребра $AA_1$ и $CC_1$ \ref{ris.1.1}), называется диагональной плоскостью (на рисунке не показанной).
Призма называется прямой или наклонной, смотря по тому, будут ли ее боковые ребра перпендикулярны или наклонны к основаниям. У прямой призмы боковые грани~--- прямоугольники. За высоту такой призмы можно принять боковое ребро.
Прямая призма называется правильной, если ее основания~--- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани~--- равные прямоугольники.
Призмы бывают треугольные, четырехугольные и т.д., смотря по тому, что является основанием: треугольник, четырехугольники т. д.
\
\
\hrule
$ set2D(3,12,2,24); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}3 & 6 & 10 & 12 & 8 & 3 \\ 20 & 22 & 21 & 17 & 16 & 20 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccc}3 & 3 & 8 & 12 & 12 & 8 & 8 \\ 20 & 8 & 4 & 5 & 17 & 16 & 4 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 22 & 24 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 6 & 22 \end{array}\right) ); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}8 & 8 \\ 2 & 4 \end{array}\right) ); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}12 & 12 \\ 3 & 19 \end{array}\right) ); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}10 & 10 \\ 21 & 23 \end{array}\right) ); $
$ p8 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}3 & 6 & 6 & 6 & 10 & 12 \\ 8 & 10 & 22 & 10 & 9 & 5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p9 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}10 & 10 \\ 7 & 21 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p10 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 8 & 10 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p11 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}3 & 12 \\ 8 & 17 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p12 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}9 & 9 \\ 7 & 19 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p13 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccc}3 & 6 & 10 & 12 & 8 & 3 & 6 & 10 & 12 & 8 & 9 & 9 \\ 20 & 22 & 21 & 17 & 16 & 8 & 10 & 9 & 5 & 4 & 7 & 19 \end{array}\right),$
$['A1','B1','C1','D1','E1','A','B','C','D','E','O','O1'],$
$[6.5,1.5,1.5,1.5,1,6,1,1.5,1.5,5,4,7]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{1.png}}
\caption{Многоугольник}
\label{ris.1.1}
\end{figure}
\
\
\subsection{Параллелепипед}
Параллелепипедом называют призму, у которой основаниями служат параллелограммы (\ref{ris.1.2}). Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые и наклонные. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основание~--- прямоугольник (\ref{ris.1.3}). Из этих определений следует:
\
\
1) у параллелепипеда все шесть граней -- параллелограммы;
2) у прямого параллелепипеда четыре боковые грани -- прямоугольники, а два основания -- параллелограммы;
3) у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней -- прямоугольники.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся к одной вершине, называются его измерениями: одно из них можно рассматривать как длину, другое -- как ширину, а третье -- как высоту.
Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называется кубом. У куба все грани -- квадраты.
\hrule
$ set2D(-4,20,0,21); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccc}0 & -4 & 0 & 16 & 12 & 16 & 16 & 0 & 16 & 20 & 16 \\ 21 & 17 & 0 & 0 & 17 & 21 & 21 & 21 & 21 & 4 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}-4 & 12 \\ 17 & 17 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 4 & 20 \\ 0 & 4 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}4 & 0 \\ 4 & 21 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{2.png}}
\caption{Наклонный параллелепипед}
\label{ris.1.2}
\end{figure}
\
\
\hrule
$ set2D(0,20,0,25); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccc}4 & 0 & 0 & 16 & 16 & 20 & 20 & 4 & 20 & 20 & 16 \\ 25 & 21 & 0 & 0 & 21 & 25 & 25 & 25 & 25 & 4 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 16 & 20 \\ 21 & 21 & 25 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 4 & 20 \\ 0 & 4 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}4 & 4 \\ 4 & 25 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{3.png}}
\caption{Прямой параллелепипед}
\label{ris.1.3}
\end{figure}
\
\
\subsection{Пирамида}
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми,~--- треугольники, имеющие общую вершину.
Чтобы получить пирамиду, достаточно какой-нибудь многогранный угол $S$ (\ref{ris.1.4}) пересечь произвольной плоскостью $ABCD$ и взять отсеченную часть $SABCD$.
Общая вершина $S$ боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр $SO$, опущенный из вершины на плоскость основания,~--- высотой.
Обыкновенно, обозначая пирамиду буквами, пишут сначала ту, которой обозначена вершина, например $SABCD$ (\ref{ris.1.4}).
Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания (например, через диагональ $BD$, \ref{ris.1.6}), называется диагональной плоскостью.
Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д., смотря по тому, что является основанием~--- треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида (\ref{ris.1.5}) называется иначе тетраэдром; все четыре грани у такой пирамиды~--- треугольники.
Пирамида называется правильной (\ref{ris.1.6}), если, во-первых, ее основание есть правильный многоугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые ребра равны между собой (как наклонные с равными проекциями).
Поэтому все боковые грани правильной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники. Высота $SM$ (\ref{ris.1.6}) каждого из этих треугольников называется апофемой. Все апофемы в правильной пирамиде равны.
\
\
\hrule
$ set2D(0,11,0,11); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}5 & 1 & 7 & 5 & 8 & 7 \\ 11 & 2 & 2 & 11 & 4 & 2 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}0.6 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}8.4 & 8 \\ 3 & 4 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}7.2 & 7 \\ 1 & 2 \end{array}\right) ); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 4 & 5 & 4 & 8 \\ 2 & 4 & 11 & 4 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}5 & 5 \\ 11 & 3 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}3.8 & 4 \\ 3 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p8 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccc}1 & 7 & 8 & 4 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 4 & 4 & 11 & 3 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','S','O'],[7,3,0,7,0,6]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{4.png}}
\caption{Пирамида}
\label{ris.1.4}
\end{figure}
\
\
\hrule
$ set2D(1,7,1,10); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}5 & 1 & 2 & 5 & 7 & 2 \\ 10 & 4 & 1 & 10 & 4 & 1 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}1 & 7 \\ 4 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p3 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 7 & 5 \\ 4 & 1 & 4 & 10 \end{array}\right) ,['A','B','C','S'],[7,4,3,0]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{5.png}}
\caption{Треугольная Пирамида}
\label{ris.1.5}
\end{figure}
\
\
\hrule
$ set2D(2,10,1,15); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccc}3 & 2 & 6 & 10 & 9 & 8 & 6 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 15 & 5 & 3.5 & 2 & 15 & 2 & 2 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccc}3 & 10 & 6 & 2 & 6 & 6 & 6 \\ 2 & 5 & 6 & 5 & 6 & 15 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p3 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccc}2 & 3 & 8 & 9 & 10 & 6 & 6 & 6 \\ 5 & 2 & 2 & 3.5 & 5 & 6 & 15 & 4 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','M','D','E','S','O'],$
$[7,6,3,3,0,4,0,3]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{6.png}}
\caption{Правильная Пирамида}
\label{ris.1.6}
\end{figure}
\
\
\subsection{Усеченная Пирамида}
Усеченная пирамида. Часть пирамиды (\ref{ris.1.7}), заключенная между основанием ($ABCDE$)и секущей плоскостью ($A_1B_1C_1D_1E_1$), параллельной основанию, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями, а отрезок перпендикуляра $OO_1$, опущенного из какой-нибудь точки $O_1$ основания $A_1B_1C_1D_1E_1$ на другое основание,~--- высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.
\
\
\hrule
$ set2D(1,13,1,20); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccc}7 & 1 & 4 & 7 & 10 & 4 & 10 & 13 & 7 & 10 \\ 20 & 6 & 1 & 20 & 1 & 1 & 1 & 6 & 20 & 1 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}5 & 6 & 8 & 9 & 7.4 & 5 \\ 15 & 13 & 13 & 15 & 16 & 15 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 8 & 13 & 8 & 7 \\ 6 & 10 & 6 & 10 & 20 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}7 & 7 \\ 6 & 15 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccc}1 & 4 & 10 & 13 & 8 & 5 & 6 & 8 & 9 & 7.4 & 7 & 7 & 7 \\ 6 & 1 & 1 & 6 & 10 & 15 & 13 & 13 & 15 & 16 & 20 & 6 & 15 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','E','A1','B1','C1','D1','E1','S','O','O1'],$
$[6,4,3,4,4,6,4,3,3,2.5,0,3,5]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{7.png}}
\caption{Усеченная Пирамида}
\label{ris.1.7}
\end{figure}
\section{Свойства граней и диагоналей параллелепипеда}
\subsection{Теорема о гранях и диагоналях}
\emph{В параллелепипеде:}
\emph{1) противоположные грани равны и параллельны;}
\emph{2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.}
1) Грани (\ref{ris.1.8})$BB_1 C_1C$ и $AA_1 D_1D$ параллельны, потому что две пересекающиеся прямые $BB_1$ и $B_1C_1$ одной грани параллельны двум пересекающимся прямым $AA_1$ и $AA_1D_1$ другой; эти грани и равны, так как $B_1C_1=A_1D_1$,$B_1B=A_1A$ (как противоположные стороны параллелограммов) и $\angle BB_1C_1 = \angle AA_1D_1$
2) Возьмем (\ref{ris.1.9}) какие-нибудь две диагонали, например $AC_1$ и $BD_1$, и проведем вспомогательные прямые $AD_1$ и $BC_1$ Так как ребра $AB$ и $D_1C_1$ соответственно равны и параллельны ребру $DC$,то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура $AD_1C_1B$ есть параллелограмм, в котором прямые $C_1A$ и $BD_1$~--- диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Возьмем теперь одну из этих диагоналей, например $AC_1$ , с третьей диагональю, положим, с $B_1D$ Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали $B_1D$ и $AC_1$ и диагонали $AC_1$ и $BD_1$ (которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали $AC_1$ . Наконец, взяв эту же диагональ $AC_1$ с четвертой диагональю $A_1C$ , мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали $AC_1$. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.
\hrule
$ set2D(0,10,0,14); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccc}1 & 1 & 7 & 10 & 4 & 1 & 1 & 4 & 4 & 4 & 10 & 10 \\ 3 & 11 & 14 & 12 & 9 & 11 & 3 & 1 & 9 & 1 & 3 & 12 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}0.8 & 1.2 \\ 6 & 6 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}0.8 & 1.2 \\ 5.8 & 5.8 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 9.8 & 10.2 \end{array}\right) ); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}3.8 & 4.2 \\ 5.8 & 5.8 \end{array}\right) ); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}3.8 & 4.2 \\ 6 & 6 \end{array}\right) ); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}5 & 5 \\ 12.8 & 13.2 \end{array}\right) ); $
$ p8 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}4 & 4.8 & 4.7 \\ 8.2 & 8.5 & 9.3 \end{array}\right) ); $
$ p9 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}1 & 1.8 & 1.7 \\ 10.2 & 10.5 & 11.3 \end{array}\right) ); $
$ p10 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 7 & 7 & 7 & 10 \\ 3 & 5 & 14 & 5 & 3 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p11 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccc}1 & 4 & 10 & 7 & 1 & 4 & 10 & 7 \\ 3 & 1 & 3 & 5 & 11 & 9 & 12 & 14 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','A1','B1','C1','D1'],[6,4,3,4,0,0,1,0]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{8.png}}
\caption{Параллелепипед}
\label{ris.1.8}
\end{figure}
\
\
\hrule
$ set2D(1,11,1,12); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccc}3 & 1 & 3 & 11 & 9 & 3 & 5 & 3 & 9 & 11 & 5 \\ 12 & 4 & 1 & 9 & 1 & 1 & 9 & 12 & 12 & 9 & 9 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccc}3 & 9 & 1 & 11 \\ 1 & 12 & 4 & 9 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}3 & 9 \\ 12 & 1 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 7 & 9 & 7 & 9 \\ 4 & 4 & 1 & 4 & 12 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccc}1 & 3 & 9 & 7 & 3 & 5 & 11 & 9 \\ 4 & 1 & 1 & 4 & 12 & 9 & 9 & 12 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','A1','B1','C1','D1'],$
$[6,4,3,4.5,0,0,1,0]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{9.png}}
\caption{Параллелепипед}
\label{ris.1.9}
\end{figure}
\
\
\subsection{Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда}
\emph{В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали($AC_1$ \ref{ris.1.10})равен сумме квадратов трех его измерений.}
Проведя диагональ основания $AC$, получим треугольники $AC_1C$ и $ACB$.Оба они прямоугольные: первый потому, что параллелепипед прямой и, следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно к основанию; второй потому, что параллелепипед прямоугольный и, значит, в основании его лежит прямоугольник. Из этих треугольников находим:
$AC_1^2=AC^2+CC_1^2$ и $AC^2=AB^2+BC^2$.
Следовательно,
$AC_1^2=AB^2+BC^2+CC_1^2=AB^2+AD^2+AA_1^2$
\
\
Следствие. \emph{В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.}
\hrule
$ set2D(0,13,0,14); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccc}11 & 11 & 8 & 8 & 11 & 8 & 2 & 2 & 8 & 11 & 5 & 2 \\ 4 & 13 & 10 & 1 & 4 & 1 & 1 & 10 & 10 & 13 & 13 & 10 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccc}5 & 5 & 2 & 11 & 5 & 11 & 2 \\ 13 & 4 & 1 & 4 & 4 & 4 & 10 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p3 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccc}11 & 8 & 2 & 5 & 11 & 8 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 1 & 4 & 13 & 10 & 10 & 13 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','A1','B1','C1','D1'],$
$[2,4,4,4,0,0,0,0]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{10.png}}
\caption{Прямоугольный Параллелепипед}
\label{ris.1.10}
\end{figure}
\
\
\section{Свойства параллельных сечений в пирамиде}
\subsection{Теоремы о сечениях в пирамиде}
\emph{Если пирамида (\ref{ris.1.11}) пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:}
\emph{1) боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;}
\emph{2) в сечении получается многоугольник ($abcde$), подобный основанию;}
\emph{3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.}
1) Прямые $ab$ и $AB$ можно рассматривать как линии пересечения двух параллельных плоскостей (основания и секущей) третьей плоскостью $ASB$; поэтому $ab\|AB$. По этой же причине $bc\|BC$,$cd\|CD$.... и $am\|AM$; вследствие этого
\begin{eqnarray*}
\dfrac{Sa}{aA}=\dfrac{Sb}{bB}=\dfrac{Sc}{cC}=...=\dfrac{Sm}{mM}.
\end{eqnarray*}
2) Из подобия треугольников $ASB$ и $aSb$, затем $BSC$ и $bSc$ и т. д. выводим:
\begin{eqnarray*}
\dfrac{AB}{ab}=\dfrac{BS}{bS} ; \dfrac{BS}{bS}=\dfrac{BC}{bc},
\end{eqnarray*}
откуда
\begin{eqnarray*}
\dfrac{AB}{ab}=\dfrac{BC}{bc}.
\end{eqnarray*}
Так же
\begin{eqnarray*}
\dfrac{BC}{bc}=\dfrac{CS}{cS}; \dfrac{CS}{cS}=\dfrac{CD}{cd},
\end{eqnarray*}
откуда
\begin{eqnarray*}
\dfrac{BC}{bc}=\dfrac{CD}{cd}
\end{eqnarray*}
Так же докажем пропорциональность остальных сторон многоугольников $ABCDE$ и $abcde$.Так как, сверх того, у этих многоугольников равны соответственные углы (как образованные параллельными и одинаково направленными сторонами), то они подобны. Площади подобных многоугольников относятся, как квадраты сходственных сторон; поэтому
\begin{eqnarray*}
\dfrac{площадь ABCDE}{площадь abcde}=\dfrac{AB^2}{ab^2}=(\dfrac{AB}{ab})^2,
\end{eqnarray*}
но
\begin{eqnarray*}
\dfrac{AB}{ab}=\dfrac{AS}{as}=\dfrac{MS}{ms},
\end{eqnarray*}
значит
\begin{eqnarray*}
\dfrac{площадь ABCDE}{площадь abcde}=(\dfrac{MS}{ms})^2=\dfrac{MS^2}{ms^2}.
\end{eqnarray*}
\
\
\hrule
$ set2D(1,9,1,14); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}4 & 1 & 5 & 9 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 14 & 3 & 1 & 14 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}3.3 & 4.5 & 6.9 \\ 9 & 8 & 9 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccc}9 & 7 & 3 & 1 & 6 & 5 & 7 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 5 & 3 & 3 & 14 & 5 & 5 & 14 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccc}5.5 & 3.3 & 4.1 & 5.9 & 6.9 \\ 9 & 9 & 10 & 10 & 9 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccc}1 & 4 & 9 & 7 & 3 & 3.3 & 4.5 & 7 & 6 & 6 & 5.5 & 5 \\ 3 & 1 & 3 & 5 & 5 & 9 & 8 & 9 & 10 & 3 & 9 & 14 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','E','a','b','c','d','M','m','S'],$
$[6,4,2,2,7,6,5,2,2,2,11,0]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{11.png}}
\caption{Пирамида}
\label{ris.1.11}
\end{figure}
\
\
\subsection{Следствие}
\emph{У правильной усеченной пирамиды верхнее основание есть правильный многоугольник, подобный нижнему основанию, а боковые грани суть равные и равнобочные трапеции (\ref{ris.1.11}).}
Высота любой из этих трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды.
\
\
\subsection{Теорема о параллельном сечении в пирамиде}
\emph{Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.}
Пусть (\ref{ris.1.12}) $B$ и $B_1$ ~--- площади оснований двух пирамид, $H$~--- высота каждой из них, $b$ и $b_1$ ~--- площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удаленными от вершин на одно и то же расстояние $h$.
Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:
\begin{eqnarray*}
\dfrac{b}{B}=\dfrac{h^2}{H^2} и \dfrac{b_1}{B_1}=\dfrac{h^2}{H^2},
\end{eqnarray*}
откуда
\begin{eqnarray*}
\dfrac{b}{B}=\dfrac{b_1}{B_1} или \dfrac{b}{b_1}=\dfrac{B}{B_1}.
\end{eqnarray*}
\
\
\hrule
$ set2D(-2,36,-2,23); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccc}0 & 7 & 10 & 0 & 10 & 13 & 7 \\ 0 & 23 & 0 & 0 & 0 & 5 & 23 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}25 & 22 & 27 & 25 & 34 & 27 \\ 0 & 5 & 23 & 0 & 5 & 23 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}11.9 & 23.1 \\ 3 & 3 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}12.3 & 22.6 \\ 7 & 7 \end{array}\right) ); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}9.3 & 25.2 \\ 13 & 13 \end{array}\right) ); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}3.8 & 8.4 & 10 \\ 12 & 12 & 14 \end{array}\right) ); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}24.6 & 26 & 30.3 \\ 14 & 12 & 14 \end{array}\right) ); $
$ p8 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}2 & 1 & -2 & 33 & 36 & 33 \\ 7 & 7 & -2 & -2 & 7 & 7 \end{array}\right) ); $
$ p9 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}7 & 27 \\ 23 & 23 \end{array}\right) ); $
$ p10 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}19 & 19 \\ 15 & 23 \end{array}\right) , 'arrow'); $
$ p11 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}14 & 14 \\ 16.6 & 13 \end{array}\right) , 'arrow'); $
$ p12 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}19 & 19 \\ 12.6 & 3 \end{array}\right) , 'arrow'); $
$ p13 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}14 & 14 \\ 19 & 23 \end{array}\right) , 'arrow'); $
$ p14 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 4 & 7 \\ 0 & 5 & 23 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p15 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}24.5 & 30.3 \\ 14 & 14 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p16 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}4 & 13 \\ 5 & 5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p17 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}4 & 5.6 & 10 \\ 12 & 14 & 14 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p18 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}7 & 7 & 11.8 \\ 23 & 3 & 3 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p19 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}2.2 & 12.3 \\ 7 & 7 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p20 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}23.1 & 27 & 27 \\ 3 & 3 & 23 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p21 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}22.6 & 33.2 \\ 7 & 7 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p22 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}22 & 34 \\ 5 & 5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p23 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}7 & 9.2 \\ 13 & 13 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p24 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}27 & 25.2 \\ 13 & 13 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p25 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccc}7 & 27 & 7 & 27 & 14 & 19 \\ 3 & 3 & 13 & 13 & 16.6 & 12.6 \end{array}\right) ,$
$['B','B1','b','b1','h','H'],[5,2,5,1,0,0]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13,p14,p15,p16,$
$p17,p18,p19,p20,p21,p22,p23,p24,p25],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{12.png}}
\caption{Две пирамиды}
\label{ris.1.12}
\end{figure}
\
\
\subsection{Следствие}
\emph{Если $B=B_1$, то и $b=b_1$, т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.}
\
\
\section{Боковая поверхность призмы и пирамиды}
\subsection{Теорема о перпендикулярном сечении призмы}
\emph{Боковая поверхность призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.}
Перпендикулярным сечением (\ref{ris.1.13}) называется многоугольник $abcde$, получаемый от пересечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру. Стороны этого многоугольника перпендикулярны к ребрам.
Боковая поверхность призмы представляет собой сумму площадей параллелограммов; в каждом из них за основание можно взять боковое ребро, а за высоту~--- сторону перпендикулярного сечения. Поэтому боковая поверхность призмы равна:
$AA_1*ab+BB_1*bc+CC_1*cd+DD_1*de+EE_1*ea$=$(ab+bc+cd+de+ea)*AA_1$.
\
\
\hrule
$ set2D(0,16,0,23); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}3.5 & 2 & 0 & 12 & 15 & 11.5 \\ 7 & 7 & 0 & 0 & 7 & 7 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}5.4 & 4 & 1 & 13 & 16 & 13.2 \\ 17.6 & 18 & 10 & 8 & 16 & 16.3 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccc}4 & 3 & 6 & 7.2 & 6 & 9 & 10.1 & 9 & 11 & 11.8 \\ 9.6 & 4 & 2 & 9 & 2 & 2 & 8.4 & 2 & 4 & 8.2 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}\left( \left(\begin{array}{cccccccccccc}4.6 & 7.4 & 10.3 & 12.4 & 14 & 12 & 10.3 & 7.4 & 9 & 12 & 14 & 11
\\ 13 & 10 & 10 & 12 & 21 & 19 & 10 & 10 & 19 & 19 & 21 & 23 \\
\end{array}\right. \right.$
\hspace*{12cm}$ \left. \left.\begin{array}{cccc} 6 & 4.6 & 6 & 9\\
21 & 13 & 21 & 19\\ \end{array}\right) \right); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}8 & 11 \\ 6 & 23 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}3 & 8 & 11 \\ 4 & 6 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}4.6 & 9.5 & 12.4 \\ 13 & 14 & 12 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p8 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}3.5 & 11.5 \\ 7 & 7 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p9 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}5.5 & 13.2 \\ 17.6 & 16.3 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p10 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}11.8 & 12.4 \\ 8.2 & 12 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p11 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}10.1 & 10.3 \\ 8.4 & 10 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p12 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}7.2 & 7.3 \\ 9 & 10 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p13 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}4 & 4.6 \\ 9.6 & 13 \end{array}\right) , 'dash'); $
\hspace{-5mm}$ p14 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccccc}3 & 6 & 9 & 11 & 8 & 6 & 9 & 12 & 14 & 11 & 4.6 & 7.3 & 10.3 & 12.4 & 9.5 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & 6 & 21 & 19 & 19 & 21 & 23 & 13 & 10 & 10 & 12 & 14 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','E','A1','B1','C1','D1','E1','a','b','c','d','e'],$
$[4,4,4,3,4,0,0,0,0,0,5,5,3,3,2]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12,p13,p14],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{13.png}}
\caption{Пересеченная призма}
\label{ris.1.13}
\end{figure}
\
\
\subsection{Следствие}
\emph{Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту} потому, что в такой призме за перпендикулярное сечение можно взять само основание, а боковое ребро ее равно высоте.
\
\
\subsection{Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды}
\emph{Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.}
Пусть (\ref{ris.1.14}) $SABCDE$~--- правильная пирамида и $SM$~--- ее апофема. Боковая поверхность этой пирамиды есть сумма площадей равных равнобедренных треугольников. Площадь одного из них, например $ASB$, равна $\dfrac{1}{2}(AB+ab)*Mm$. Если всех треугольников $n$ , то боковая поверхность равна $AB*\dfrac{1}{2}SM*n=AB*n\dfrac{1}{2}SM$, где $AB*n$ есть периметр основания, a $SM$~--- апофема.
\
\
\hrule
$ set2D(1,13,1,20); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccc}7 & 1 & 4 & 7 & 10 & 4 & 10 & 13 & 7 \\ 20 & 6 & 1 & 20 & 1 & 1 & 1 & 6 & 20 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccc}4 & 5.8 & 8.5 & 10 \\ 13 & 11 & 11 & 13 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}2.5 & 7 \\ 3.5 & 20 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 7 & 13 & 7 & 7 \\ 6 & 9 & 6 & 9 & 20 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}10 & 7 & 4 \\ 13 & 15 & 13 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccc}1 & 4 & 10 & 13 & 7 & 4 & 5.8 & 8.5 & 10 & 7 & 7 & 2.5 & 5 \\ 6 & 1 & 1 & 6 & 9 & 13 & 11 & 11 & 13 & 15 & 20 & 3.5 & 12 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','E','a','b','c','d','e','S','M','m'],$
$[6,4,3,4,4,6,4,3,3,7,0,5,6]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{14.png}}
\caption{Правильная пирамида}
\label{ris.1.14}
\end{figure}
\subsection{Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды}
\emph{Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.}
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды есть сумма площадей равных трапеций. Площадь одной трапеции, например $AabB$ (\ref{ris.1.14}), равна $\dfrac{1}{2}(AB+ab)*Mm$. Если число всех трапеций есть $n$, то боковая поверхность равна:
\begin{eqnarray*}
\dfrac{AB+ab}{2}*Mm*n=\dfrac{AB*n+ab*n}{2}*Mm,
\end{eqnarray*}
где $AB*n$ и $ab*n$ суть периметры нижнего и верхнего оснований.
\
\
\chapter*{Упражнения}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Упражнения}
\hspace{7mm}TASK 1
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что $ AA1=1$; $CD=2$; $AD=2 $. Найдите длину диагонали CA1.
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 1
Найдем диагональ прямоугольника ABCD. По теореме Пифагора
$ AC=\sqrt(AD^{2}+CD^{2}) $
Рассмотрим прямоугольный треугольник AA1C. По теореме Пифагора
$ CA1=\sqrt(AC^{2}+AA1^{2}); $
$ out: $
$ \ $
$ 3 $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
TASK 2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны $ a=1 $. Найдите расстояние между точками B и E.
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 2
Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне. Поэтому
$ b=a\cdot 2 $
$ out: $
$ \ $
$ 2 $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
TASK 3
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами $ a=6 $ и $ b=8 $. Площадь ее поверхности равна $ S=288 $. Найдите высоту призмы.
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 3
Гипотенуза основания равна
$ c=\sqrt(a^{2}+b^{2}) $, высоту найдем из выражения для площади поверхности
$ S1=(a\cdot b)/2; $
$ P=a+b+c; $
$ h=(S-2\cdot S1)/P $
$ out: $
$ \ $
$ 10 $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
TASK 4
В правильной треугольной пирамиде SABCD; Q – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что $ BC=5 $, а $ SP=6 $. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 4
Отрезок SP является медианой равнобедренного треугольника SAB, а значит, и его высотой. Тогда
$ AB=BC; $
$ S1=(AB\cdot SP)/2; $
$ S=3\cdot S1 $
$ out: $
$ \ $
$ 45 $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
TASK 5
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, $ SO=8; BD=30 $. Найдите боковое ребро SC
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\
\
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 5
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно SO является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
$ BO=BD/2; $
$ SB=\sqrt(SO^{2}+BO^{2}); $
$ SA=SB $
$ out: $
$ \ $
$ 17 $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
TASK 6
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, $ SB=13 ; AC=24 $. Найдите длину отрезка SO
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 6
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно SO является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
$ BO=AC/2; $
$ SO=\sqrt(SB^{2}-BO^{2}) $
$ out: $
$ \ $
$ 5 $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
TASK 7
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого$ AB=4; AD=3; AA1=4; $
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 7
Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому
$ V=(AB\cdot AD\cdot AA1)/6 $
$ out: $
$ \ $
$ 8 $
\
\
\hrule
\vspace{\baselineskip}
TASK 8
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны
$ a=2; b=6 $. Объем параллелепипеда равен
$ V=48 $ Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
$ END $
$ out: $
$ \ $
$ END $
\hrule
\vspace{\baselineskip}
РЕШЕНИЕ 8
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Поэтому можем вычислить искомое ребро
$ c=V/(a\cdot b) $
$ out: $
$ \ $
$ 4 $
\chapter{ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ}
\subsection{Основные допущения в объемах.}
Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.
Мы ставим задачу~--- найти для этой величины выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями.
\emph{1) Равные тела имеют равные объемы.}
\emph{2) Объем какого-нибудь тела }(например, каждого параллелепипеда, изображенного на \ref{ris.2.1}), \emph{состоящего из частей} (Р и Q),\emph{ равен сумме объемов этих частей.}
\emph{Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.}
\
\
\hrule
$ set2D(0,6,0,14); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccc}0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 2 & 6 & 6 & 2 & 4 & 0 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 4 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4 & 4 & 6 & 6 & 6 & 4 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccccc}8 & 8 & 10 & 14 & 12 & 10 & 8 & 12 & 12 & 14 & 14 & 14 & 12 & 8 \\ 0 & 4 & 6 & 6 & 4 & 6 & 4 & 4 & 0 & 2 & 6 & 2 & 0 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 6 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}14 & 10 & 8 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}12 & 10 & 10 \\ 0 & 2 & 6 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p7 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccc}2 & 4 & 12 & 10 \\ 4 & 5 & 4 & 5 \end{array}\right) ,['P','Q','P','Q'],[0,2,0,2]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{15.png}}
\caption{Два параллелепипеда}
\label{ris.2.1}
\end{figure}
\
\
\subsection{Единица объёма.}
За единицу объемов при измерении их берут объем такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры ($m^3$), кубические сантиметры ($cm^3$) и т.д.
\section{Объем параллелепипеда.}
\subsection{Теорема об объеме правильного прямоугольного параллелепипеда}
\emph{Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.}
В таком кратком выражении теорему эту надо понимать так: число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т.е. в единице, являющейся ребром куба, объем которого принят за кубическую единицу. Так, если $ x $ есть число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и $ a, b $ и $ c $~--- числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что $ x = abc $
При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая:
1) Измерения выражаются целыми числами.
Пусть, например, измерения, будут (\ref{ris.2.2}) $ AB = a, BC = b $ и $ BD = c $, где $ a, b $ и $ c $~--- какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на рисунке: $ a = 4, b=2 $ и $ c = 5 $). Тогда основание параллелепипеда содержит $ ab $ таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу.
На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображенный на \ref{ris.2.2}), состоящий из $ ab $ кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит $ c $ таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить $ c $ таких слоев. Следовательно, объем этого параллелепипеда равен $ abc $ кубических единиц.
2) Измерения выражаются \emph{дробными числами}.
Пусть измерения параллелепипеда будут:
\begin{eqnarray*}
\dfrac{m}{n} ,\dfrac{p}{q} ,\dfrac{r}{s}
\end{eqnarray*}
(некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:
\begin{eqnarray*}
\dfrac{mqs}{ngs},\dfrac{pns}{qns}, \dfrac{rnq}{snq}.
\end{eqnarray*}
Примем $ \dfrac{1}{nqs} $ долю линейной единицы за новую (вспомогательную) единицу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно:
\begin{eqnarray*}
(mqs)*(pns)*(rnq) ,
\end{eqnarray*}
и потому по доказанному (в случае 1) объем параллелепипеда равен произведению $ (mqs)*(pns)*(rnq) $, если измерять этот объем новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических единиц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной единице, содержится $ (nqs)^3 $; значит, новая кубическая единица составляет $ \dfrac{q}{(nqs)^3} $ прежней. Поэтому объем параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен
\begin{eqnarray*}
\dfrac{q}{(nqs)^3}*(mqs)*(pns)*(rnq)=\dfrac{mqs}{ngs}*\dfrac{pns}{qns}*\dfrac{rnq}{snq}=\dfrac{m}{n}*\dfrac{p}{q}*\dfrac{r}{s}
\end{eqnarray*}
3) Измерения выражаются иррациональными числами.
Пусть у данного параллелепипеда (\ref{ris.2.3}), который для краткости мы обозначим
одной буквой $ Q $, измерения будут:
\begin{eqnarray*}
AB = \alpha; AC = \beta; AD = \gamma ,
\end{eqnarray*}
где все числа $ \alpha, \beta $ и $ \gamma $ или только некоторые из них иррациональные.
Каждое из чисел $ \alpha, \beta $ и $ \gamma $ может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмем приближенные значения этих дробей с $ n $ десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения
с недостатком обозначим $ \alpha_n, \beta_n, \gamma_n $ значения с избытком $ \alpha'_n, \beta'_n, \gamma'_n $. Отложим на ребре $ AB $, начиная от точки $ A $, два отрезка $ AB_1 = \alpha_n $ и $ AB_2 = \alpha'_n $. На ребре $ AC $ от той же точки $ A $ отложим отрезки $ AC_1 = \beta_n $ и $ AC_2 = \beta'_n $ и на ребре $ AD $ от той же точки~--- отрезки $ AD_1 = \gamma_n $ и $ \gamma'_n $. При этом мы будем иметь
\begin{eqnarray*}
AB_1 < AB < AB_2 ; AC_1 < AC < AC_2 ; AD_1 < AD < AD_2 .
\end{eqnarray*}
Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда: один (обозначим его $ Q_1 $) с измерениями $ AB_1, AC_1 $ и $ AD_1 $ и другой (обозначим его $ Q_2 $) с измерениями $ AB_2, AC_2 $ и $ AD_2 $. Параллелепипед $ Q_1 $ будет весь помещаться внутри параллелепипеда $ Q $, а параллелепипед $ Q_2 $ будет содержать внутри себя параллелепипед $ Q $.
По доказанному (в случае 2) будем иметь:
\begin{eqnarray*}
объем Q_1 = \alpha_n \beta_n \gamma_n, (1)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
объем Q_2 = \alpha'_n \beta'_n \gamma'_n, (2)
\end{eqnarray*}
причем объем $ Q_1 $ < объема $ Q_2 $.
Начнем теперь увеличивать число $n$. Это значит, что мы берем приближенные значения чисел $ \alpha, \beta, gamma $ все с большей и большей степенью точности. Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов $ Q_1 $ и $ Q_2 $ При неограниченном возрастании $n$ объём $ Q_1 $, очевидно, увеличивается и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении $n$ имеет своим пределом предел произведения($ \alpha_n, \beta_n, \gamma_n $). Объем $ Q_2 $, очевидно уменьшается и в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения $ \alpha'_n, \beta'_n, \gamma'_n $. Но из алгебры известно, что оба произведения $ \alpha_n, \beta_n, \gamma_n $ и $ \alpha'_n, \beta'_n, \gamma'_n $ при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел $ \alpha\beta\gamma $
Этот предел мы и принимаем за меру объема параллелепипеда $Q$: объём $Q$ = $ \alpha\beta\gamma $. Можно доказать, что определенный таким образом объем удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объема. В самом деле, при таком определении объема равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объемы. Следовательно, первое условие выполняется. Разобьем теперь данный параллелепипед $Q$ плоскостью, параллельной его основанию, надвое: $Q_1$ и $Q_2$ (\ref{ris.2.4}). Тогда будем иметь:
\begin{eqnarray*}
объем Q_1 = AB*AC*AD,
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
объем Q_2 = AB*AA_1*AD,
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
объем Q_3 = A_1B_1*A_1C*A_1D_1.
\end{eqnarray*}
Складывая почленно два последних равенства и замечая, что $A_1B_1=AB$ и $A_1D_1=AD$, получим
объем $ Q_1$ + объем $ Q_2$ = $AB*AA_1*AD+AB*A_1C*AD=AB*AD(AA_1+A_1C)=AB*AD*AC$,
отсюда получаем:
\begin{eqnarray*}
объем Q_1 + объем Q_2 = объему Q .
\end{eqnarray*}
Следовательно, и второе условие тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.
\
\
\hrule
$ set2D(0,20,-4,20); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccc}4 & 0 & 0 & 16 & 16 & 20 & 20 & 4 & 20 & 20 & 16 \\ 20 & 16 & 0 & 0 & 16 & 20 & 20 & 20 & 20 & 4 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 16 & 20 \\ 16 & 16 & 20 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 16 & 16 & 20 & 20 & 16 \\ 0 & -4 & -4 & 0 & 4 & 0 & -4 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 4 & 20 \\ 0 & 4 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}4 & 4 \\ 4 & 20 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}2 & 18 & 18 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccc}8 & 4 & 4 & 8 & 8 & 12 & 16 & 12 & 12 \\ 4 & 0 & -4 & -4 & 0 & 4 & 4 & 0 & -4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p8 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccccc}0 & 16 & 20 & 8 & 18 & 16 & 16 \\ -4 & -4 & 0 & -4 & -2 & 8 & 16 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','a','b','c','D'],$
$[6,4,3,4,3,2,7]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{16.png}}
\caption{Параллелепипед}
\label{ris.2.2}
\end{figure}
\
\
\hrule
$ set2D(3,12,2,13); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccc}9 & 9 & 5 & 5 & 9 & 11 & 11 & 9 \\ 2 & 7 & 7 & 2 & 2 & 4 & 9 & 7 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccc}9 & 9 & 4 & 4 & 9 & 11.5 & 11.5 & 9 \\ 2 & 8 & 8 & 2 & 2 & 4.5 & 10.5 & 8 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccc}9 & 9 & 3 & 3 & 9 & 12 & 12 & 9 & 3 & 6 & 12 \\ 2 & 9.5 & 9.5 & 2 & 2 & 5 & 12.5 & 9.5 & 9.5 & 12.5 & 12.5 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}5 & 7 & 7 \\ 2 & 4 & 9 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}7 & 11 \\ 4 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}4 & 6.5 & 6.5 \\ 2 & 4.5 & 10.5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}6.5 & 11.5 \\ 4.5 & 4.5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p8 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}5 & 7 & 11 \\ 7 & 9 & 9 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p9 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}4 & 6.5 & 11.5 \\ 8 & 10.5 & 10.5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p10 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}3 & 6 & 6 \\ 2 & 5 & 12.5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p11 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}12 & 6 \\ 5 & 5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p12 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccc}9 & 5 & 11 & 9 & 5 & 4 & 11.5 & 9 & 4 & 3 & 12 & 9 & 3 \\ 2 & 2 & 4 & 7 & 7 & 2 & 4.5 & 8 & 8 & 2 & 5 & 9.5 & 9.5 \end{array}\right) ,$
$['A','B1','C1','D1','Q1','B','C','D','Q','B2','C2','D2','Q2'],$
$[4,4,4,3,4,4,4,2,7,4,4,3,7]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11,p12],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{17.png}}
\caption{Параллелепипед}
\label{ris.2.3}
\end{figure}
\
\
\hrule
$ set2D(2,11,2,13); $
\hspace*{-5mm}$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccccccccc}2 & 8 & 11 & 11 & 8 & 8 & 8 & 2 & 2 & 2 & 8 & 8 & 8 & 11 & 11 & 11 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 5 & 9 & 6 & 2 & 6 & 6 & 2 & 10 & 10 & 6 & 10 & 13 & 9 & 13 & 13 & 10 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & 11 \\ 2 & 5 & 5 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}5 & 5 & 2 \\ 5 & 9 & 6 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}11 & 5 & 5 \\ 9 & 9 & 13 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccccccc}2 & 8 & 2 & 5 & 2 & 8 & 5 & 5 & 8 \\ 2 & 2 & 10 & 5 & 6 & 6 & 9 & 5 & 10 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','A1','B1','D1','Q1','Q2'],$
$[5,2,0,6,6,2,3,4,0]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{18.png}}
\caption{Разбитый надвое Параллелепипед}
\label{ris.2.4}
\end{figure}
\
\
\subsection{Следствие.}
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, служащие сторонами его основания, выражаются числами $ a $ и $ b$, а третье измерение (высота)~--- числом $ c $. Тогда, обозначая объем его в соответствующих кубических единицах буквой $ V $, можем написать
\begin{eqnarray*}
V = abc .
\end{eqnarray*}
Так как произведение $ ab $ выражает площадь основания, то можно сказать, что \emph{ объем, прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. }
Замечание. Отношение двух кубических единиц разных названий равно третьей степени отношения тех линейных единиц, которые служат ребрами для этих кубических единиц. Так, отношение кубического метра к кубическому дециметру равно $ 10^3 $, т.е. $ 1000 $. Поэтому, например, если мы имеем куб с ребром длиной $ a $ линейных единиц и
другой куб с ребром длиной $ 3a $ линейных единиц, то отношение их объемов будет равно $ 3^3 $, т.е. $ 27 $, что ясно видно из (\ref{ris.2.5}).
\
\
\hrule
$ set2D(0,13,0,9); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccc}10 & 11 & 13 & 12 & 10 & 10 & 12 & 12 & 13 & 13 & 12 \\ 2 & 3 & 3 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccc}0 & 0 & 3 & 9 & 9 & 6 & 6 & 9 & 6 & 0 & 6 & 6 & 0 \\ 0 & 6 & 9 & 9 & 3 & 0 & 6 & 9 & 6 & 6 & 6 & 0 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}9 & 6 & 0 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}0 & 6 & 9 \\ 4 & 4 & 7 \end{array}\right) ); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 5 \\ 0 & 6 & 9 \end{array}\right) ); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}4 & 4 & 7 \\ 0 & 6 & 9 \end{array}\right) ); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}1 & 7 & 7 \\ 7 & 7 & 1 \end{array}\right) ); $
$ p8 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}2 & 8 & 8 \\ 8 & 8 & 2 \end{array}\right) ); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{19.png}}
\caption{Куб}
\label{ris.2.5}
\end{figure}
\subsection{Лемма о наклонной призме}
\emph{ Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота~--- ее боковому ребру.}
Пусть дана наклонная призма $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ (\ref{ris.2.6}). Продолжим все ее боковые ребра и боковые грани в одном направлении.
Возьмем на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную точку $ а $ и проведем через нее перпендикулярное сечение $ abcde $.
Затем, отложив $ aa_1 = AA_1 $, проведем через $ a_1 $ перпендикулярное сечение $ a_1b_1c_1d_1e_1 $. Так как плоскости обоих сечений параллельны, $ bb_1 = cc_1 = dd_1 = ee_1 = aa_1 = AA_1 $. Вследствие этого многогранник $ a_1d $ , у которого за основания приняты проведенные нами сечения, есть \emph{прямая призма}. Докажем, что данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники $ aD $ и $ a_1D_1 $ равны. Основания их $ abcde $ и $ a_1b_1c_1d_1e_1 $ равны как основание призмы $ a_1d $; с другой стороны, прибавив к обеим частям равенства $ A_1A = a_1a $ по одному и тому же отрезку прямой $ A_1a $, получим $ aA=a_1A_1 $, подобно этому $ bB = b_1B_1, cC = c_1C_1 $ и т.д. Вообразим теперь, что
многогранник $ aD $ вложен в многогранник $ a_1D_1 $ так, что основания их совпали; тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут; поэтому многогранник $ aD $ совместится с многогранником $ a_1D_1 $; значит, эти тела равны.
Теперь заметим, что если к прямой призме $ a_1d $ добавим многогранник $ aD $, a
к наклонной призме $ a_1D $ добавим многогранник $ a_1D_1 $, равный $ aD $, то получим один и тот же многогранник $ a_1D $. Из этого следует, что две призмы $ A_1D $ и $ a_1d$ равновелики.
\
\
\hrule
$ set2D(1,12,1,29); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccccccc}1 & 3 & 7 & 9 & 10 & 8 & 7 & 3 & 4 & 8 & 10 & 6 & 2 & 1 & 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 1 & 4 & 12 & 9 & 1 & 2 & 10 & 9 & 12 & 14 & 12 & 4 & 2 & 10 & 12 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccc}2 & 3 & 5 & 4 & 8 & 9 & 11 & 10 \\ 12 & 20 & 17 & 10 & 9 & 18 & 20 & 12 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccccccccccccccc}5 & 9 & 11 & 12 & 10 & 9 & 10 & 6 & 5 & 3 & 4 & 6 & 4 & 8 & 12 \\ 17 & 18 & 20 & 28 & 26 & 18 & 26 & 25 & 17 & 20 & 28 & 25 & 28 & 29 & 28 \end{array}\right) ); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}6 & 6.5 \\ 14 & 17.3 \end{array}\right) ); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}8 & 5 \\ 29 & 6 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 9 \\ 4 & 6 & 4 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p7 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}3 & 7 & 11 \\ 20 & 21 & 20 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p8 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccc}4 & 6 & 10 & 12 & 8 \\ 28 & 25 & 26 & 28 & 29 \end{array}\right) ,['A','B','C','D','E'],[0,0,7,0,0]); $
$ p9 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccc}2 & 4 & 8 & 10 & 6 \\ 12 & 10 & 9 & 12 & 14 \end{array}\right) ,['a','b','c','d','e'],[7,6,7,2,1]); $
$ p10 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccc}3 & 5 & 9 & 11 & 7 \\ 20 & 17 & 18 & 20 & 21 \end{array}\right) ,$
$['A1','B1','C1','D1','E1'],[6,1,3,1,1]); $
$ p11 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 3 & 7 & 9 & 5 \\ 4 & 2 & 1 & 4 & 6 \end{array}\right) ,$
$['a1','b1','c1','d1','e1'],[5,4,3,1,1]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{20.png}}
\caption{Зеркальная призма}
\label{ris.2.6}
\end{figure}
\
\
\subsection{Теорема об объёме параллелепипеда}
\emph{Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.}
Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда \emph{прямоугольного}, теперь докажем ее для параллелепипеда \emph{прямого}, а потом и\emph{наклонного}.
1) Пусть (\ref{ris.2.7}) $ AC_1 $~--- прямой параллелепипед, т.е. такой, у которого основание $ ABCD $~--- какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани~--- прямоугольники. Возьмем в нем за основание боковую грань $AA_1B_1B$; тогда параллелепипед будет наклонный. Рассматривая его как частный случай наклонной призмы, мы на
основании леммы предыдущего параграфа можем утверждать, что этот параллелепипед равновелик такому прямому параллелепипеду, у которого основание есть перпендикулярное сечение $ MNPQ $, а высота $ BC $. Четырехугольник $ MNPQ $ - прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов; поэтому прямой параллелепипед, имеющий основанием прямоугольник $ MNPQ $, должен быть прямоугольным и, следовательно, его объем равен произведению трех его измерений, за которые можно принять отрезки $ MN, MQ $ и $ BC $. Таким образом,
\begin{eqnarray*}
объем AC_1 = MN*MQ*BC = MN*(MQ*BC) .
\end{eqnarray*}
Но произведение MQ*BC выражает площадь параллелограмма $ ABCD $, поэтому
\begin{eqnarray*}
объем AC_1 = (площади ABCD)*MN = (площади ABCD)*BB_1 .
\end{eqnarray*}
2) Пусть (\ref{ris.2.8}) $ AC_1 $~--- наклонный параллелепипед. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение $ MNPQ $ (т.е. перпендикулярное к ребрам $ AD, BC $,...), а высотой~--- ребро $ BC $. Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; значит,
\begin{eqnarray*}
объем AC_1 = (площади MNPQ)*BC .
\end{eqnarray*}
Если $ RS $ есть высота сечения $ MNPQ $, то площадь $ MNPQ $ равна $ MQ*RS $, поэтому
\begin{eqnarray*}
объем AC_1 = MQ*RS*BC = (BC*MQ)*RS .
\end{eqnarray*}
Произведение $ BC*MQ $ выражает площадь параллелограмма $ ABCD $ следовательно, объем $ AC_1 = (площади ABCD)*RS $.
Остается теперь доказать, что отрезок $ RS $ представляет собой высоту параллелепипеда. Действительно, сечение $ MNPQ $, будучи перпендикулярно к ребрам $ BC, B_1C_1 $,..., должно быть перпендикулярно к граням $ ABCD $, $ BB_1C_1C $, ..., проходящим через эти ребра. Поэтому если мы из точки $ S $ восставим перпендикуляр к плоскости $ ABCD $, то он должен лежать весь в плоскости $ MNPQ $ и, следовательно, должен слиться с прямой $ SR $, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к $ MQ $. Значит, отрезок $ SR $ есть высота параллелепипеда. Таким образом, объем и наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Следствие: Если $ V, B $ и $ H $ суть числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту параллелепипеда, то можно написать:
\begin{eqnarray*}
V = BH .
\end{eqnarray*}
\
\
\hrule
$ set2D(1,11,1,10); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccccccc}1 & 1 & 9 & 11 & 3 & 1 & 3 & 3 & 1 & 3 & 11 & 11 & 7 & 5 & 7 & 7 \\ 2 & 10 & 10 & 8 & 8 & 10 & 8 & 0 & 2 & 0 & 0 & 8 & 8 & 10 & 8 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}9 & 9 & 11 \\ 10 & 2 & 0 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}5 & 5 & 7 \\ 10 & 2 & 0 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}1 & 9 \\ 2 & 2 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccc}1 & 3 & 11 & 9 & 1 & 3 & 11 & 9 & 5 & 7 & 7 & 5 \\ 2 & 0 & 0 & 2 & 10 & 8 & 8 & 10 & 10 & 8 & 0 & 2 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','A1','B1','C1','D1','P','N','M','Q'],$
$[5,4,2,2,0,4,2,0,0,1,4,1]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{21.png}}
\caption{Прямой параллелепипед}
\label{ris.2.7}
\end{figure}
\
\
\hrule
$ set2D(0,14,0,9); $
$ p1 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccc}0 & 1 & 4 & 3 & 0 & 3 & 13 & 14 & 11 & 1 & 4 & 14 \\ 3 & 9 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 & 6 & 9 & 9 & 6 & 6 \end{array}\right) ); $
$ p2 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cccccc}5 & 7 & 6 & 7 & 8 & 8 \\ 9 & 7 & 2 & 7 & 6 & 0 \end{array}\right) ); $
$ p3 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}5 & 5 & 8 \\ 9 & 3 & 0 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p4 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{ccc}11 & 10 & 13 \\ 9 & 3 & 0 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p5 = \mathbf{tablePlot}( \left(\begin{array}{cc}0 & 10 \\ 3 & 3 \end{array}\right) , 'dash'); $
$ p6 = \mathbf{pointsPlot}( \left(\begin{array}{cccccccccccccc}0 & 3 & 13 & 10 & 1 & 4 & 14 & 11 & 5 & 8 & 8 & 5 & 7 & 6 \\ 3 & 0 & 0 & 3 & 9 & 6 & 6 & 9 & 9 & 6 & 0 & 3 & 7 & 2 \end{array}\right) ,$
$['A','B','C','D','A1','B1','C1','D1','P','N','M','Q','R','S'],$
$[5,4,2,2,0,4,2,0,0,1,4,1,0,5]); $
$ \mathbf{showPlots}([p1,p2,p3,p4,p5,p6],' noAxes'); $
\begin{figure}[h!tb]
\centerline{\includegraphics[width=1.1\linewidth]{22.png}}
\caption{Наклонный параллелепипед}
\label{ris.2.8}
\end{figure}
\chapter*{Заключение}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Заключение}
Данное учебное пособие содержит часть материала по стереометрии, изучаемого учениками 10--11 классов.
В курсовой работе были рассмотрены такие главы как \emph{" Многогранники"},\emph{" Объем призмы и пирамиды "}. Каждая из этих глав полностью содержит материал, необходимый для школьников.
Также была добавлена глава \emph{"Упражнения"}, с помощью которой, ученик сможет закрепить пройденный им материал.
\chapter*{Список используемой литературы}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Список используемой литературы}
\hspace{7.5mm}1. Киселев А.П. Геометрия - Планиметрия, Стереометрия, 2004.
2. Малашонок Г.И. Математический партнер // Материалы XXV Международной конференции «Применение новых технологий в образовании ». 25 – 26 июня 2014 г. Троицк – Москва . С. 246-247.
3. Gennadi Malaschonok. Mathematical language ''MATHPAR''. International conference MathParCA-2013, Rhodes, Greece, 2013. P. 29-31.
4. Малашонок Г.И. Руководство по языку «MATHPAR»: учебное пособие . Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2013.
\end{document}
Соседние файлы в папке Курсач TEX